VnDoc.com

Tìm m để hai đường thẳng trùng nhau

Bài tập Toán 10 có đáp án

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 10

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Loại: Tài liệu Lẻ

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Cách tìm m để 2 đường thẳng trùng nhau

A. Hai đường thẳng trùng nhau khi
B. Bài tập minh họa tìm m để 2 đường thẳng trùng nhau

Trong chương trình Toán 10, dạng bài tìm m để hai đường thẳng trùng nhau là một trong những dạng toán quan trọng thuộc chủ đề vị trí tương đối của hai đường thẳng. Đây cũng là dạng bài thường xuất hiện trong các đề kiểm tra, thi học kỳ và bài tập nâng cao. Bài viết này sẽ giúp bạn nắm rõ điều kiện trùng nhau, cách giải nhanh phương trình đường thẳng chứa tham số và công thức nhận biết chính xác. Kèm theo đó là bài tập mẫu có đáp án, giúp bạn hiểu sâu và áp dụng ngay trong học tập.

A. Hai đường thẳng trùng nhau khi

Cho hai đường thẳng

$d_{1}:a_{1}x + b_{1}y + c_{1} = 0 \Rightarrow {\overrightarrow{n}}_{1} = (a_{1};b_{1})$ $d_{1}:a_{1}x + b_{1}y + c_{1} = 0 \Rightarrow {\overrightarrow{n}}_{1} = (a_{1};b_{1})$

$d_{2}:a_{2}x + b_{2}y + c_{2} = 0 \Rightarrow {\overrightarrow{n}}_{2} = (a_{2};b_{2})$ $d_{2}:a_{2}x + b_{2}y + c_{2} = 0 \Rightarrow {\overrightarrow{n}}_{2} = (a_{2};b_{2})$

Hai đường thẳng $d_{1}$ $d_{1}$ và $d_{2}$ $d_{2}$ trùng nhau khi và chỉ khi ${\overrightarrow{n}}_{1} = (a_{1};b_{1}),\ {\overrightarrow{n}}_{2} = (a_{2};b_{2})$ ${\overrightarrow{n}}_{1} = (a_{1};b_{1}),\ {\overrightarrow{n}}_{2} = (a_{2};b_{2})$ và $M \in d_{1} \Rightarrow M \in d_{2}$ $M \in d_{1} \Rightarrow M \in d_{2}$

Chú ý: Với trường hợp $a_{2}.b_{2}.c_{2} \neq 0$ $a_{2}.b_{2}.c_{2} \neq 0$ khi đó nếu $\frac{a_{1}}{b_{1}} = \frac{a_{2}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}}$ $\frac{a_{1}}{b_{1}} = \frac{a_{2}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}}$ thì hai đường thẳng trùng nhau.

B. Bài tập minh họa tìm m để 2 đường thẳng trùng nhau

Ví dụ 1. Với giá trị nào của $m$ thì hai đường thẳng

$d_{1}:3x + 4y + 10 = 0$ $d_{1}:3x + 4y + 10 = 0$ và $d_{2}:(2m - 1)x + m^{2}y + 10 = 0$ $d_{2}:(2m - 1)x + m^{2}y + 10 = 0$ trùng nhau?

A. $m \pm 2$ $m \pm 2$. B. $m = \pm 1$ $m = \pm 1$. C. $m = 2$. D. $m = - 2$.

Hướng dẫn giải

Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} d_{2}:(2m - 1)x + m^{2}y + 10 = 0 \\ d_{1}:3x + 4y + 10 = 0 \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} d_{2}:(2m - 1)x + m^{2}y + 10 = 0 \\ d_{1}:3x + 4y + 10 = 0 \end{matrix} \right.$ $\overset{d_{1} \equiv d_{2}}{\rightarrow}\frac{2m - 1}{3} = \frac{m^{2}}{4} = \frac{10}{10}$ $\overset{d_{1} \equiv d_{2}}{\rightarrow}\frac{2m - 1}{3} = \frac{m^{2}}{4} = \frac{10}{10}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2m - 1 = 3 \\ m^{2} = 4 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow m = 2.\ \$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2m - 1 = 3 \\ m^{2} = 4 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow m = 2.\ \$

Ví dụ 2. Với giá trị nào của $m$ thì hai đường thẳng $d_{1}:\left\{ \begin{matrix} x = - 2 + 2t \\ y = - 3t \end{matrix} \right.$ $d_{1}:\left\{ \begin{matrix} x = - 2 + 2t \\ y = - 3t \end{matrix} \right.$ và $d_{2}:\left\{ \begin{matrix} x = 2 + mt \\ y = - 6 + (1 - 2m)t \end{matrix} \right.$ $d_{2}:\left\{ \begin{matrix} x = 2 + mt \\ y = - 6 + (1 - 2m)t \end{matrix} \right.$ trùng nhau?

A. $m = \frac{1}{2}$ $m = \frac{1}{2}$. B. $m = - 2$. C. $m = 2$. D. $m \neq \pm 2$ $m \neq \pm 2$.

Hướng dẫn giải

Ta có:

$d_{1}:\left\{ \begin{matrix} x = - 2 + 2t \\ y = - 3t \end{matrix} \right.\ \rightarrow {\overrightarrow{u}}_{1} = (2; - 3)$ $d_{1}:\left\{ \begin{matrix} x = - 2 + 2t \\ y = - 3t \end{matrix} \right.\ \rightarrow {\overrightarrow{u}}_{1} = (2; - 3)$

$d_{2}:\left\{ \begin{matrix} x = 2 + mt \\ y = - 6 + (1 - 2m)t \end{matrix} \right.\ \rightarrow A(2; - 6) \in d_{2},\ \ {\overrightarrow{u}}_{2} = (m;1 - 2m)$ $d_{2}:\left\{ \begin{matrix} x = 2 + mt \\ y = - 6 + (1 - 2m)t \end{matrix} \right.\ \rightarrow A(2; - 6) \in d_{2},\ \ {\overrightarrow{u}}_{2} = (m;1 - 2m)$

Hai đường thẳng trùng nhau khi và chỉ khi $\left\{ \begin{matrix} A \in d_{1} \\ \frac{m}{2} = \frac{1 - 2m}{- 3} \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow m = 2.$ $\left\{ \begin{matrix} A \in d_{1} \\ \frac{m}{2} = \frac{1 - 2m}{- 3} \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow m = 2.$

Chọn C

Ví dụ 3. Tìm tất cả các giá trị của $m$ để hai đường thẳng

$d_{1}:\left\{ \begin{matrix} x = 2 + 2t \\ y = 1 + mt \end{matrix} \right.$ $d_{1}:\left\{ \begin{matrix} x = 2 + 2t \\ y = 1 + mt \end{matrix} \right.$ và $d_{2}:4x - 3y + m = 0$ $d_{2}:4x - 3y + m = 0$ trùng nhau.

A. $m = - 3$. B. $m = 1$. C. $m = \frac{4}{3}$ $m = \frac{4}{3}$. D. $m \in \varnothing$ $m \in \varnothing$.

Hướng dẫn giải

Ta có:

$\left. \ \begin{matrix} d_{1}:\left\{ \begin{matrix} x = 2 + 2t \\ y = 1 + mt \end{matrix} \right.\ \rightarrow A(2;1) \in d_{1},\ {\overrightarrow{u}}_{1} = (2;m) \\ d_{2}:4x - 3y + m = 0 \rightarrow {\overrightarrow{u}}_{2} = (3;4) \end{matrix} \right\}$ $\left. \ \begin{matrix} d_{1}:\left\{ \begin{matrix} x = 2 + 2t \\ y = 1 + mt \end{matrix} \right.\ \rightarrow A(2;1) \in d_{1},\ {\overrightarrow{u}}_{1} = (2;m) \\ d_{2}:4x - 3y + m = 0 \rightarrow {\overrightarrow{u}}_{2} = (3;4) \end{matrix} \right\}$

Hai đường thẳng trùng nhau khi và chỉ khi $\left\{ \begin{matrix} A \in d_{2} \\ \frac{2}{3} = \frac{m}{4} \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 5 + m = 0 \\ m = \frac{8}{3} \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow m \in \varnothing.$ $\left\{ \begin{matrix} A \in d_{2} \\ \frac{2}{3} = \frac{m}{4} \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 5 + m = 0 \\ m = \frac{8}{3} \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow m \in \varnothing.$

Chọn D

Ví dụ 4. Với giá trị nào của $m$ thì hai đường thẳng

$d_{1}:4x - 3y + 3m = 0$ $d_{1}:4x - 3y + 3m = 0$ và $d_{2}:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = 4 + mt \end{matrix} \right.$ $d_{2}:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = 4 + mt \end{matrix} \right.$ trùng nhau?

A. $m = - \frac{8}{3}$ $m = - \frac{8}{3}$. B. $m = \frac{8}{3}$ $m = \frac{8}{3}$. C. $m = - \frac{4}{3}$ $m = - \frac{4}{3}$. D. $m = \frac{4}{3}$ $m = \frac{4}{3}$.

Hướng dẫn giải

Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} d_{1}:4x - 3y + 3m = 0 \rightarrow {\overrightarrow{n}}_{1} = (4; - 3) \\ d_{2}:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = 4 + mt \end{matrix} \rightarrow A(1;4) \in d_{2},\ \ {\overrightarrow{n}}_{2} = (m; - 2) \right.\ \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} d_{1}:4x - 3y + 3m = 0 \rightarrow {\overrightarrow{n}}_{1} = (4; - 3) \\ d_{2}:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = 4 + mt \end{matrix} \rightarrow A(1;4) \in d_{2},\ \ {\overrightarrow{n}}_{2} = (m; - 2) \right.\ \end{matrix} \right.$

$\overset{d_{1} \equiv d_{2}}{\rightarrow}\left\{ \begin{matrix} A \in d_{1} \\ \frac{m}{4} = \frac{- 2}{- 3} \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 3m - 8 = 0 \\ m = \frac{8}{3} \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow m = \frac{8}{3}.$ $\overset{d_{1} \equiv d_{2}}{\rightarrow}\left\{ \begin{matrix} A \in d_{1} \\ \frac{m}{4} = \frac{- 2}{- 3} \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 3m - 8 = 0 \\ m = \frac{8}{3} \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow m = \frac{8}{3}.$ Chọn B

Ví dụ 5. Với giá trị nào của $m$ thì hai đường thẳng

$\Delta_{1}:\left\{ \begin{matrix} x = m + 2t \\ y = 1 + \left( m^{2} + 1 \right)t \end{matrix} \right.$ $\Delta_{1}:\left\{ \begin{matrix} x = m + 2t \\ y = 1 + \left( m^{2} + 1 \right)t \end{matrix} \right.$ và $\Delta_{2}:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + mt \\ y = m + t \end{matrix} \right.$ $\Delta_{2}:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + mt \\ y = m + t \end{matrix} \right.$ trùng nhau?

A. Không có $m$. B. $m = \frac{4}{3}$ $m = \frac{4}{3}$. C. $m = 1$. D. $m = - 3$.

Hướng dẫn giải

Ta có:

${\Delta _1}:\left\{ \begin{gathered} x = m + 2t \hfill \\ y = 1 + \left( {{m^2} + 1} \right)t \hfill \\ \end{gathered} \right.$ ${\Delta _1}:\left\{ \begin{gathered} x = m + 2t \hfill \\ y = 1 + \left( {{m^2} + 1} \right)t \hfill \\ \end{gathered} \right.$ $\to A\left( {m;1} \right) \in {d_1},\,\,{\vec u_1} = \left( {2;{m^2} + 1} \right)$ $\to A\left( {m;1} \right) \in {d_1},\,\,{\vec u_1} = \left( {2;{m^2} + 1} \right)$

${\Delta _2}:\left\{ \begin{gathered} x = 1 + mt \hfill \\ y = m + t \hfill \\ \end{gathered} \right. \to {\vec u_2} = \left( {m;1} \right)$ ${\Delta _2}:\left\{ \begin{gathered} x = 1 + mt \hfill \\ y = m + t \hfill \\ \end{gathered} \right. \to {\vec u_2} = \left( {m;1} \right)$

$\xrightarrow{{{d_1} \equiv {d_2}}}\left\{ \begin{gathered} A \in {d_2} \hfill \\ \frac{m}{2} = \frac{1}{{{m^2} + 1}} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ $\xrightarrow{{{d_1} \equiv {d_2}}}\left\{ \begin{gathered} A \in {d_2} \hfill \\ \frac{m}{2} = \frac{1}{{{m^2} + 1}} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}m = 1 + mt \\1 = m + t \\m^{3} + m - 2 = 0\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}m = 1 + mt \\1 = m + t \\m^{3} + m - 2 = 0\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}m = 1 + m(1 - m) \$m - 1)\left( m^{2} + m + 2 \right) = 0\end{matrix} \right.$ \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}m = 1 + m(1 - m) \\(m - 1)\left( m^{2} + m + 2 \right) = 0\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}m^{2} - 1 = 0 \\m - 1 = 0\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow m = 1.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}m^{2} - 1 = 0 \\m - 1 = 0\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow m = 1.$

Chọn C

Tài liệu dài, tải về để xem chi tiết và đầy đủ nhé!

------------------------------------------

Hy vọng bài viết đã giúp bạn hiểu rõ cách tìm m để hai đường thẳng trùng nhau dựa trên hệ số góc và hệ số tự do. Với các ví dụ có đáp án kèm phân tích chi tiết, bạn có thể dễ dàng áp dụng vào những bài tập tương tự trong chương trình Toán 10. Hãy luyện tập thêm nhiều dạng câu hỏi để tăng tốc độ giải và đạt điểm số cao trong các bài kiểm tra. Chúc bạn học tốt và chinh phục mọi dạng toán về phương trình đường thẳng!

Tải về

Chọn file muốn tải về: