Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (P) để biểu thức MA + MB nhỏ nhất
Bài toán tìm điểm M thuộc mặt phẳng để biểu thức MA + MB đạt min
Trong chương trình Hình học không gian Toán 12, dạng bài Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (P) để biểu thức MA + MB nhỏ nhất là một trong những dạng toán ứng dụng cao, thường gặp trong đề Ôn thi THPT Quốc gia môn Toán có đáp án. Dạng bài này giúp học sinh rèn luyện tư duy hình học, kỹ năng sử dụng các tính chất của đường thẳng, mặt phẳng và phép đối xứng trong không gian.
Bài viết dưới đây sẽ hướng dẫn chi tiết cách giải nhanh – chính xác – logic, kèm lời giải và đáp án chi tiết, giúp bạn dễ dàng nắm vững phương pháp tìm điểm M tối ưu trong từng tình huống cụ thể.
A. Cách tim điểm M ∈ (P) để MA + MB nhỏ nhất
Phương pháp giải
Đối với tổng 
\(MA + MB\): Chúng ta thường chọn tâm tỉ cự \(d_{b}.\overrightarrow{IA} +
d_{a}.\overrightarrow{IB} = \overrightarrow{0}\), trong đó \(d_{a},d_{b}\) lần lượt là khoảng cách từ \(A,B\) đến mặt phẳng \((\alpha)\) (hoặc đường thẳng \(\Delta\)).
Đối với mặt phẳng thì chúng ta có khái niệm hai điểm “Cùng phía hoặc khác phía”, nhưng đối với đường thẳng thì sao?.
Do đó ta có phương pháp tổng quát cho bài toán tìm \(\min(MA + MB)\) với vị trí của điểm M cần tìm thuộc mp\((P)\) hoặc đường thẳng \(\Delta\) bất kể cùng phía hay khác phía.
Gọi \(H,K\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(A,B\) trên \((P)\) (hoặc \(\Delta\)).
Đặt \(AH = d_{a},BK = d_{b}\) và \(t = d_{a}/d_{b}\).
Đối với bài \(\min(MA + MB)\): Vị trí M thuộc đoạn \(HK\) và thỏa mãn hệ thức vectơ:
\(\overrightarrow{HM} +
t\overrightarrow{KM} = \overrightarrow{0} \Leftrightarrow
\overrightarrow{OM} = \frac{\overrightarrow{OH} +
t\overrightarrow{OK}}{1 + t}\)
B. Bài tập minh họa tìm M ∈(P) để MA + MB nhỏ nhất
Ví dụ 1. Trong không gian độ \(Oxyz\), cho mặt phẳng \((P):x - 2y + z - 1 = 0\) và điểm \(A(0; - 2;3)\), \(B(2;0;1)\). Điểm \(M(a;b;c)\) thuộc \((P)\) sao cho \(MA + MB\) nhỏ nhất. Giá trị của \(a^{2} + b^{2} + c^{2}\) bằng bao nhiêu?
Hướng dẫn giải
Hình vẽ minh họa
Cách 1:
Ta có \(A,B\) nằm một phía của \((P)\). Gọi \(A'\) đối xứng với \(A\) qua \((P)\) suy ra\(A'( - 2;2;1)\).
Ta có: \(MA + MB = MA' + MB \geq
A'B\).
Dấu bằng xảy ra khi \(M =
A'B \cap (P)\).
Xác định được \(M\left( 1;\frac{1}{2};1
\right)\) . Suy ra \(a^{2} + b^{2} +
c^{2} = \frac{9}{4}\).
Cách 2. (Phương pháp quỹ tích + đại số)
Ta có \(\overrightarrow{AB} = (2;2; -
2)\), suy ra phương trình (Q) chứa A, B và vuông góc với (P) là:
\((Q):x + 2y + 3z - 5 = 0\).
Nên giao tuyến \((Q) \cap (P) =
\Delta:\left\{ \begin{matrix}
x = 3 + 4t \\
y = 1 + t \\
z = - 2t
\end{matrix} \right.\). Đến đây ta có:
\(AM + BM = \sqrt{21t^{2} + 42t + 27} +
\sqrt{21t^{2} + 14t + 3} \geq \frac{3\sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} =
2\sqrt{5}\), đạt được khi \(t = -
\frac{1}{2}\).
Khi đó tọa độ \(M\left( 1;\frac{1}{2};1
\right)\). Suy ra \(a^{2} + b^{2} +
c^{2} = \frac{9}{4}\).
(Khi MA + MB nhỏ nhất thì cũng có MA : MB = 3 : 1 = \(d_{a}\ :\ d_{b}\))
Ví dụ 2. Trong không gian \(Oxyz\), cho ba điểm \(A( - 1;0;1)\), \(B(3;2;1)\), \(C(5;3;7)\). Điểm \(M(a;b;c)\) thỏa mãn \(MA = MB\) sao cho \(MB + MC\) nhỏ nhất. Tính \(P = a + b + c\)?
A. \(P = 4\). B. \(P = 0\). C. \(P =
2\). D. \(P = 5\).
Hướng dẫn giải
M thuộc mặt phẳng trung trực của AB có phương trình (P): \(2x + y - 3 = 0\).
Ghi \(2x + y - 3\) CALC nhập tọa độ B, kết quả là 5, CALC nhập tọa độ C, kết quả là 10.
Gọi I là điểm sao cho \(2\overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} =
\overrightarrow{0} \Leftrightarrow I\left( \frac{11}{3};\frac{7}{3};3
\right)\).
M là hình chiếu của I trên (P).
Ghi \(- \frac{2x + y + 0z - 3}{5}\) CALC (nhập tọa độ I) STO M, bấm AC
Ghi \(2M + x + M + y + 0M + z\) bấm = ta được \(5\). Chọn D.
Ví dụ 3. Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hai điểm \(A(6;3;2)\), \(B(2; - 1;6)\). Lấy điểm \(M(a;b;c)\) thuộc mặt phẳng \((Oxy)\) sao cho \(MA + MB\) bé nhất. Tính \(P = a^{2} + b^{3} - c^{4}\).
A. \(P = 129\). B. \(P = - 48\). C. \(P = 33\). D. \(P
= 48\).
Hướng dẫn giải
Cách 1. Tổng quát - Tâm tỉ cự.
Ta có tỉ số \(t = \frac{d_{a}}{d_{b}} =
\frac{|2|}{|6|} = \frac{1}{3}\).
Hình chiếu \(H(6;3;0)\), \(K(2; - 1;0)\) của A và B trên \((Oxy)\).
Điểm M thuộc \((Oxy)\) thỏa mãn \(\overrightarrow{HM} +t\overrightarrow{KM} = \overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{OM} = \frac{\overrightarrow{OH} +t\overrightarrow{OK}}{1 + t} = \frac{3\overrightarrow{OH} +\overrightarrow{OK}}{3 + 1}\).
Đến đây ta tìm được \(a = 5\), \(b = 2\). Vậy \(P
= a^{2} + b^{3} - c^{4} = 33\). Chọn C.
C. Bài tập tự rèn luyện tìm M thuộc mặt phẳng (P) để MA + MB đạt min
Bài tập 1. Trong hệ tọa độ \(Oxyz\), cho A (1; 5; 0), B (3; 3; 6), đường thẳng \(d:\left\{ \begin{matrix}
x = - 1 + 2t \\
y = 1 - t \\
z = 2t
\end{matrix} \right.\) và điểm M thuộc d. Tìm tọa độ của M để chu vi tam giác AMB nhỏ nhất?
Bài tập 2. Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz,\) cho điểm\(A(2;3;0),\ \ B(0; - \sqrt{2};0),\ \ M\left(
\frac{6}{5}; - \sqrt{2};2 \right)\)và đường thẳng\(d:\left\{ \begin{matrix}
x = t \\
y = 0 \\
z = 2 - t
\end{matrix} \right.\ .\) Điểm \(C\) thuộc \(d\) sao cho chu vi tam giác \(ABC\) là nhỏ nhất thì độ dài \(CM\) bằng bao nhiêu?
Tài liệu dài, tải về để xem chi tiết và đầy đủ nhé!
-----------------------------------------------------
Qua bài viết Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (P) để biểu thức MA + MB nhỏ nhất”, chắc hẳn bạn đã nắm rõ phương pháp tư duy hình học không gian, kết hợp với kỹ năng biến đổi đại số để giải quyết các bài toán tối ưu trong không gian. Đây là chuyên đề quan trọng trong chương trình Toán 12 và thường xuyên xuất hiện trong các đề Ôn thi THPT Quốc gia môn Toán có đáp án.
Hãy luyện tập thêm nhiều dạng bài tương tự để củng cố kiến thức, rèn kỹ năng và đạt điểm cao trong các kỳ thi sắp tới!
