Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12 Toán 12 Chuyên đề Toán 12

Cách tính phương sai và độ lệch chuẩn

Mẫu số liệu ghép nhóm
Phân loại: Tài liệu Tính phí

Công thức phương sai độ lệch chuẩn

Trong chương trình Toán học, đặc biệt ở phần thống kê, việc đo lường mức độ phân tán của dữ liệu đóng vai trò vô cùng quan trọng. Hai đại lượng thường gặp nhất là phương sai và độ lệch chuẩn, giúp đánh giá mức độ biến động của các giá trị trong một tập dữ liệu. Đối với mẫu số liệu ghép nhóm, việc tính toán hai chỉ số này có phần phức tạp hơn so với dữ liệu đơn lẻ, đòi hỏi người học phải nắm vững công thức và phương pháp xử lý. Bài viết dưới đây sẽ hướng dẫn chi tiết cách tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm, giúp bạn hiểu rõ bản chất và áp dụng hiệu quả trong bài tập cũng như các kỳ thi quan trọng.

Phương sai, độ lệch chuẩn mẫu số liệu ghép nhóm là tài liệu do VnDoc biên soạn hướng dẫn cách tính phương sai, cách tính độ lệch chuẩn chi tiết giúp bạn đọc tổng hợp, ôn tập kiến thức đạt hiệu quả cao nhất, mời bạn đọc tham khảo chi tiết và tải về bài viết dưới đây nhé. Chúc các bạn học tập tốt!

A. Công thức phương sai

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là s^{2}, là một số được tính theo công thức:

s^{2} = \frac{m_{1}\left( x_{1} - \overline{x} \right)^{2} + ... + m_{k}\left( x_{k} - \overline{x} \right)^{2}}{n}

Tromg đó: n = m_{1} + .. + m_{k}, x_{i} = \frac{a_{i} + a_{i + 1}}{2};(i = 1,2,...,k) là giá trị đại diện cho nhóm \left\lbrack a_{i};a_{i + 1} \right) và \overline{x} = \frac{m_{1}x_{1} + ... + m_{k}x_{k}}{n} là số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm.

Nhận xét: Ta có thể tính phương sai theo công thức:

s^{2} = \frac{1}{n}\left( m_{1}{x_{1}}^{2} + ... + m_{k}.{x_{k}}^{2} \right) - \left( \overline{x} \right)^{2}

Ví dụ. Thống kê kết quả giải rubik của một bạn học sinh được ghi lại như sau:

Thời gian (giây)

[8; 10)

[10; 12)

[12; 14)

[14; 16)

[16; 18)

Số lần

4

6

8

4

3

Xác định phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm?

Hướng dẫn giải

Ta có:

Thời gian (giây)

[8; 10)

[10; 12)

[12; 14)

[14; 16)

[16; 18)

Giá trị đại diện

9

11

13

15

17

Số lần

4

6

8

4

3

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

\overline{x} = \frac{4.9 + 6.11 + 8..13 + 4.15 + 3.17}{25} = 12,68

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

s^{2} = \frac{1}{25}\left( 4.9^{2} + 6.11^{2} + 8.13^{2} + 4.15^{2} + 3.17^{2} \right) - (12,68)^{2} = 5,9776

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm có giá trị gần nhất với giá trị 6,2.

B. Công thức độ lệch chuẩn

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là là căn bậc hai số học của phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, tức là:

s = \sqrt{s^{2}} = \sqrt{\frac{m_{1}\left( x_{1} - \overline{x} \right)^{2} + ... + m_{k}\left( x_{k} - \overline{x} \right)^{2}}{n}}

Hay: s = \sqrt{s^{2}} = \sqrt{\frac{1}{n}\left( m_{1}{x_{1}}^{2} + ... + m_{k}.{x_{k}}^{2} \right) - \left( \overline{x} \right)^{2}}

Ví dụ. Thời gian tự học tại nhà mỗi ngày (đơn vị: phút) của một học sinh lớp 12A được ghi lại như bảng sau:

Thời gian (phút)

[20; 25)

[25; 30)

[30; 35)

[35; 40)

[40; 45)

Số ngày

6

6

4

1

1

Tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm?

Hướng dẫn giải

Ta có:

Thời gian (phút)

[20; 25)

[25; 30)

[30; 35)

[35; 40)

[40; 45)

Giá trị đại diện

22,5

27,5

32,5

37,5

42,5

Số ngày

6

6

4

1

1

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

\overline{x} = \frac{6.22,5 + 6.27,5 + 4.32,5 + 1.37,5 + 1.42,5}{18} = \frac{85}{3}

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

s^{2} = \frac{1}{18}\left( 6.22,5^{2} + 6.27,5^{2} + 4.32,5^{2} + 1.37,5^{2} + 1.42,5^{2} \right) - \left( \frac{85}{3} \right)^{2} = 31,25

Vậy độ lệch chuẩn của mẫu số liệu cần tìm là: s = \sqrt{s^{2}} \approx \sqrt{31,25} = 5,6

Ví dụ. Thống kê tổng số giờ nắng trong tháng 9 tại khu vực A trong các năm từ 2004 đến 2023 được thống kê như sau:

111,6

134,9

130,3

134,2

140,9

109,3

154,4

156,3

116,1

96,7

105,2

80,8

80,8

110

109

139

145

161

126

114

Lập bảng tần số ghép nhóm với nhóm đầu tiên là [80; 98) và độ dài nhóm bằng 18. Xác định độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm?

Hướng dẫn giải

Ta có bảng như sau:

Số giờ

[80; 98)

[98; 116)

[116; 134)

[134; 152)

[152; 170)

Giá trị đại diện

89

107

125

143

161

Số năm

3

6

3

5

3

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

\overline{x} = \frac{3.89 + 6.107 + 3.125 + 5.143 + 3.161}{20} = 124,1

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

s^{2} = \frac{1}{20}\left( 3.89^{2} + 6.107^{2} + 3.125^{2} + 5.143^{2} + 3.161^{2} \right) - 124,1^{2} \approx 566,2

Vậy độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là:

s = \sqrt{s^{2}} = \sqrt{556,2} \approx 23,8

Ví dụ. Kết quả thống kê số giờ nắng trong tháng 5 từ năm 2022 đến năm 2021 tại hai địa điểm A và B:

Nhóm

[130; 160)

[160; 190)

[190; 220)

[220; 250)

[250; 280)

[280; 310)

Số năm tại A

1

1

1

8

7

2

Số năm tại B

0

1

2

4

10

3

Nếu so sánh theo độ lệch chuẩn thì số giờ nắng trong tháng 5 tại địa điểm nào đồng đều hơn?

Hướng dẫn giải

Ta có:

Số giờ

[130; 160)

[160; 190)

[190; 220)

[220; 250)

[250; 280)

[280; 310)

Giá trị đại diện

145

175

205

235

265

295

Số năm tại A

1

1

1

8

7

2

Số năm tại B

0

1

2

4

10

3

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm tại A là:

\overline{x_{A}} = \frac{1.145 + 1.175 + 1.205 + 8.235 + 7.265 + 2.295}{20} = 242,5

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm tại A là:

{s_{A}}^{2} = \frac{1}{20}\left( 1.145^{2} + 1.175^{2} + 1.205^{2} + 8.235^{2} + 7.265^{2} + 2.295^{2} \right) - 242,5^{2} = 1248,75

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm tại A là:

s_{A} = \sqrt{1248,75} \approx 35,34

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm tại B là:

\overline{x_{B}} = \frac{0.145 + 2.175 + 4.205 + 4.235 + 10.265 + 3.295}{20} = 253

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm tại B là:

{s_{B}}^{2} = \frac{1}{20}\left( 0.145^{2} + 2.175^{2} + 4.205^{2} + 4.235^{2} + 10.265^{2} + 3.295^{2} \right) - 253^{2} = 936

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm tại B là:

s_{B} = \sqrt{936} \approx 30,59

Vậy nếu so sánh theo độ lệch chuẩn thì số giờ nắng trong tháng 5 tại B đồng đều hơn tại A.

-------------------------------------------------------------------------

Có thể thấy, việc nắm vững cách tính phương sai và độ lệch chuẩn trong mẫu số liệu ghép nhóm không chỉ giúp bạn giải quyết tốt các bài toán thống kê mà còn rèn luyện tư duy phân tích dữ liệu một cách khoa học. Khi hiểu rõ ý nghĩa của từng bước tính toán, bạn sẽ dễ dàng áp dụng vào nhiều dạng bài khác nhau, từ cơ bản đến nâng cao. Hy vọng qua bài viết này, bạn đã có thêm kiến thức và tự tin hơn khi gặp các bài toán liên quan đến phương sai, độ lệch chuẩn và mẫu số liệu ghép nhóm trong quá trình học tập và ôn thi.

Đóng Chỉ thành viên VnDoc PRO/PROPLUS tải được nội dung này!
Đóng
79.000 / tháng
Mua ngay
Đặc quyền các gói Thành viên
PRO
Phổ biến nhất
PRO+
Tải tài liệu Cao cấp 1 Lớp
30 lượt tải tài liệu
Xem nội dung bài viết
Trải nghiệm Không quảng cáo
Làm bài trắc nghiệm không giới hạn
Mua cả năm Tiết kiệm tới 48%
1
135 Bài viết đã được lưu
Mục lục
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này