Cách giải nhanh bài toán tương giao đồ thị bằng máy tính Casio
Mẹo bấm máy Casio ôn thi THPT môn Toán
Trong quá trình ôn thi THPT quốc gia môn Toán, dạng toán tìm điểm tương giao của hai đồ thị hàm số thường xuất hiện trong đề thi trắc nghiệm với yêu cầu giải nhanh, chính xác. Thay vì giải hệ phương trình bằng tay, bạn hoàn toàn có thể dùng máy tính Casio để tìm nhanh nghiệm tương giao chỉ với vài thao tác đơn giản. Bài viết dưới đây sẽ hướng dẫn chi tiết cách giải nhanh bài toán tương giao đồ thị bằng máy tính Casio, giúp bạn tiết kiệm thời gian và tăng độ chính xác khi làm bài. Cùng bắt đầu ngay nhé!
A. Phương pháp đồ thị tìm số nghiệm của phương trình
Cho phương trình 
\(f(x) = g(x)\ \ \ \ \
(1)\), số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f(x)\) và đồ thị hàm số \(y = g(x)\).
\(y = m\): Số nghiệm của phương trình \(f(x) = 0\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f(x)\) và trục hoành
B. Bài toán tìm nghiệm của phương trình chứa tham số
Ta tiến hành cô lập m và đưa phương trình ban đầu về dạng \(f(x) = m\ \ \ \ (2)\) khi đó số nghiệm của phương trình (2) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f(x)\) và đường thẳng \(y = m\).
Chú ý: Đường thẳng \(y = m\) có tính chất song song với trục hoành và đi qua điểm có tọa độ \((0;m)\)
C. Bài tập ví dụ minh họa bấm máy tính giải bài toán tương giao đồ thị
Ví dụ 1. Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để phương trình \(log_{2}x - log_{2}(x - 2) = m\) có nghiệm?
A. \(1 \leq m < + \infty\) B. \(1 < m < + \infty\)
C. \(0 \leq m < + \infty\) D. \(0 < m < + \infty\)
Hướng dẫn giải
Cách 1: Casio
Đặt \(\log_{2}x - \log_{2}(x - 2) =f(x)\) khi đó \(m = f(x)\ \ \ \
(1)\)
Để phương trình (1) có nghiệm thì m thuộc miền giá trị của \(f(x)\) hay \(f\left( \min \right) \leq m \leq f\left( \max
\right)\)
Tới đây bài toán tìm tham số m được quy về bài toán tìm min, max của một hàm số
Ta sử dụng chức năng MODE với miền giá trị của x là Start 2 End 10 Step 0.5
Quan sát bảng giá trị F(X) ta thấy \(f(10)
\approx 0,3219\) vậy đáp số A và B sai.
Đồng thời khi x càng tăng vậy thì F(X) càng giảm. Vậy câu hỏi đặt ra là F(X) có giảm được về 0 hay không.
Ta tư duy nếu F(X) giảm được về 0 có nghĩa là phương trình f(x) = 0 có nghiệm. Để kiểm tra dự đoán này ta sử dụng chức năng dò nghiệm SHIFT SOLVE.
Máy tính Casio báo phương trình này không có nghiệm. Vậy dấu “=” không xảy ra
Tóm lại \(f(x) > 0 \Leftrightarrow m
> 0\).
Vậy đáp D là đáp án chính xác.
Cách 2. Tự luận
Điều kiện x > 2
Phương trình tương đương \(m =\log_{2}\left( \frac{x}{x - 2} \right) \Leftrightarrow m = \log_{2}\left(1 + \frac{2}{x - 2} \right)\)
Vì x > 2 nên \(x - 2 > 0 \Rightarrow1 + \frac{2}{x - 2} > 1\)
\(\Rightarrow \log_{2}\left( 1 + \frac{2}{x - 2}\right) > \log_{2}1 = 0\)
Vậy \(m = \log_{2}\left( 1 + \frac{2}{x - 2}\right) > 0\).
Nhận xét: Mỗi bài toán mẫu mực của dạng tìm tham số m ta giải bằng cách kết hợp chức năng lập bảng giá trị MODE 7 và chức năng dò nghiệm SHIFT SOLVE một cách khéo léo.
Chú ý: m = f(x) mà f(x) > 0 vậy m > 0 một tính chất bắc cầu hay và thường xuyên gặp.
Ví dụ 2. Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để phương trình \(x^{3} - 3x^{2} + m = 0\) có 3 nghiệm phân biệt?
A. \(- 4 < m < 0\) B. \(- 4 \leq m \leq 0\)
C. \(0 \leq m \leq 4\) D. \(0 < m < 1\)
Hướng dẫn giải
Cô lập m, đưa phương trình ban đầu về dạng \(m = - x^{3} + 3x^{2}\). Đặt \(x^{3} - 3x^{2} = f(x)\) khi đó \(f(x) = m\ \ \ (1)\), số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị \(y =
f(x)\) và \(y = m\).
Để khảo sát hàm số \(y = f(x)\) ta sử dụng chức năng MODE 7 Start -2 End 5 Step 0,5
Quan sát bảng giá trị F(X) ta thấy giá trị cực tiểu là 0 và giá trị cực đại là 4 vậy ta có sơ đồ đường đi của f(x) như sau:
Rõ ràng hai đồ thị cắt nhau tại 3 điểm phân biệt nếu \(0 < m < 4\)
Ví dụ 3. Cho hàm số \(y = \frac{2x + 2}{x -
1}\)có đồ thị \((C)\). Đường thẳng \((d):y = x + 1\) cắt đồ thị \((C)\) tại hai điểm phân biệt M, N thì tung độ điểm I của đoạn thẳng MN bằng:
A. -3 B. -2 C. 1 D. 2
Hướng dẫn giải
Phương trình hoành độ giao điểm \(\frac{2x
+ 2}{x - 1} = x + 1\). Nhập phương trình này vào máy tính Casio và dò nghiệm
Ta có ngay 2 nghiệm \(\left\lbrack
\begin{matrix}
x_{1} = 3 \Rightarrow y_{1} = x_{1} + 1 = 4 \\
x_{2} = - 1 \Rightarrow y_{2} = x_{2} + 1 = 0
\end{matrix} \right.\)
\(\Rightarrow y_{t} = \frac{y_{1} +
y_{2}}{2} = 2\)
=> Đáp số chính xác là D.
Ví dụ 4. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số \(y = x^{3} + mx + 16\) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt?
A. \(m > 12\) B. \(m < - 12\)
C. \(m < 0\) D. Không có m thỏa mãn
Hướng dẫn giải
Để đồ thị hàm số \(y = x^{3} + mx +
16\) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt thì phương trình \(x^{3} + mx + 16 = 0\ \ \ (1)\) có 3 nghiệm phân biệt
Với m = 14 sử dụng lệnh giải phương trình bậc 3 MODE 5
Ta thấy nghiệm \(x_{1};x_{2}\) là nghiệm ảo => Không đủ 3 nghiệm thực => m = 14 không thỏa mãn => A sai
Với m = -14 sử dụng lệnh giải phương trình bậc 3 MODE 5.
Ta thấy ra 3 nghiệm thực => Đáp án đúng có thể là B hoặc C
Thử thêm 1 giá trị m = -1 nữa thì thấy m = -1 không thỏa mãn
=> Đáp số chính xác là B.
Ví dụ 5. Cho hàm số \(y = \frac{1}{2}x^{4}
- 3x^{2} + \frac{3}{2}\) có đồ thị \((C)\). Biết đường thẳng \(y = - 4x + 3\) tiếp xúc với \((C)\) tại điểm A và cắt \((C)\) tại điểm B. Tìm tung độ của điểm B.
A. 1 B. 15 C. -3 D. -1
Hướng dẫn giải
Thiết lập phương trình hoành độ giao điểm \(\frac{1}{2}x^{4} - 3x^{2} + \frac{3}{2} = - 4x +
3\)
Sử dụng SHIFT SOLVE để dò 2 nghiệm phương trình trên
Nếu A là tiếp điểm thì \(y'\left( x_{A}
\right) = 0\), B là giao điểm \(\Rightarrow y'\left( x_{B} \right) \neq
0\)
\(\Rightarrow x_{B} = 1 \Rightarrow y_{B}
= - 4x_{B} + 3 = - 1\)
---------------------------------------------------
Việc nắm vững cách giải nhanh bài toán tương giao đồ thị bằng máy tính Casio là một kỹ năng quan trọng giúp bạn tối ưu thời gian làm bài trắc nghiệm Toán, đặc biệt trong kỳ thi THPT quốc gia. Ngoài dạng toán tương giao, còn rất nhiều kỹ thuật sử dụng Casio để giải nhanh các dạng bài như đạo hàm, tiếp tuyến, giới hạn...
Hãy tiếp tục theo dõi chuyên mục Mẹo bấm máy Casio ôn thi THPT môn Toán của chúng tôi để cập nhật thêm nhiều thủ thuật hữu ích, ví dụ minh họa và bài tập có lời giải chi tiết. Đừng quên chia sẻ bài viết nếu bạn thấy hữu ích nhé!
