Cách tính phương sai và độ lệch chuẩn
Công thức phương sai độ lệch chuẩn
Phương sai, độ lệch chuẩn mẫu số liệu ghép nhóm là tài liệu do VnDoc biên soạn hướng dẫn cách tính phương sai, cách tính độ lệch chuẩn chi tiết giúp bạn đọc tổng hợp, ôn tập kiến thức đạt hiệu quả cao nhất, mời bạn đọc tham khảo chi tiết và tải về bài viết dưới đây nhé. Chúc các bạn học tập tốt!
A. Công thức phương sai
Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là 
\(s^{2}\), là một số được tính theo công thức:
\(s^{2} = \frac{m_{1}\left( x_{1} -
\overline{x} \right)^{2} + ... + m_{k}\left( x_{k} - \overline{x}
\right)^{2}}{n}\)
Tromg đó: \(n = m_{1} + .. +
m_{k}\), \(x_{i} = \frac{a_{i} + a_{i +
1}}{2};(i = 1,2,...,k)\) là giá trị đại diện cho nhóm \(\left\lbrack a_{i};a_{i + 1} \right)\) và \(\overline{x} = \frac{m_{1}x_{1} + ... +
m_{k}x_{k}}{n}\) là số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm.
Nhận xét: Ta có thể tính phương sai theo công thức:
\(s^{2} = \frac{1}{n}\left(
m_{1}{x_{1}}^{2} + ... + m_{k}.{x_{k}}^{2} \right) - \left( \overline{x}
\right)^{2}\)
Ví dụ. Thống kê kết quả giải rubik của một bạn học sinh được ghi lại như sau:
|
Thời gian (giây) |
[8; 10) |
[10; 12) |
[12; 14) |
[14; 16) |
[16; 18) |
|
Số lần |
4 |
6 |
8 |
4 |
3 |
Xác định phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm?
Hướng dẫn giải
Ta có:
|
Thời gian (giây) |
[8; 10) |
[10; 12) |
[12; 14) |
[14; 16) |
[16; 18) |
|
Giá trị đại diện |
9 |
11 |
13 |
15 |
17 |
|
Số lần |
4 |
6 |
8 |
4 |
3 |
Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:
\(\overline{x} = \frac{4.9 + 6.11 + 8..13
+ 4.15 + 3.17}{25} = 12,68\)
Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:
\(s^{2} = \frac{1}{25}\left( 4.9^{2} +
6.11^{2} + 8.13^{2} + 4.15^{2} + 3.17^{2} \right) - (12,68)^{2} =
5,9776\)
Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm có giá trị gần nhất với giá trị \(6,2\).
B. Công thức độ lệch chuẩn
Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là là căn bậc hai số học của phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, tức là:
\(s = \sqrt{s^{2}} =
\sqrt{\frac{m_{1}\left( x_{1} - \overline{x} \right)^{2} + ... +
m_{k}\left( x_{k} - \overline{x} \right)^{2}}{n}}\)
Hay: \(s = \sqrt{s^{2}} =
\sqrt{\frac{1}{n}\left( m_{1}{x_{1}}^{2} + ... + m_{k}.{x_{k}}^{2}
\right) - \left( \overline{x} \right)^{2}}\)
Ví dụ. Thời gian tự học tại nhà mỗi ngày (đơn vị: phút) của một học sinh lớp 12A được ghi lại như bảng sau:
|
Thời gian (phút) |
[20; 25) |
[25; 30) |
[30; 35) |
[35; 40) |
[40; 45) |
|
Số ngày |
6 |
6 |
4 |
1 |
1 |
Tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm?
Hướng dẫn giải
Ta có:
|
Thời gian (phút) |
[20; 25) |
[25; 30) |
[30; 35) |
[35; 40) |
[40; 45) |
|
Giá trị đại diện |
22,5 |
27,5 |
32,5 |
37,5 |
42,5 |
|
Số ngày |
6 |
6 |
4 |
1 |
1 |
Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:
\(\overline{x} = \frac{6.22,5 + 6.27,5 +
4.32,5 + 1.37,5 + 1.42,5}{18} = \frac{85}{3}\)
Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:
\(s^{2} = \frac{1}{18}\left( 6.22,5^{2} +
6.27,5^{2} + 4.32,5^{2} + 1.37,5^{2} + 1.42,5^{2} \right) - \left(
\frac{85}{3} \right)^{2} = 31,25\)
Vậy độ lệch chuẩn của mẫu số liệu cần tìm là: \(s = \sqrt{s^{2}} \approx \sqrt{31,25} =
5,6\)
Ví dụ. Thống kê tổng số giờ nắng trong tháng 9 tại khu vực A trong các năm từ 2004 đến 2023 được thống kê như sau:
|
111,6 |
134,9 |
130,3 |
134,2 |
140,9 |
|
109,3 |
154,4 |
156,3 |
116,1 |
96,7 |
|
105,2 |
80,8 |
80,8 |
110 |
109 |
|
139 |
145 |
161 |
126 |
114 |
Lập bảng tần số ghép nhóm với nhóm đầu tiên là [80; 98) và độ dài nhóm bằng 18. Xác định độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm?
Hướng dẫn giải
Ta có bảng như sau:
|
Số giờ |
[80; 98) |
[98; 116) |
[116; 134) |
[134; 152) |
[152; 170) |
|
Giá trị đại diện |
89 |
107 |
125 |
143 |
161 |
|
Số năm |
3 |
6 |
3 |
5 |
3 |
Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:
\(\overline{x} = \frac{3.89 + 6.107 +
3.125 + 5.143 + 3.161}{20} = 124,1\)
Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:
\(s^{2} = \frac{1}{20}\left( 3.89^{2} +
6.107^{2} + 3.125^{2} + 5.143^{2} + 3.161^{2} \right) - 124,1^{2}
\approx 566,2\)
Vậy độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là:
\(s = \sqrt{s^{2}} = \sqrt{556,2} \approx
23,8\)
Ví dụ. Kết quả thống kê số giờ nắng trong tháng 5 từ năm 2022 đến năm 2021 tại hai địa điểm A và B:
|
Nhóm |
[130; 160) |
[160; 190) |
[190; 220) |
[220; 250) |
[250; 280) |
[280; 310) |
|
Số năm tại A |
1 |
1 |
1 |
8 |
7 |
2 |
|
Số năm tại B |
0 |
1 |
2 |
4 |
10 |
3 |
Nếu so sánh theo độ lệch chuẩn thì số giờ nắng trong tháng 5 tại địa điểm nào đồng đều hơn?
Hướng dẫn giải
Ta có:
|
Số giờ |
[130; 160) |
[160; 190) |
[190; 220) |
[220; 250) |
[250; 280) |
[280; 310) |
|
Giá trị đại diện |
145 |
175 |
205 |
235 |
265 |
295 |
|
Số năm tại A |
1 |
1 |
1 |
8 |
7 |
2 |
|
Số năm tại B |
0 |
1 |
2 |
4 |
10 |
3 |
Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm tại A là:
\(\overline{x_{A}} = \frac{1.145 + 1.175 +
1.205 + 8.235 + 7.265 + 2.295}{20} = 242,5\)
Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm tại A là:
\({s_{A}}^{2} = \frac{1}{20}\left(
1.145^{2} + 1.175^{2} + 1.205^{2} + 8.235^{2} + 7.265^{2} + 2.295^{2}
\right) - 242,5^{2} = 1248,75\)
Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm tại A là:
\(s_{A} = \sqrt{1248,75} \approx
35,34\)
Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm tại B là:
\(\overline{x_{B}} = \frac{0.145 + 2.175 +
4.205 + 4.235 + 10.265 + 3.295}{20} = 253\)
Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm tại B là:
\({s_{B}}^{2} = \frac{1}{20}\left(
0.145^{2} + 2.175^{2} + 4.205^{2} + 4.235^{2} + 10.265^{2} + 3.295^{2}
\right) - 253^{2} = 936\)
Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm tại B là:
\(s_{B} = \sqrt{936} \approx
30,59\)
Vậy nếu so sánh theo độ lệch chuẩn thì số giờ nắng trong tháng 5 tại B đồng đều hơn tại A.
