Tìm tham số m để hàm số là hàm số chẵn, hàm số lẻ
Tìm điều kiện của m để hàm số thỏa tính chẵn – lẻ
Trong chương trình Toán 10, việc tìm tham số m để hàm số trở thành hàm số chẵn hoặc hàm số lẻ là dạng bài quan trọng giúp học sinh hiểu sâu về tính chất đối xứng của đồ thị và quy tắc biến đổi hàm số. Bài viết này tổng hợp phương pháp giải nhanh, phân tích điều kiện để hàm số thỏa mãn tính chẵn – lẻ, đồng thời đưa ra ví dụ minh họa chi tiết và lời giải dễ hiểu. Nhờ cách trình bày hệ thống và rõ ràng, bạn sẽ nắm vững bản chất của bài toán và áp dụng chính xác cho mọi dạng hàm số chứa tham số m.
Bài tập 1. Tìm 
\(m\) để hàm số: \(f(x) = \frac{x^{2}\left( x^{2} - 2 \right) +
\left( 2m^{2} - 2 \right)x}{\sqrt{x^{2} + 1} - m}\) là hàm số chẵn.
Hướng dẫn giải
ĐKXĐ: \(\sqrt{x^{2} + 1} \neq
m\)(*)
Giả sử hàm số chẵn suy ra \(f( - x) =
f(x)\) với mọi \(x\) thỏa mãn điều kiện (*)
Ta có: \(f( - x) = \frac{x^{2}\left( x^{2}
- 2 \right) - \left( 2m^{2} - 2 \right)x}{\sqrt{x^{2} + 1} -
m}\)
Suy ra \(f( - x) = f(x)\) với mọi \(x\) thỏa mãn điều kiện (*)
\(\Leftrightarrow \frac{x^{2}\left( x^{2} -
2 \right) - \left( 2m^{2} - 2 \right)x}{\sqrt{x^{2} + 1} - m} =
\frac{x^{2}\left( x^{2} - 2 \right) + \left( 2m^{2} - 2
\right)x}{\sqrt{x^{2} + 1} - m}\) với mọi \(x\) thỏa mãn điều kiện (*)
\(\Leftrightarrow 2\left( 2m^{2} - 2
\right)x = 0\) với mọi \(x\) thỏa mãn điều kiện (*)
\(\Leftrightarrow 2m^2 - 2 = 0 \Leftrightarrow m = \pm 1\)
* Với \(m = 1\) ta có hàm số là \(f(x) = \frac{x^{2}\left( x^2 - 2\right)}{\sqrt{x^{2} + 1} - 1}\)
ĐKXĐ: \(\sqrt{x^{2} + 1} \neq 1
\Leftrightarrow x \neq 0\)
Suy ra TXĐ: \(D\mathbb{=
R}\backslash\left\{ 0 \right\}\)
Dễ thấy với mọi \(x\mathbb{\in
R}\backslash\left\{ 0 \right\}\)ta có \(- x\mathbb{\in R}\backslash\left\{ 0
\right\}\) và \(f( - x) =
f(x)\)
Do đó \(f(x) = \frac{x^{2}\left( x^2 - 2\right)}{\sqrt{x^{2} + 1} - 1}\) là hàm số chẵn
* Với \(m = - 1\) ta có hàm số là \(f(x) = \frac{x^{2}\left( x^{2} - 2
\right)}{\sqrt{x^{2} + 1} + 1}\)
TXĐ: \(D\mathbb{= R}\)
Dễ thấy với mọi \(x\mathbb{\in
R}\) ta có \(- x\mathbb{\in
R}\) và \(f( - x) = f(x)\)
Do đó \(f(x) = \frac{x^{2}\left( x^{2} - 2
\right)}{\sqrt{x^{2} + 1} + 1}\)là hàm số chẵn.
Vậy \(m = \pm 1\) là giá trị cần tìm.
Bài tập 2. Với giá trị nào của \(m\) thì hàm số \(y
= x^{4} + \left( m^{2} - 4 \right)x^{3} + (m + 2)x + 1\) là hàm số chẵn?
Hướng dẫn giải
TXĐ: \(D\mathbb{= R}\), do đó \(\forall x \in D \Rightarrow - x \in
D\).
Ta có hàm số là chẵn nếu:
\(y( - x) = y(x)\forall x\mathbb{\in
R}\)
\(\Leftrightarrow x^{4} + \left( m^{2} - 4
\right)x^{3} + (m + 2)x + 1\)
\(= x^{4} - \left( m^{2} - 4 \right)x^{3}
- (m + 2)x + 1\forall x\mathbb{\in R}\)
Khi đó: \(\left\{ \begin{matrix}
m^{2} - 4 = 0 \\
m + 2 = 0
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow m = - 2\).
Bài tập 3. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\)để hàm số \(f(x) = \frac{x^{2}\left( x^{2} - 2 \right) +
\left( 2m^{2} - 2 \right)x}{\sqrt{x^{2} + 1} - m}\) là hàm số chẵn.
Hướng dẫn giải
Điều kiện: \(\sqrt{x^{2} + 1} \neq
m(*)\)
Ta có: \(f( - x) = \frac{x^{2}\left( x^{2}
- 2 \right) - \left( 2m^{2} - 2 \right)x}{\sqrt{x^{2} + 1} -
m}\).
\(\forall x \in (*)\) thì \(- x \in (*)\) nên để hàm số là hàm số chẵn thì \(f( - x) = f(x)\)
Do đó:
\(\frac{x^{2}\left( x^{2} - 2 \right) -
\left( 2m^{2} - 2 \right)x}{\sqrt{x^{2} + 1} - m} = \frac{x^{2}\left(
x^{2} - 2 \right) + \left( 2m^{2} - 2 \right)x}{\sqrt{x^{2} + 1} -
m}\)
\(\Leftrightarrow 2\left( 2m^{2} - 2
\right)x = 0 \Leftrightarrow m = \pm 1\)
Với \(m = 1\) ta có hàm số \(f(x) = \frac{x^{2}\left( x^{2} - 2
\right)}{\sqrt{x^{2} + 1} - 1}\) là hàm số chẵn.
Với \(m = - 1\) ta có hàm số \(f(x) = \frac{x^{2}\left( x^{2} - 2
\right)}{\sqrt{x^{2} + 1} + 1}\) là hàm số chẵn.
Vậy \(m = \pm 1\).
Bạn muốn xem toàn bộ tài liệu? Hãy nhấn Tải về ngay!
-------------------------------------------
Qua các bước hướng dẫn cụ thể và bài tập có đáp án, bạn đã nắm được cách xác định giá trị của m để hàm số là hàm số chẵn hoặc hàm số lẻ. Đây là kiến thức trọng tâm giúp củng cố nền tảng đại số và hỗ trợ hiệu quả cho các phần tiếp theo như khảo sát hàm số, dựng đồ thị và giải toán tham số. Hãy tiếp tục luyện tập các bài tập nâng cao để tăng độ tự tin và cải thiện tốc độ xử lý trong các bài kiểm tra Toán 10.
