Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua hai điểm cho trước
Lập phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm
Trong chương trình Toán 10, việc viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua hai điểm cho trước là dạng bài cơ bản nhưng xuất hiện thường xuyên. Bài viết này hướng dẫn bạn cách lập phương trình nhanh – chính xác – dễ hiểu, giúp nắm vững kỹ năng xử lý các bài toán đường thẳng trong mặt phẳng Oxy.
A. Ví dụ minh họa lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ 
\(Oxy\) cho hai điểm \(A(0;\ - 1)\), \(B(3;\ 0)\). Viết phương trình tổng quát của đường thẳng \(AB\)?
Hướng dẫn giải
Ta có \(\overrightarrow{AB} = (3;\
1)\) là vectơ chỉ phương của đường thẳng \(AB\).
Do đó \(\overrightarrow{n} = (1;\ - 3)\) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(AB\).
Phương trình tổng quát đường thẳng \(AB\) là \(1(x -
0) - 3(y + 1) = 0 \Leftrightarrow x - 3y - 3 = 0\).
Ví dụ 2. Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua hai điểm \(A(3; - 1)\) và \(B(1;5)\) là:
A. \(- x + 3y + 6 = 0.\) B. \(3x - y + 10 = 0.\) C. \(3x - y + 6 = 0.\) D. \(3x + y - 8 = 0.\)
Hướng dẫn giải
Ta có:
\(\left\{ \begin{matrix}
A(3; - 1) \in AB \\
{\overrightarrow{u}}_{AB} = \overrightarrow{AB} = ( - 2;6) \rightarrow
{\overrightarrow{n}}_{AB} = (3;1)
\end{matrix} \right.\)
\(\rightarrow AB:3(x - 3) + 1(y + 1) = 0
\Leftrightarrow AB:3x + y - 8 = 0\)
Chọn D
Ví dụ 3. Đường trung trực của đoạn \(AB\) với \(A(1; -
4)\) và \(B(3; - 4)\) có phương trình là :
A. \(y + 4 = 0.\) B. \(x + y - 2 = 0.\) C. \(x - 2 = 0.\) D. \(y - 4 = 0.\)
Hướng dẫn giải
Gọi I là trung điểm của AB và \(d\) là trung trực đoạn AB.
Ta có:\(\left\{ \begin{matrix}
A(1; - 4),\ B(3; - 4) \rightarrow I(2; - 4) \in d \\
d\bot AB \rightarrow {\overrightarrow{n}}_{d} = \overrightarrow{AB} =
(2;0) = 2(1;0)
\end{matrix} \right.\ \overset{\rightarrow}{}d:x - 2 = 0.\)
Chọn C.
Ví dụ 4. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) có \(A(2; -
1),\ B(4;5)\) và \(C( - 3;2)\). Lập phương trình đường cao của tam giác \(ABC\) kẻ từ \(A.\)
A. \(7x + 3y - 11 = 0.\) B. \(- 3x + 7y + 13 = 0.\) C. \(3x + 7y + 1 = 0.\) D. \(7x + 3y + 13 = 0.\)
Hướng dẫn giải
Gọi \(h_{A}\) là đường cao kẻ từ A của tam giác ABC. Ta có
\(\left\{ \begin{matrix}
A(2; - 1) \in h_{A} \\
h_{A}\bot BC \rightarrow {\overrightarrow{n}}_{h_{A}} =
\overrightarrow{BC} = ( - 7; - 3) = - (7;3)
\end{matrix} \right.\ \rightarrow h_{A}:7x + 3y - 11 = 0.\) Chọn A.
B. Bài tập vận dụng viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm
Câu 1: Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm \(A( - 2;\ 4)\),\(B( - 6;\ 1)\) là:
A. \(3x + 4y - 10 = 0\). B. \(3x - 4y + 22 = 0\).
C. \(3x - 4y + 8 = 0\). D. \(3x - 4y - 22 = 0\).
Câu 2: Trong mặt phẳng \(Oxy\) cho hai điểm \(A(1; - 3)\), \(B( - 2;5)\). Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua hai điểm \(A,\
B\).
A. \(8x + 3y + 1 = 0\). B. \(8x + 3y - 1 = 0\).
C. \(- 3x + 8y - 30 = 0\). D. \(- 3x + 8y + 30 = 0\).
Câu 3: Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua \(A(3; - 1),B(1;5)\) là:
A. \(- x + 3y + 6 = 0\) B. \(3x - y + 10 = 0\) C. \(3x - y + 6 = 0\) D. \(3x + y - 8 = 0\)
Câu 4: Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua \(A(2; - 1),B(2;5)\) là:
A. \(x + y - 1 = 0\) B. \(2x - 7y + 9 = 0\) C. \(x + 2 = 0\) D. \(x - 2 = 0\)
Câu 5: Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua \(A(3; - 7),B(1; - 7)\) là:
A. \(y - 7 = 0\) B. \(y + 7 = 0\) C. \(x + y + 4 = 0\) D. \(x + y + 6 = 0\)
Câu 6: Viết phương trình đường thẳng qua giao điểm của hai đường thẳng \(d_{1}:2x - y + 5 = 0\) và \(d_{2}:3x + 2y - 3 = 0\) và đi qua điểm \(A( - 3; - 2)\).
A. \(5x + 2y + 11 = 0\). B. \(x - y - 3 = 0\). C. \(5x - 2y + 11 = 0\) D. \(2x - 5y + 11 = 0\).
Đáp án có trong file tải, mời bạn đọc tải tài liệu tham khảo!
---------------------------------
Hy vọng qua bài viết, bạn đã hiểu rõ quy trình viết phương trình tổng quát của đường thẳng qua hai điểm và có thể áp dụng thành thạo trong các bài tập Toán 10. Hãy luyện thêm nhiều ví dụ để nâng cao tốc độ và độ chính xác.
