Cho hình vuông ABCD tâm O tính độ dài vecto

Tính độ dài vecto môn Toán lớp 10 tổng hợp các dạng bài tập và hướng dẫn chi tiết về bất phương trình phổ biến trong các kì thi, bài kiểm tra trong chương trình trọng tâm Toán 10 nhằm giúp các bạn nắm vững kiến thức cơ bản, nâng cao kĩ năng tư duy bài tập. Chúc các bạn ôn tập hiệu quả!

Cho hình vuông ABCD tâm O

Bản quyền thuộc về VnDoc.
Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép nhằm mục đích thương mại

A. Lí thuyết cần nhớ

1. Cách tính độ dài vecto

Định nghĩa: Mỗi vecto đều có một độ dài, đó là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vecto đó. Độ dài của vecto \(\overrightarrow a\) được ký hiệu là _{\(\left| {\overrightarrow a } \right|\)}

Ta có độ dài các vecto _{\(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} ,\overrightarrow {EF} ,....\)} được biểu diễn như sau: \(\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = AB;\left| {\overrightarrow {CD} } \right| = CD;\left| {\overrightarrow {EF} } \right| = EF,...\)

- Quy tắc hình bình hành: Tổng hai vectơ cạnh chung điểm đầu của một hình bình hành bằng vectơ đường chéo có cùng điểm đầu đó.

- Phương pháp: muốn tính độ dài vectơ, ta tính độ dài cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ.

- Trong hệ tọa độ: Cho \(\overrightarrow a = \left( {{a_1};{a_2}} \right)\). Khi đó độ dài vectơ \(\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {{a_1}^2 + {a_2}^2}\)

2. Khoảng cách giữa hai điểm trong hệ tọa độ

Áp dụng công thức sau

Trong mặt phẳng tọa độ, khoảng cách giữa hai điểm \(A\left( {{x_A},{y_A}} \right);B\left( {{x_B};{y_B}} \right)\) là

\(\overrightarrow {AB} = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {y_B} - {y_A}\right)}^2}}\)

B. Bài tập ví dụ minh họa

Bài tập 1: Cho hình vuông ABCD tâm O cạnh a. Tính độ dài các vecto sau:

a. \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right|\)	b. \(\left| {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {DC} } \right|\)
c. \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right|\)	d. \(\left| {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} } \right|\)

Hướng dẫn giải

Giả sử E, F lần lượt là trung điểm của BC và AD

a. \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = 2\left| {\overrightarrow {AE} } \right| = 2AE\)

Xét tam giác ABE vuông tại B, áp dung định lí Pitago ta có:

\(\begin{matrix} A{E^2} = A{B^2} + B{E^2} \hfill \\ \Rightarrow AE = \sqrt {A{B^2} + B{E^2}} = \sqrt {{a^2} + {{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)}^2}} = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2} \hfill \\ \end{matrix}\)

b. \(\left| {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {DC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AB} } \right| = 2.AE = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\left( {cmt} \right)\)

c. \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right| = 2\left| {\overrightarrow {AO} } \right| = 2AO\)

Tam giác ABD vuông cân tại A, AO là đường cao. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ta có:

\(\begin{matrix} \dfrac{1}{{A{O^2}}} = \dfrac{1}{{A{B^2}}} + \dfrac{1}{{A{D^2}}} \hfill \\ \Rightarrow AO = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2} \hfill \\ \end{matrix}\)

d. \(\left| {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} } \right| = \left| {\overrightarrow {AO} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {BO} + \overrightarrow {OD} } \right|\)

\(= \left| {\left( {\overrightarrow {AO} + \overrightarrow {OC} } \right) + \left( {\overrightarrow {BO} + \overrightarrow {OD} } \right)} \right| = \left| {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} } \right| = 2.\left| {\overrightarrow {AD} } \right| = 2.AD = 2a\)

Bài tập 2: Cho hình vuông ABCD cạnh a tâm O. Tính _{\(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {OD} } \right|,\left| {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} } \right|\)}, _{\(\left| {\overrightarrow {KA} - \overrightarrow {KB} - \overrightarrow {KC} + \overrightarrow {KD} } \right|\)} với k bất kì, _{\(\left| {\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {CB} } \right|,\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DC} } \right|\)}

Hướng dẫn giải

a. \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {OD} } \right| = \left| {\overrightarrow {AO} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OD} } \right| = \left| {\left( {\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OD} } \right) + \overrightarrow {AO} } \right| = \left| {\overrightarrow {AO} } \right| = AO = \frac{1}{2}AC\)

Tam giác ABD vuông cân tại A, AO là đường cao. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ta có:

\(\begin{matrix} \dfrac{1}{{A{O^2}}} = \dfrac{1}{{A{B^2}}} + \dfrac{1}{{A{D^2}}} \hfill \\ \Rightarrow AO = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2} \hfill \\ \end{matrix}\)

b. \(\left| {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} } \right| = \left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CO} + \overrightarrow {OD} } \right| = \left| {\overrightarrow {AB} + \left( {\overrightarrow {CO} + \overrightarrow {OD} } \right)} \right| = \left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} } \right| = \overrightarrow 0\)

(Do 2 vecto cùng phương, ngược chiều)

c. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AD, BC, ta dễ dàng suy ra O là trung điểm của EF.

\(\left| {\overrightarrow {KA} - \overrightarrow {KB} - \overrightarrow {KC} + \overrightarrow {KD} } \right| = \left| {\left( {\overrightarrow {KA} + \overrightarrow {KD} } \right) - \left( {\overrightarrow {KB} + \overrightarrow {KC} } \right)} \right|\)

\(= \left| {\overrightarrow {2KE} + \overrightarrow {2KF} } \right| = 2.\left( {\left| {\overrightarrow {KE} + \overrightarrow {KF} } \right|} \right) = 2.\left| {\overrightarrow {KO} } \right|\)

C. Bài tập tự rèn luyện

Bài 1: Cho hình vuông ABCD tâm O, cạnh a
Hãy xác định và tính độ dài của các vectơ \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} ;\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC}\)
Bài 2: Cho tam giác ABC, xác định các vectơ \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {BC}\)
Bài 3: Cho 4 điểm A , B , C , D tuỳ ý. Chứng minh rằng: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB}\)
Bài 4: Cho tứ giác ABCD . Gọi O là trung điểm của AB. Chứng minh rằng:\(\overrightarrow {OD} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC}\)
Bài 5: Cho tam giác ABC, gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA và AB. Chứng minh rằng: \(\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BE} + \overrightarrow {CF} = \overrightarrow 0\)

Bài 6: Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng: \(\overrightarrow {MQ} = \overrightarrow {NP}\)

Bài 7: Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của DC, AB, P là giao điểm của AM, BD, Q là giao điểm của AN và BD. Chứng minh rằng \(\overrightarrow {DM} = \overrightarrow {NB}\) và \(\overrightarrow {DP} = \overrightarrow {PQ}\)

---------------------------------------------------------------

Mời bạn đọc tham khảo thêm một số tài liệu liên quan đến bài học:

Trên đây là Độ dài vectơ VnDoc.com giới thiệu tới quý thầy cô và bạn đọc. Ngoài ra VnDoc mời độc giả tham khảo thêm tài liệu ôn tập một số môn học: Tiếng anh lớp 10, Vật lí lớp 10, Ngữ văn lớp 10 ,...