Cho hình vuông ABCD tâm O tính độ dài vecto
Cách tính độ dài vecto Toán 10
Tính độ dài vecto môn Toán lớp 10 tổng hợp các dạng bài tập và hướng dẫn chi tiết về bất phương trình phổ biến trong các kì thi, bài kiểm tra trong chương trình trọng tâm Toán 10 nhằm giúp các bạn nắm vững kiến thức cơ bản, nâng cao kĩ năng tư duy bài tập. Chúc các bạn ôn tập hiệu quả!
Để tiện trao đổi, chia sẻ kinh nghiệm về giảng dạy và học tập các môn học lớp 10, VnDoc mời các thầy cô giáo, các bậc phụ huynh và các bạn học sinh truy cập nhóm riêng dành cho lớp 10 sau: Nhóm Tài liệu học tập lớp 10. Rất mong nhận được sự ủng hộ của các thầy cô và các bạn.
Cho hình vuông ABCD tâm O
Bản quyền thuộc về VnDoc.
Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép nhằm mục đích thương mại
A. Lí thuyết cần nhớ
1. Cách tính độ dài vecto
Định nghĩa: Mỗi vecto đều có một độ dài, đó là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vecto đó. Độ dài của vecto 
\(\overrightarrow a\) được ký hiệu là \(\left| {\overrightarrow a } \right|\)
Ta có độ dài các vecto \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} ,\overrightarrow {EF} ,....\) được biểu diễn như sau: \(\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = AB;\left| {\overrightarrow {CD} } \right| = CD;\left| {\overrightarrow {EF} } \right| = EF,...\)
- Quy tắc hình bình hành: Tổng hai vectơ cạnh chung điểm đầu của một hình bình hành bằng vectơ đường chéo có cùng điểm đầu đó.
- Phương pháp: muốn tính độ dài vectơ, ta tính độ dài cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ.
- Trong hệ tọa độ: Cho \(\overrightarrow a = \left( {{a_1};{a_2}} \right)\). Khi đó độ dài vectơ \(\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {{a_1}^2 + {a_2}^2}\)
2. Khoảng cách giữa hai điểm trong hệ tọa độ
Áp dụng công thức sau
Trong mặt phẳng tọa độ, khoảng cách giữa hai điểm \(A\left( {{x_A},{y_A}} \right);B\left( {{x_B};{y_B}} \right)\) là
\(\overrightarrow {AB} = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {y_B} - {y_A}\right)}^2}}\)
B. Bài tập ví dụ minh họa
Bài tập 1: Cho hình vuông ABCD tâm O cạnh a. Tính độ dài các vecto sau:
| a. \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right|\) | b. \(\left| {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {DC} } \right|\) |
| c. \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right|\) | d. \(\left| {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} } \right|\) |
Hướng dẫn giải
Giả sử E, F lần lượt là trung điểm của BC và AD
a. \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = 2\left| {\overrightarrow {AE} } \right| = 2AE\)
Xét tam giác ABE vuông tại B, áp dung định lí Pitago ta có:
\(\begin{matrix} A{E^2} = A{B^2} + B{E^2} \hfill \\ \Rightarrow AE = \sqrt {A{B^2} + B{E^2}} = \sqrt {{a^2} + {{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)}^2}} = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2} \hfill \\ \end{matrix}\)
b. \(\left| {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {DC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AB} } \right| = 2.AE = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\left( {cmt} \right)\)
c. \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right| = 2\left| {\overrightarrow {AO} } \right| = 2AO\)
Tam giác ABD vuông cân tại A, AO là đường cao. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ta có:
\(\begin{matrix} \dfrac{1}{{A{O^2}}} = \dfrac{1}{{A{B^2}}} + \dfrac{1}{{A{D^2}}} \hfill \\ \Rightarrow AO = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2} \hfill \\ \end{matrix}\)
d. \(\left| {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} } \right| = \left| {\overrightarrow {AO} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {BO} + \overrightarrow {OD} } \right|\)
\(= \left| {\left( {\overrightarrow {AO} + \overrightarrow {OC} } \right) + \left( {\overrightarrow {BO} + \overrightarrow {OD} } \right)} \right| = \left| {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} } \right| = 2.\left| {\overrightarrow {AD} } \right| = 2.AD = 2a\)
Bài tập 2: Cho hình vuông ABCD cạnh a tâm O. Tính \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {OD} } \right|,\left| {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} } \right|\), \(\left| {\overrightarrow {KA} - \overrightarrow {KB} - \overrightarrow {KC} + \overrightarrow {KD} } \right|\) với k bất kì, \(\left| {\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {CB} } \right|,\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DC} } \right|\)
Hướng dẫn giải
a. \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {OD} } \right| = \left| {\overrightarrow {AO} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OD} } \right| = \left| {\left( {\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OD} } \right) + \overrightarrow {AO} } \right| = \left| {\overrightarrow {AO} } \right| = AO = \frac{1}{2}AC\)
Tam giác ABD vuông cân tại A, AO là đường cao. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ta có:
\(\begin{matrix} \dfrac{1}{{A{O^2}}} = \dfrac{1}{{A{B^2}}} + \dfrac{1}{{A{D^2}}} \hfill \\ \Rightarrow AO = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2} \hfill \\ \end{matrix}\)
b. \(\left| {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} } \right| = \left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CO} + \overrightarrow {OD} } \right| = \left| {\overrightarrow {AB} + \left( {\overrightarrow {CO} + \overrightarrow {OD} } \right)} \right| = \left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} } \right| = \overrightarrow 0\)
(Do 2 vecto cùng phương, ngược chiều)
c. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AD, BC, ta dễ dàng suy ra O là trung điểm của EF.
\(\left| {\overrightarrow {KA} - \overrightarrow {KB} - \overrightarrow {KC} + \overrightarrow {KD} } \right| = \left| {\left( {\overrightarrow {KA} + \overrightarrow {KD} } \right) - \left( {\overrightarrow {KB} + \overrightarrow {KC} } \right)} \right|\)
\(= \left| {\overrightarrow {2KE} + \overrightarrow {2KF} } \right| = 2.\left( {\left| {\overrightarrow {KE} + \overrightarrow {KF} } \right|} \right) = 2.\left| {\overrightarrow {KO} } \right|\)
C. Bài tập tự rèn luyện
Bài 1: Cho hình vuông ABCD tâm O, cạnh a
Hãy xác định và tính độ dài của các vectơ \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} ;\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC}\)
Bài 2: Cho tam giác ABC, xác định các vectơ \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {BC}\)
Bài 3: Cho 4 điểm A , B , C , D tuỳ ý. Chứng minh rằng: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB}\)
Bài 4: Cho tứ giác ABCD . Gọi O là trung điểm của AB. Chứng minh rằng:\(\overrightarrow {OD} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC}\)
Bài 5: Cho tam giác ABC, gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA và AB. Chứng minh rằng: \(\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BE} + \overrightarrow {CF} = \overrightarrow 0\)
Bài 6: Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng: \(\overrightarrow {MQ} = \overrightarrow {NP}\)
Bài 7: Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của DC, AB, P là giao điểm của AM, BD, Q là giao điểm của AN và BD. Chứng minh rằng \(\overrightarrow {DM} = \overrightarrow {NB}\) và \(\overrightarrow {DP} = \overrightarrow {PQ}\)
---------------------------------------------------------------
Mời bạn đọc tham khảo thêm một số tài liệu liên quan đến bài học:
Trên đây là Độ dài vectơ VnDoc.com giới thiệu tới quý thầy cô và bạn đọc. Ngoài ra VnDoc mời độc giả tham khảo thêm tài liệu ôn tập một số môn học: Tiếng anh lớp 10, Vật lí lớp 10, Ngữ văn lớp 10 ,...
