VnDoc.com

Bài tập tâm tỉ cự nâng cao Toán 12 Có đáp án và lời giải chi tiết

Ôn thi THPT Quốc gia môn Toán có đáp án

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 12

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Loại: Tài liệu Lẻ

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Chuyên đề tâm tỉ cự Toán 12 có lời giải chi tiết

A. Kiến thức cần nhớ về Tâm tỉ cự
B. Bài tập ví dụ minh họa Tâm tỉ cự có hướng dẫn chi tiết
C. Bài tập tự rèn luyện có đáp án chi tiết

Trong chương trình Hình học giải tích Toán 12, chuyên đề tâm tỉ cự là một trong những nội dung quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng xác định vị trí điểm và tính toán chính xác bằng tọa độ.

Bài viết Bài tập tâm tỉ cự nâng cao Toán 12 Có đáp án và lời giải chi tiết được biên soạn kỹ lưỡng, tổng hợp nhiều dạng bài tập từ cơ bản đến nâng cao, kèm lời giải chi tiết và phương pháp làm nhanh, giúp học sinh nắm chắc bản chất, thành thạo kỹ năng xử lý bài tập tâm tỉ cự trong phương pháp tọa độ Oxyz. Đây là tài liệu hữu ích dành cho học sinh lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia môn Toán và những ai muốn củng cố kiến thức hình học không gian một cách hệ thống và hiệu quả.

A. Kiến thức cần nhớ về Tâm tỉ cự

Với hai điểm và $\alpha,\ \ \beta$ là các số sao cho $\alpha + \beta \neq 0$ .

Điểm I thỏa mãn $\alpha\overrightarrow{IA} + \beta\overrightarrow{IB} = \overrightarrow{0}$ gọi là tâm tỉ cự của hai điểm . Khi đó tọa độ I tính theo công thức:

$x_{I} = \frac{\alpha x_{A} + \beta x_{B}}{\alpha + \beta}$ , $y_{I} = \frac{\alpha y_{A} + \beta y_{B}}{\alpha + \beta}$ , $z_{I} = \frac{\alpha z_{A} + \beta z_{B}}{\alpha + \beta}$ .

Chứng minh: (Hoàn toàn tương tự với bộ n điểm)

$\alpha\overrightarrow{IA} + \beta\overrightarrow{IB} = \overrightarrow{0} \Leftrightarrow \alpha\left( \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OI} \right) + \beta\left( \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OI} \right) = \overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow (\alpha + \beta)\overrightarrow{OI} = \alpha\overrightarrow{OA} + \beta\overrightarrow{OB}$ hay ta có

$\Leftrightarrow \overrightarrow{OI} = \frac{\alpha}{\alpha + \beta}\overrightarrow{OA} + \frac{\beta}{\alpha + \beta}\overrightarrow{OB}$ . Chuyển về tọa độ ta có đpcm.

Chú ý:

Điểm I thuộc đường thẳng AB. Nếu đặt $\frac{\alpha}{\alpha + \beta} = k$ thì $\frac{\beta}{\alpha + \beta} = 1 - k$ và ta có $\overrightarrow{OI} = k\overrightarrow{OA} + (1 - k)\overrightarrow{OB}$ .
Đặc biệt khi $\alpha = \beta = 1$ thì I là trung điểm của AB. Mở rộng đối với ba điểm A, B, C và bộ $\alpha + \beta + \gamma \neq 0$ ta có $\alpha\overrightarrow{IA} + \beta\overrightarrow{IB} + \gamma\overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0}$ thì I là tâm tỉ cự của ba điểm đó. Hơn nữa với tam giác ABC thì ta hay sử dụng $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}$ , với $\alpha = \beta = \gamma = 1$ .

B. Bài tập ví dụ minh họa Tâm tỉ cự có hướng dẫn chi tiết

Ví dụ 1. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $A(4;\ \ - 3;2),\ \ B(2;\ \ 5; - 1)$ . Tìm tọa độ điểm K thỏa mãn đẳng thức $\overrightarrow{KA} - 2\overrightarrow{KB} = \overrightarrow{0}$ .

Hướng dẫn giải

$\overrightarrow{KA} - 2\overrightarrow{KB} = \overrightarrow{0} \Leftrightarrow x_{K} = \frac{x_{A} - 2x_{B}}{1 - 2},y_{K} = \frac{y_{A} - 2y_{B}}{1 - 2},z_{K} = \frac{z_{A} - 2z_{B}}{1 - 2}$ $\Rightarrow K(0;\ \ 13; - 4)$ .

Lưu ý.

Để tránh sai sót về dấu, dùng Casio ghi $\frac{A - 2B}{1 - 2}$ CALC nhập (lần 1 hoành độ tương ứng của ) CALC lần 2 nhập tung độ, CALC lần 3 nhập cao độ.

Ví dụ 2. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai điểm $E(3;\ \ - 3;5),\ \ F(7;\ \ 1;3)$ . Tìm tọa độ điểm K thuộc trục Oy sao cho $\left| 3\overrightarrow{KE} - 2\overrightarrow{KF} \right|$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Hướng dẫn giải

Gọi I là điểm thỏa mãn $3\overrightarrow{IE} - 2\overrightarrow{IF} = \overrightarrow{0} \Rightarrow I( - 5;\ \ - 11;9)$ .

Khi đó $\left| 3\overrightarrow{KE} - 2\overrightarrow{KF} \right| = \left| 3\left( \overrightarrow{KI} + \overrightarrow{IE} \right) - 2\left( \overrightarrow{KI} + \overrightarrow{IF} \right) \right| = \left| \overrightarrow{KI} \right| = KI$ đạt giá trị nhỏ nhất $\Leftrightarrow$ K là hình chiếu của I trên trục Oy, vậy điểm K cần tìm là $K(0;\ \ - 11;0)$ .

Ví dụ 3. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho ba điểm và M là một điểm thay đổi trên mặt phẳng Oxy. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} \right|$ .

Hướng dẫn giải

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC $\Rightarrow G(2;\ \ - 4; - 3)$ .

Ta có $\left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} \right| = \left| 3\overrightarrow{MG} \right| = 3MG$ nhỏ nhất

$\Leftrightarrow$ M là hình chiếu của G trên Oxy $\Leftrightarrow M(2;\ \ - 4;0)$ và khi đó.

Vậy $P_{\min} = 9$ .

C. Bài tập tự rèn luyện có đáp án chi tiết

Bài tập 1. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $P(1;\ \ 4; - 3),\ \ Q( - 5;\ \ 2;5)$ . Tìm tọa độ điểm M thuộc trục Ox sao cho $\left| \overrightarrow{MP} + \overrightarrow{MQ} \right|$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài tập 2. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm $A(2;\ \ - 1;0),\ \ B(5;\ \ 0;1),\ \ C(3;\ \ 2; - 1)$ . Tọa độ điểm M thỏa mãn đẳng thức $6\overrightarrow{MA} - 11\overrightarrow{MB} + 9\overrightarrow{MC} = \overrightarrow{0}$ là:

A. $(4;\ \ - 3;5)$ B. $( - 3;\ - \ 4; - 5)$

C. $( - 4;\ \ 3; - 5)$ D. $(4;\ \ 3; - 5)$ .

Bài tập 3. Trong không gian , cho ba điểm $A( - 1;2; - 3),\ \ B(1;0;2),\ \ C(x;y; - 2)$ thẳng hàng. Khi đó bằng:

A. . B. .

C. $x + y = - \frac{11}{5}$ . D. $x + y = \frac{11}{5}$ .

Bài tập 5. Trong không gian , cho ba điểm , , và điểm thuộc mặt cầu $(S):x^{2} + y^{2} + (z - 1)^{2} = 1$ . Khi biểu thức $MA^{2} + MB^{2} + MC^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất thì độ đài đoạn bằng

A. $\sqrt{2}$ . B. $\sqrt{6}$ . C. . D. .

Bài tập 6. Trong không gian , cho điểm , và đường thẳng $d:\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{- 2} = \frac{z - 3}{2}$ . Tìm tọa độ điểm trên đường thẳng sao cho $MA^{2} + MB^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

A. . B. . C. . D. .

Bài tập 7. Trong không gian , cho $A(4; - 2;6);\ B(2;4;2);\ M \in (\alpha):x + 2y - 3z - 7 = 0$ sao cho $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}$ nhỏ nhất, khi đó tọa độ của là

A. $\left( \frac{29}{13};\frac{58}{13};\frac{5}{13} \right)$ . B. . C. . D. $\left( \frac{37}{3};\frac{- 56}{3};\frac{68}{3} \right)$ .

Bài tập 8. Trong không gian với hệ tọa độ , cho $A(\ - 1;\ 2;\ 1)$ , $B(\ 2;\ - 1;\ 3)$ , $C(\ 3;\ 5;\ - 1)$ . Điểm $M(\ a;\ b;\ c)$ trên mặt phẳng sao cho $\left| \overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} - \overrightarrow{CM} \right|$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó bằng

A. . B. . C. . D. .

Bài tập 9. Trong không gian với hệ tọa độ , cho , , và mặt phẳng . Tìm điểm thuộc sao cho $\left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} - \overrightarrow{MC} \right|$ nhỏ nhất.

A. . B. . C. . D. .

Bài tập 10. Trong không gian , cho hai điểm , và mặt phẳng . Xét M là điểm thay đổi thuộc , giá trị nhỏ nhất của $2MA^{2} + 3MB^{2}$ bằng

A. B. C. D.

Đáp án bài tập tự rèn luyện

Bài tập 1.

Gọi I là trung điểm của PQ ta có tọa độ $I( - 2;\ \ 3;1)$ .

Khi đó $\left| \overrightarrow{MP} + \overrightarrow{MQ} \right| = \left| 2\overrightarrow{MI} \right| = 2MI$ nhỏ nhất

$\Leftrightarrow$ M là hình chiếu vuông góc của I trên trục hoành.

Vậy tọa độ $M( - 2;\ \ 0;0)$ .

Bài tập 2.

Ta có $6\overrightarrow{MA} - 11\overrightarrow{MB} + 9\overrightarrow{MC} = \overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow x_{M} = \frac{6x_{A} - 11x_{B} + 9x_{C}}{6 - 11 + 9};... \Leftrightarrow M( - 4;\ \ 3; - 5)$ . Chọn C.

Bài tập 3

Ta có ba điểm A, B, C thẳng hàng

$\Leftrightarrow \overrightarrow{OC} = k\overrightarrow{OA} + (1 - k)\overrightarrow{OB}$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - k + 1 - k \\ y = 2k \\ - 2 = - 3k + 2(1 - k) \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow k = \frac{4}{5},x = \frac{- 3}{5},y = \frac{8}{5} \Rightarrow x + y = 1.$ Chọn A. (Có thể cộng x + y từ hệ mà không cần giải)

Bài tập 4.

Gọi I là điểm thỏa mãn $\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID} = \overrightarrow{0} \Rightarrow I\left( \frac{7}{4};\ \ \frac{14}{4};0 \right)$ .

Ta có $T = 4MI^{2} + IA^{2} + IB^{2} + IC^{2} + ID^{2}$ nên T nhỏ nhất khi M trùng I.

Vậy $x + y + z = \frac{21}{4}$ .

Bài tập 5.

Cách 1. Phương pháp véc tơ.

Gọi I(0 ; 0 ; 1) là tâm mặt cầu, bán kính , ta có $\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} = (0;0;6) = \overrightarrow{IK}$ .

Ta có : $MA^{2} + MB^{2} + MC^{2} = 3MI^{2} + IA^{2} + IB^{2} + IC^{2} + 2\overrightarrow{MI}.\overrightarrow{IK}$ .

Vậy để tổng nhỏ nhất thì $\overrightarrow{MI},\overrightarrow{IK}$ ngược hướng nhau $\Leftrightarrow \overrightarrow{IM} = t\overrightarrow{IK} = t(0;0;6),t > 0$

Suy ra $t = \frac{R}{IK} = \frac{1}{6} \Rightarrow \overrightarrow{IM} = \frac{1}{6}(0;0;6) = (0;0;1)$

$\Rightarrow M(0;0;2) \Rightarrow AM = \sqrt{2}$ . Chọn A.

Cách 2. Khảo sát - BĐT.

Gọi $M(x;y;z) \in (S)$ , từ giả thiết ta có $- 1 \leq z - 1 \leq 1$ .

Đặt $T = MA^{2} + MB^{2} + MC^{2}$ , ta có

$T = (x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 2)^{2} + (x + 1)^{2}$

$+ y^{2} + (z - 4)^{2} + x^{2} + (y + 1)^{2} + (z - 3)^{2}$

$T = 3x^{2} + 3y^{2} + 4 + 3(z - 1)^{2} - 12(z - 1) + 1 + 4 + 9 = 21 - 12(z - 1) \geq 9$ .

Dấu bằng tại $z - 1 = 1,x = y = 0 \Leftrightarrow M(0;0;2) \Rightarrow MA = \sqrt{2}.$

Tài liệu dài, tải về để xem chi tiết và đầy đủ nhé!

---------------------------------------------------------

Thông qua bài viết Bài tập tâm tỉ cự nâng cao Toán 12 Có đáp án và lời giải chi tiết, học sinh không chỉ hiểu rõ khái niệm và công thức tâm tỉ cự, mà còn vận dụng linh hoạt trong nhiều bài toán hình học không gian phức tạp. Hãy luyện tập thường xuyên các dạng bài tương tự để củng cố kiến thức và rèn phản xạ giải nhanh – giúp bạn tự tin đạt điểm cao trong kỳ thi THPT Quốc gia môn Toán sắp tới.

Tải về

Chọn file muốn tải về: