VnDoc.com

Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (P) để biểu thức MA + MB nhỏ nhất

Ôn thi THPT Quốc gia môn Toán có đáp án

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 12

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Loại: Tài liệu Lẻ

Mức độ: Khó

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Bài toán tìm điểm M thuộc mặt phẳng để biểu thức MA + MB đạt min

A. Cách tim điểm M ∈ (P) để MA + MB nhỏ nhất
B. Bài tập minh họa tìm M ∈(P) để MA + MB nhỏ nhất
C. Bài tập tự rèn luyện tìm M thuộc mặt phẳng (P) để MA + MB đạt min

Trong chương trình Hình học không gian Toán 12, dạng bài Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (P) để biểu thức MA + MB nhỏ nhất là một trong những dạng toán ứng dụng cao, thường gặp trong đề Ôn thi THPT Quốc gia môn Toán có đáp án. Dạng bài này giúp học sinh rèn luyện tư duy hình học, kỹ năng sử dụng các tính chất của đường thẳng, mặt phẳng và phép đối xứng trong không gian.

Bài viết dưới đây sẽ hướng dẫn chi tiết cách giải nhanh – chính xác – logic, kèm lời giải và đáp án chi tiết, giúp bạn dễ dàng nắm vững phương pháp tìm điểm M tối ưu trong từng tình huống cụ thể.

A. Cách tim điểm M ∈ (P) để MA + MB nhỏ nhất

Phương pháp giải

Đối với tổng : Chúng ta thường chọn tâm tỉ cự $d_{b}.\overrightarrow{IA} + d_{a}.\overrightarrow{IB} = \overrightarrow{0}$ , trong đó $d_{a},d_{b}$ lần lượt là khoảng cách từ đến mặt phẳng $(\alpha)$ (hoặc đường thẳng $\Delta$ ).

Đối với mặt phẳng thì chúng ta có khái niệm hai điểm “Cùng phía hoặc khác phía”, nhưng đối với đường thẳng thì sao?.

Do đó ta có phương pháp tổng quát cho bài toán tìm $\min(MA + MB)$ với vị trí của điểm M cần tìm thuộc mp hoặc đường thẳng $\Delta$ bất kể cùng phía hay khác phía.

Gọi lần lượt là hình chiếu vuông góc của trên (hoặc $\Delta$ ).

Đặt $AH = d_{a},BK = d_{b}$ và $t = d_{a}/d_{b}$ .

Đối với bài $\min(MA + MB)$ : Vị trí M thuộc đoạn và thỏa mãn hệ thức vectơ:

$\overrightarrow{HM} + t\overrightarrow{KM} = \overrightarrow{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{OM} = \frac{\overrightarrow{OH} + t\overrightarrow{OK}}{1 + t}$

B. Bài tập minh họa tìm M ∈(P) để MA + MB nhỏ nhất

Ví dụ 1. Trong không gian độ , cho mặt phẳng và điểm , . Điểm thuộc sao cho nhỏ nhất. Giá trị của $a^{2} + b^{2} + c^{2}$ bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Cách 1:

Ta có nằm một phía của . Gọi đối xứng với qua suy ra A'( - 2;2;1) .

Ta có: $MA + MB = MA' + MB \geq A'B$ .

Dấu bằng xảy ra khi $M = A'B \cap (P)$ .

Xác định được $M\left( 1;\frac{1}{2};1 \right)$ . Suy ra $a^{2} + b^{2} + c^{2} = \frac{9}{4}$ .

Cách 2. (Phương pháp quỹ tích + đại số)

Ta có $\overrightarrow{AB} = (2;2; - 2)$ , suy ra phương trình (Q) chứa A, B và vuông góc với (P) là:

.

Nên giao tuyến $(Q) \cap (P) = \Delta:\left\{ \begin{matrix} x = 3 + 4t \\ y = 1 + t \\ z = - 2t \end{matrix} \right.$ . Đến đây ta có:

$AM + BM = \sqrt{21t^{2} + 42t + 27} + \sqrt{21t^{2} + 14t + 3} \geq \frac{3\sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} = 2\sqrt{5}$ , đạt được khi $t = - \frac{1}{2}$ .

Khi đó tọa độ $M\left( 1;\frac{1}{2};1 \right)$ . Suy ra $a^{2} + b^{2} + c^{2} = \frac{9}{4}$ .

(Khi MA + MB nhỏ nhất thì cũng có MA : MB = 3 : 1 = $d_{a}\ :\ d_{b}$ )

Ví dụ 2. Trong không gian , cho ba điểm , , . Điểm thỏa mãn sao cho nhỏ nhất. Tính ?

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải

M thuộc mặt phẳng trung trực của AB có phương trình (P): .

Ghi CALC nhập tọa độ B, kết quả là 5, CALC nhập tọa độ C, kết quả là 10.

Gọi I là điểm sao cho $2\overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0} \Leftrightarrow I\left( \frac{11}{3};\frac{7}{3};3 \right)$ .

M là hình chiếu của I trên (P).

Ghi $- \frac{2x + y + 0z - 3}{5}$ CALC (nhập tọa độ I) STO M, bấm AC

Ghi bấm = ta được . Chọn D.

Ví dụ 3. Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai điểm , . Lấy điểm thuộc mặt phẳng sao cho bé nhất. Tính $P = a^{2} + b^{3} - c^{4}$ .

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải

Cách 1. Tổng quát - Tâm tỉ cự.

Ta có tỉ số $t = \frac{d_{a}}{d_{b}} = \frac{|2|}{|6|} = \frac{1}{3}$ .

Hình chiếu , của A và B trên .

Điểm M thuộc thỏa mãn $\overrightarrow{HM} +t\overrightarrow{KM} = \overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow\overrightarrow{OM} = \frac{\overrightarrow{OH} +t\overrightarrow{OK}}{1 + t} = \frac{3\overrightarrow{OH} +\overrightarrow{OK}}{3 + 1}$ .

Đến đây ta tìm được , . Vậy $P = a^{2} + b^{3} - c^{4} = 33$ . Chọn C.

C. Bài tập tự rèn luyện tìm M thuộc mặt phẳng (P) để MA + MB đạt min

Bài tập 1. Trong hệ tọa độ , cho A (1; 5; 0), B (3; 3; 6), đường thẳng $d:\left\{ \begin{matrix} x = - 1 + 2t \\ y = 1 - t \\ z = 2t \end{matrix} \right.$ và điểm M thuộc d. Tìm tọa độ của M để chu vi tam giác AMB nhỏ nhất?

Bài tập 2. Trong không gian với hệ trục tọa độ cho điểm $A(2;3;0),\ \ B(0; - \sqrt{2};0),\ \ M\left( \frac{6}{5}; - \sqrt{2};2 \right)$ và đường thẳng $d:\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 0 \\ z = 2 - t \end{matrix} \right.\ .$ Điểm thuộc sao cho chu vi tam giác là nhỏ nhất thì độ dài bằng bao nhiêu?

Bài tập 3. Trong không gian , gọi là đường thẳng đi qua, song song với mặt phẳng và có tổng khoảng cách từ các điểm tới đường thẳng có giá trị nhỏ nhất. Tìm một vecto chỉ phương $\overrightarrow{u}$ của ?

Bài tập 4. Trong không gian , cho điểm và mặt phẳng . Điểm thay đổi thuộc ; điểm thay đổi thuộc mặt phẳng . Biết rằng tam giác có chu vi nhỏ nhất. Xác định tọa độ điểm ?

Bài tập 5. Trong không gian tọa độ , cho bốn điểm điểm ,, và . Giả sử M là điểm di động trên đường thẳng AB. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .

Bài tập 6. Trong không gian với hệ tọa độ , cho $A( - 3\ ;1\ ;1)$ , $B(5\ ;1\ ;1)$ và hai mặt phẳng , . Gọi $M(a\ ;b\ ;c)$ là điểm nằm trên hai mặt phẳng và sao cho đạt giá trị nhỏ nhất. Tính $T = a^{2} + b^{2} + c^{2}$ .

A. . B. . C. . D. .

Bài tập 7. Trong không gian , cho hai điểm $A(0\ ;\ - 1\ ;\ 2),\ B(1\ ;\ 1\ ;\ 2)$ và đường thẳng $d:\frac{x + 1}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z - 1}{1}$ . Biết điểm $M(a\ ;\ b\ ;\ c)$ thuộc đường thẳng sao cho tam giác có diện tích nhỏ nhất. Khi đó, giá trị bằng

A. . B. . C. . D. .

Đáp án bài tập tự rèn luyện

Bài tập 1.

Cần xác định vị trí M để MA + MB min.

Phương trình $d:\frac{x + 1}{2} = \frac{y - 1}{- 1} = \frac{z}{2}$ (nháp)

Ghi $x^{2} + y^{2} + z^{2} - \frac{(2x - y + 2z)^{2}}{9}$ CALC (thay A vào tử ) kết quả 20.

CALC (thay B vào tử ) kết quả 20.

Đến đây gọi I(2; 4; 3) là trung điểm AB.

Bấm ⏴Trở về sửa thành $\frac{(2x - y + 2z)}{9}$ CALC nhập kết quả .

Bài tập 2

Cách 1. Vì AB không đổi nên ta cần tìm vị trí của C sao cho giá trị của tổng CA + CB nhỏ nhất.

Ta có:

$T = AC + BC = \sqrt{2(t - 2)^{2} + 9} + \sqrt{t^{2} + (t - 2)^{2} + 2}$

$= \sqrt{2t^{2} - 8t + 17} + \sqrt{2t^{2} - 4t + 6} \geq 3\sqrt{3}$ .

Dấu bằng có khi $t = \frac{7}{5}$ .

Do đó $CM = \sqrt{\left( t - \frac{6}{5} \right)^{2} + 2 + t^{2}} = 2$ .

Cách 2. Tâm tỉ cự.

Ghi $x^{2} + y^{2} + z^{2} - \frac{(x + 0y - z)^{2}}{2}$ CALC nhập có ${d_{a}}^{2} = 9$ . CALC nhập $0 = - \sqrt{2} = - 2 =$ có ${d_{b}}^{2} = 4$ .

Gọi I là điểm sao cho $2\overrightarrow{IA} + 3\overrightarrow{IB} = \overrightarrow{0}$ , tọa độ $I(\frac{4}{5};\frac{6 - 2\sqrt{2}}{5};0)$ .

Sửa thành $\frac{(x + 0y - z)}{2}$ CALC nhập $\frac{4}{5} = \frac{6 - 2\sqrt{2}}{5} = - 2 =$ ta được $t = \frac{7}{5}$ .

Vậy M là hình chiếu của I trên d, tọa độ $M(\frac{7}{5};0;\frac{3}{5})$ nên .

Tài liệu dài, tải về để xem chi tiết và đầy đủ nhé!

-----------------------------------------------------

Qua bài viết Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (P) để biểu thức MA + MB nhỏ nhất”, chắc hẳn bạn đã nắm rõ phương pháp tư duy hình học không gian, kết hợp với kỹ năng biến đổi đại số để giải quyết các bài toán tối ưu trong không gian. Đây là chuyên đề quan trọng trong chương trình Toán 12 và thường xuyên xuất hiện trong các đề Ôn thi THPT Quốc gia môn Toán có đáp án.

Hãy luyện tập thêm nhiều dạng bài tương tự để củng cố kiến thức, rèn kỹ năng và đạt điểm cao trong các kỳ thi sắp tới!

Tải về

Chọn file muốn tải về: