Tìm m để hai đường thẳng cắt nhau
Cách tìm m để 2 đường thẳng cắt nhau - Có đáp án
Trong chương Phương trình đường thẳng – Toán 10, một dạng bài thường gặp là tìm m để hai đường thẳng cắt nhau. Đây là dạng toán quan trọng giúp học sinh hiểu rõ mối quan hệ giữa hệ số góc, điều kiện song song – trùng nhau – cắt nhau và cách xử lý phương trình chứa tham số. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn phương pháp xác định giá trị m nhanh nhất, chính xác nhất, kèm ví dụ minh họa rõ ràng để bạn dễ dàng nắm bắt và áp dụng vào bài tập cũng như các kỳ kiểm tra.
A. Điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau
Cho hai đường thẳng
\(d_{1}:a_{1}x + b_{1}y + c_{1} = 0
\Rightarrow {\overrightarrow{n}}_{1} = (a_{1};b_{1})\)
\(d_{2}:a_{2}x + b_{2}y + c_{2} = 0
\Rightarrow {\overrightarrow{n}}_{2} = (a_{2};b_{2})\)
Hai đường thẳng \(d_{1}\); \(d_{2}\) cắt nhau khi và chỉ khi \({\overrightarrow{n}}_{1} = (a_{1};b_{1}),\
{\overrightarrow{n}}_{2} = (a_{2};b_{2})\) không cùng phương \(a_{1}b_{2} - a_{2}b_{1} \neq 0\)
Chú ý: Với trường hợp \(a_{2}.b_{2}.c_{2} \neq 0\) khi đó nếu \(\frac{a_{1}}{b_{1}} \neq
\frac{a_{2}}{b_{2}}\) thì hai đường thẳng cắt nhau.
B. Bài tập minh họa tìm m để hai đường thẳng cắt nhau
Ví dụ 1. Hai đường thẳng \(d_{1}:\ mx + y =
m - 5,\ d_{2}:\ x + my = 9\) cắt nhau khi và chỉ khi
A. \(m \neq - 1\). B. \(m \neq 1\). C. \(m \neq \pm 1\). D. \(m \neq 2\).
Hướng dẫn giải
Cách 1
- Xét \(m = 0\) thì \(d_{1}:\ y = - 5,\ \ d_{2}:\ x = 9\). Rõ ràng hai đường thẳng này cắt nhau nên \(m =
0\) thỏa mãn.
- Xét \(m \neq 0\) thì \(d_{1}:\ y = - mx + m - 5\) và \(d_{2}:\ y = - \frac{x}{m} + 9\)
Hai đường thẳng \(d_{1}\) và \(d_{2}\) cắt nhaut\(\Leftrightarrow - m \neq - \frac{1}{m}
\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
m \neq 0 \\
m \neq \pm 1
\end{matrix} \right.\ \ (2)\).
Từ (1) và (2) ta có \(m \neq \pm
1\).
Cách 2
\(d_{1}\) và \(d_{2}\) theo thứ tự nhận các vectơ \({\overrightarrow{n}}_{1} = (m;1),\
{\overrightarrow{n}}_{2} = (1;m)\) làm vec tơ pháp tuyến.
\(d_{1}\) và \(d_{2}\) cắt nhau \(\Leftrightarrow {\overrightarrow{n}}_{1}\) và \({\overrightarrow{n}}_{2}\) không cùng phương \(\Leftrightarrow m.m \neq 1.1
\Leftrightarrow m \neq \pm 1.\)
Chọn C
Ví dụ 2. Tìm \(m\) để hai đường thẳng \(d_{1}:2x - 3y + 4 = 0\) và \(d_{2}:\left\{ \begin{matrix}
x = 2 - 3t \\
y = 1 - 4mt
\end{matrix} \right.\) cắt nhau.
A. \(m \neq - \frac{1}{2}.\) B. \(m \neq 2.\) C. \(m \neq \frac{1}{2}.\) D. \(m = \frac{1}{2}.\)
Hướng dẫn giải
Ta có:
\(\left\{ \begin{matrix}
d_{1}:2x - 3y + 4 = 0 \\
d_{2}:\left\{ \begin{matrix}
x = 2 - 3t \\
y = 1 - 4mt
\end{matrix} \right.\
\end{matrix} \right.\ \overset{}{\rightarrow}\left\{ \begin{matrix}
{\overrightarrow{n}}_{1} = (2; - 3) \\
{\overrightarrow{n}}_{2} = (4m; - 3)
\end{matrix} \right.\)
\(\overset{d_{1} \cap d_{2} =M}{\rightarrow}\frac{4m}{2}\ne\frac{- 3}{- 3} \Leftrightarrow m \ne\frac{1}{2}.\)
Chọn C
Ví dụ 3. Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để hai đường thẳng \(d_{1}:4x + 3my - m^{2} = 0\) và \(d_{2}:\left\{ \begin{matrix}
x = 2 + t \\
y = 6 + 2t
\end{matrix} \right.\) cắt nhau tại một điểm thuộc trục tung.
A. \(m = 0\) hoặc \(m = - 6\). B. \(m
= 0\) hoặc \(m = 2\).
C. \(m = 0\) hoặc \(m = - 2\). D. \(m
= 0\) hoặc \(m = 6\).
Hướng dẫn giải
Ta có:
\(Oy \cap d_{2} \leftrightarrow \left\{
\begin{matrix}
x = 2 + t = 0 \\
y = 6 + 2t
\end{matrix} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x = 0 \\
y = 2
\end{matrix} \right.\ \rightarrow Oy \cap d_{2} = A(0;2) \in
d_{1}\)\(\Leftrightarrow 6m - m^{2} = 0
\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
m = 0 \\
m = 6
\end{matrix} \right.\ .\) Chọn D
C. Bài tập vận dụng có hướng dẫn đáp án chi tiết
Bài tập 1. Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để hai đường thẳng
\(\Delta_{1}:2x - 3my + 10 = 0\) và \(\Delta_{2}:mx + 4y + 1 = 0\) cắt nhau.
A. \(1 < m < 10\). B. \(m = 1\). C. Không có \(m\). D. Với mọi \(m\).
Bài tập 2. Với giá trị nào của \(m\) thì hai đường thẳng
\(d_{1}:3mx + 2y + 6 = 0\) và \(d_{2}:\left( m^{2} + 2 \right)x + 2my + 6 =
0\) cắt nhau?
A. \(m \neq - 1\). B. \(m \neq 1\). C. \(m\mathbb{\in R}\). D. \(m \neq 1\ \ \ và\ \ \ m \neq - 1\).
Bạn muốn xem toàn bộ tài liệu? Hãy nhấn Tải về ngay
---------------------------------------------
Qua bài viết, bạn đã hiểu cách tìm m để hai đường thẳng cắt nhau dựa trên hệ số góc và điều kiện không song song – không trùng nhau. Đây là kỹ năng quan trọng trong chủ đề Phương trình đường thẳng Toán 10, giúp bạn giải nhanh các bài toán liên quan đến tham số. Hãy luyện tập thêm nhiều dạng bài để tăng sự tự tin và nâng cao khả năng giải Toán hình học giải tích. Chúc bạn học tốt và đạt điểm cao!
