Cách tìm tọa độ điểm, tọa độ vectơ trong mặt phẳng Oxy
Cách xác định tọa độ vectơ trong Oxy
Trong chương trình Toán 10, chuyên đề tọa độ điểm và tọa độ vectơ trong mặt phẳng Oxy là nền tảng quan trọng giúp học sinh làm quen với kiến thức hình học tọa độ. Việc hiểu rõ cách xác định tọa độ điểm, tọa độ vectơ và mối quan hệ giữa chúng giúp bạn giải quyết hiệu quả các bài toán về vectơ, trung điểm, khoảng cách hay phương trình đường thẳng. Bài viết này sẽ hướng dẫn chi tiết cách tìm tọa độ điểm, tọa độ vectơ, kèm ví dụ minh họa và bài tập có đáp án, giúp bạn học nhanh – hiểu sâu – vận dụng linh hoạt.
A. Cách tìm tọa độ điểm trong mặt phẳng Oxy
Để tìm tọa độ của vectơ 
\(\overrightarrow{a}\) ta làm như sau:
- Dựng vectơ \(\overrightarrow{OM} =
\overrightarrow{a}\).
- Gọi \(H,\ \
K\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên \(Ox,\ \ Oy\). Khi đó \(\overrightarrow{a}\left( a_{1};a_{2}
\right)\) với \(a_{1} = \overline{OH},\
\ a_{2} = \overline{OK}\)
- Để tìm tọa độ điểm A ta đi tìm tọa độ vectơ \(\overrightarrow{OA}\).
- Nếu biết tọa độ hai điểm \(A(x_{A};y_{A}),B(x_{B};y_{B})\) suy ra tọa độ \(\overrightarrow{AB}\) được xác định theo công
thức \(\overrightarrow{AB} = \left( x_{B} -
x_{A};y_{B} - y_{A} \right)\)
Chú ý: \(\overline{OH} = OH\) nếu H nằm trên tia \(Ox\)(hoặc \(Oy\) ) và \(\overline{OH} = - OH\) nếu H nằm trên tia đối tia \(Ox\)(hoặc \(Oy\))
B. Bài tập minh họa tìm tọa độ điểm tọa độ vectơ trên hệ tọa độ Oxy
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\). Cho điểm \(M(x;y)\). Tìm tọa độ của các điểm
a) \(M_{1}\) đối xứng với M qua trục hoành.
b) \(M_{2}\) đối xứng với M qua trục tung.
c) \(M_{3}\) đối xứng với M qua gốc tọa độ.
Hướng dẫn giải
Hình vẽ minh họa:
a) \(M_{1}\) đối xứng với M qua trục hoành suy ra \(M_{1}(x; - y)\).
b) \(M_{2}\) đối xứng với M qua trục tung suy ra \(M_{2}( - x;y)\).
c) \(M_{3}\) đối xứng với M qua gốc tọa độ suy ra \(M_{3}( - x; - y)\).
Ví dụ 2: Trong hệ trục tọa độ (O; \(\overrightarrow{i}\); \(\overrightarrow{j}\) ), cho hình vuông \(ABCD\) tâm I và có \(A(1;3)\). Biết điểm B thuộc trục (O; \(\overrightarrow{i}\)) và \(\overrightarrow{BC}\) cùng hướng với \(\overrightarrow{i}\). Tìm tọa độ các vectơ \(\overrightarrow{AB},\ \
\overrightarrow{BC}\) và \(\overrightarrow{AC}\).
Hướng dẫn giải
Hình vẽ minh họa:
Từ giả thiết ta xác định được hình vuông trên mặt phẳng tọa độ (như hình vẽ)
Vì điểm \(A(1;3)\) suy ra \(AB = 3,\ \ OB = 1\)
Do đó \(B(1;0),\ \ C(4;0),\ \
D(4;3)\)
Vậy \(\overrightarrow{AB}(0; - 3),\ \
\overrightarrow{BC}(3;0)\) và \(\overrightarrow{AC}(3; - 3)\).
Ví dụ 3: Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\). Cho hình thoi \(ABCD\) cạnh a và \(\widehat{BAD} = 60^{0}\). Biết A trùng với gốc tọa độ O, C thuộc trục \(Ox\) và \(x_{B} \geq 0,\ y_{B} \geq 0\). Tìm tọa độ các đỉnh của hình thoi \(ABCD\).
Hướng dẫn giải
Hình vẽ minh họa:
Từ giả thiết ta xác định được hình thoi trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\)
Gọi I là tâm hình thoi ta có:
\(BI =
AB\sin\widehat{BAI} = asin30^{0} = \frac{a}{2}\)
\(AI = \sqrt{AB^{2} - BI^{2}} =
\sqrt{a^{2} - \frac{a^{2}}{4}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}\)
Suy ra \(A(0;0),\ \ B\left(
\frac{a\sqrt{3}}{2};\frac{a}{2} \right),\ \ C\left( a\sqrt{3};0
\right),\ \ D\left( \frac{a\sqrt{3}}{2}; - \frac{a}{2}
\right)\).
Ví dụ 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các vectơ \(\overrightarrow{a} = 3\overrightarrow{i} -
2\overrightarrow{j},\ \overrightarrow{b} = (4; - 1)\) và các điểm M(-3;6), N(3;-3).
a) Tìm mối liên hệ giữa các vectơ \(\overrightarrow{MN}\) và \(2\overrightarrow{a} - \
\overrightarrow{b}\)
b) Các điểm O, M, N có thẳng hàng hay không?
c) Tìm điểm P(x;y) để OMPN là hình bình hành.
Hướng dẫn giải
a) Ta có \(\overrightarrow{a} = (3; -
2)\). \(2\overrightarrow{a} - \
\overrightarrow{b} = (2.3 - 4;2.( - 2) + 1) = (2; - 3).\)
và \(\overrightarrow{MN} = (6; -
9)\)
Vậy \(\overrightarrow{MN} =
3(2\overrightarrow{a} - \ \overrightarrow{b})\)
b) Ta có \(\overrightarrow{OM} = ( - 3;5),\
\ \overrightarrow{ON} = (3; - 3)\)
Vì \(\frac{- 3}{3} \neq \frac{6}{-
3}\)nên hai vectơ\(\overrightarrow{OM},\ \ \
\overrightarrow{ON}\) không cùng phương. Suy ra các điểm O, M, N không cùng nằm trên một đường thẳng. Do đó O, M, N không thẳng hàng.
c) Các điểm O, M, N không thẳng hàng
Để OMNP là hình bình hành khi và chỉ khi \(\overrightarrow{OM} = \
\overrightarrow{PN}\)
Gọi \(P(x;y)\)
Ta có\(\overrightarrow{OM} = ( - 3;5),\ \
\overrightarrow{PN} = (3 - x; - 3 - y)\). Suy ra
\(\left\{ \begin{matrix}
- 3 = 3 - x \\
6 = - 3 - y
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x = 6 \\
y = - 9
\end{matrix} \right.\)
Vậy điểm cần tìm là P(6;-9).
C. Bài tập tự rèn luyện tìm tọa độ điểm trong mặt phẳng Oxy có đáp án
Bài tập 1: Trong hệ trục tọa độ (O; \(\overrightarrow{i}\); \(\overrightarrow{j}\) ), Cho tam giác đều \(ABC\) cạnh a, biết O là trung điểm BC, \(\overrightarrow{i}\) cùng hướng với \(\overrightarrow{OC}\), \(\overrightarrow{j}\) cùng hướng \(\overrightarrow{OA}\).
a) Tính tọa độ của các đỉnh của tam giác \(ABC\).
b) Tìm tọa độ trung điểm E của AC.
c) Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\).
Bài tập 2: Trong hệ trục tọa độ (O; \(\overrightarrow{i}\); \(\overrightarrow{j}\) ), Cho hình thoi \(ABCD\) tâm O có \(AC = 8,\ \ BD = 6\). Biết \(\overrightarrow{OC}\) và \(\overrightarrow{i}\) cùng hướng, \(\overrightarrow{OB}\) và \(\overrightarrow{j}\) cùng hướng.
a) Tính tọa độ các đỉnh của hình thoi.
b) Tìm tọa độ trung điểm I của BC và trọng tâm tam giác \(ABC\).
Bài tập 3: Cho ba điểm \(A( - 4;0),\
B(0;3)\) và \(\ C(2;1)\):
a) Xác định tọa độ vectơ \(\overrightarrow{u} = 2\overrightarrow{AB} -
\overrightarrow{AC}\).
b) Tìm điểm M sao cho \(\overrightarrow{MA}
+ 2\overrightarrow{MB} + 3\overrightarrow{MC} =
\overrightarrow{0}\).
Tài liệu dài, tải về để xem chi tiết và đầy đủ nhé!
-------------------------------------------------------
Qua bài viết “Cách tìm tọa độ điểm, tọa độ vectơ trong mặt phẳng Oxy”, bạn đã được hệ thống lại toàn bộ lý thuyết, công thức và phương pháp tìm tọa độ một cách dễ hiểu và đầy đủ. Hãy luyện tập thường xuyên với bài tập có đáp án chi tiết để củng cố kỹ năng và ghi nhớ lâu dài. Đừng quên theo dõi các chuyên đề tiếp theo để nâng cao khả năng giải toán vectơ – tọa độ Oxy Toán 10 một cách toàn diện và hiệu quả nhất.
