Tìm m để hai đường thẳng song song
Cách tìm tham số m để 2 đường thẳng song song
Trong chuyên đề Phương trình đường thẳng chứa tham số, dạng bài tìm m để hai đường thẳng song song là dạng toán quen thuộc và xuất hiện thường xuyên trong đề kiểm tra Toán 10. Để giải nhanh dạng này, học sinh cần nắm rõ điều kiện song song dựa trên hệ số góc và dạng tổng quát của phương trình đường thẳng. Bài viết dưới đây sẽ hướng dẫn bạn cách xác định giá trị của tham số m chính xác, ngắn gọn và dễ hiểu, kèm ví dụ minh họa chi tiết giúp bạn nắm chắc phương pháp.
A. Điều kiện để hai đường thẳng song song
Cho hai đường thẳng
\(d_{1}:a_{1}x + b_{1}y + c_{1} = 0
\Rightarrow {\overrightarrow{n}}_{1} = (a_{1};b_{1})\)
\(d_{2}:a_{2}x + b_{2}y + c_{2} = 0
\Rightarrow {\overrightarrow{n}}_{2} = (a_{2};b_{2})\)
Hai đường thẳng \(d_{1}\) và \(d_{2}\) song song với nhau khi và chỉ khi:
\({\overrightarrow{n}}_{1} =
(a_{1};b_{1}),\ {\overrightarrow{n}}_{2} = (a_{2};b_{2})\) cùng phương và \(M \in d_{1} \Rightarrow M \notin
d_{2}\)
Chú ý: Với trường hợp \(a_{2}.b_{2}.c_{2} \neq 0\) khi đó nếu \(\frac{a_{1}}{b_{1}} = \frac{a_{2}}{b_{2}} \neq
\frac{c_{1}}{c_{2}}\) thì hai đường thẳng song song nhau.
B. Bài tập minh họa tìm m để 2 đường thẳng song song
Ví dụ 1. Tìm các giá trị thực của tham số \(m\) để đường thẳng \(y = \left( m^{2} - 3 \right)x + 3m + 1\) song song với đường thẳng \(y = x -
5\).
A. \(m = \pm 2\). B. \(m = \pm \sqrt{2}\). C. \(m = - 2\). D. \(m
= 2\).
Hướng dẫn giải
Chọn D
Để đường thẳng \(y = \left( m^{2} - 3
\right)x + 3m + 1\) song song với đường thẳng \(y = x - 5\) thì điều kiện là
\(\left\{ \begin{matrix}
m^{2} - 3 = 1 \\
3m + 1 \neq - 5
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
m = \pm 2 \\
m \neq - 2
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow m = 2\).
Ví dụ 2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\), cho hai đường thẳng có phương trình \(d_{1}:mx + (m - 1)y + 2m = 0\) và \(d_{2}:2x + y - 1 = 0\). Nếu \(d_{1}\) song song \(d_{2}\) thì:
A. \(m = 2.\) B. \(m = - 1.\) C. \(m
= - 2.\) D. \(m = 1.\)
Hướng dẫn giải
Ta có:
\(\left\{ \begin{matrix}d_{1}:mx + (m - 1)y + 2m = 0 \\d_{2}:2x + y - 1 = 0\end{matrix} \right.\ \overset{d_{1}||d_{2}}{\rightarrow}\frac{m}{2} =\frac{m - 1}{1}\ne\frac{2m}{- 1}\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}- 1\ne2 \\m = 2m - 2\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow m = 2.\)
Ví dụ 3. Cho ba đường thẳng \(d_{1}:3x - 2y
+ 5 = 0\), \(d_{2}:2x + 4y - 7 =
0\), \(d_{3}:3x + 4y - 1 = 0\). Phương trình đường thẳng \(d\) đi qua giao điểm của \(d_{1}\) và \(d_{2}\), và song song với \(d_{3}\) là:
A. \(24x + 32y - 53 = 0\). B. \(24x + 32y + 53 = 0\).
C. \(24x - 32y + 53 = 0\). D. \(24x - 32y - 53 = 0\).
Hướng dẫn giải
Ta có:
\(\left\{ \begin{matrix}
d_{1}:3x - 2y + 5 = 0 \\
d_{2}:2x + 4y - 7 = 0
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x = - \frac{3}{8} \\
y = \frac{31}{16}
\end{matrix} \right.\)\(\rightarrow d_{1} \cap d_{2} = A\left( -
\frac{3}{8};\frac{31}{16} \right).\)
Ta có
\(\left\{ \begin{matrix}
A \in d \\
d||d_{3}:3x + 4y - 1 = 0
\end{matrix} \right.\)\(\rightarrow \left\{ \begin{matrix}A \in d \\d:3x + 4y + c = 0\ \ \left( c\ne - 1 \right)\end{matrix} \right.\)
\(\rightarrow - \frac{9}{8} + \frac{31}{4}
+ c = 0 \Leftrightarrow c = - \frac{53}{8}.\)
Vậy \(d:3x + 4y - \frac{53}{8} = 0
\Leftrightarrow d_{3}:24x + 32y - 53 = 0.\)
Chọn A
C. Bài tập vận dụng có hướng dẫn đáp án chi tiết
Bài tập 1. Với giá trị nào của \(m\) thì hai đường thẳng
\(d_{1}:2x + y + 4 - m = 0\) và \(d_{2}:(m + 3)x + y + 2m - 1 = 0\) song song?
A. \(m = 1.\) B. \(m = - 1.\) C. \(m
= 2.\) D. \(m = 3.\)
Bài tập 2. Với giá trị nào của \(m\) thì hai đường thẳng
\(d_{1}:3mx + 2y - 6 = 0\) và \(d_{2}:\left( m^{2} + 2 \right)x + 2my - 3 =
0\) song song?
A. \(m = 1;\ \ m = - 1.\) B. \(m \in \varnothing\). C. \(m = 2\). D. \(m =
- 1\).
Toàn bộ nội dung đã sẵn sàng! Nhấn Tải về để tải đầy đủ tài liệu.
-------------------------------------
Hy vọng qua bài viết, bạn đã hiểu rõ cách tìm m để hai đường thẳng song song dựa trên hệ số góc và công thức điều kiện song song trong hình học giải tích. Đây là dạng toán quan trọng, thường gặp trong chuyên đề Phương trình đường thẳng chứa tham số, vì vậy bạn hãy luyện tập thêm nhiều bài để ghi nhớ công thức và nâng cao kỹ năng giải nhanh. Chúc bạn học tốt và đạt kết quả cao trong môn Toán 10!
