Cách tính phương sai và độ lệch chuẩn

Mẫu số liệu ghép nhóm

Công thức phương sai độ lệch chuẩn

Phương sai, độ lệch chuẩn mẫu số liệu ghép nhóm là tài liệu do VnDoc biên soạn hướng dẫn cách tính phương sai, cách tính độ lệch chuẩn chi tiết giúp bạn đọc tổng hợp, ôn tập kiến thức đạt hiệu quả cao nhất, mời bạn đọc tham khảo chi tiết và tải về bài viết dưới đây nhé. Chúc các bạn học tập tốt!

A. Công thức phương sai

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là $s^{2}$ $s^{2}$ , là một số được tính theo công thức:

$s^{2} = \frac{m_{1}\left( x_{1} - \overline{x} \right)^{2} + ... + m_{k}\left( x_{k} - \overline{x} \right)^{2}}{n}$ $s^{2} = \frac{m_{1} {(x_{1} - \overset{―}{x})}^{2} + . . . + m_{k} {(x_{k} - \overset{―}{x})}^{2}}{n}$

Tromg đó: $n = m_{1} + .. + m_{k}$ $n = m_{1} + . . + m_{k}$ , $x_{i} = \frac{a_{i} + a_{i + 1}}{2};(i = 1,2,...,k)$ $x_{i} = \frac{a_{i} + a_{i + 1}}{2}; (i = 1, 2, . . ., k)$ là giá trị đại diện cho nhóm $\left\lbrack a_{i};a_{i + 1} \right)$ $[a_{i}; a_{i + 1})$ và $\overline{x} = \frac{m_{1}x_{1} + ... + m_{k}x_{k}}{n}$ $\overset{―}{x} = \frac{m_{1} x_{1} + . . . + m_{k} x_{k}}{n}$ là số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm.

Nhận xét: Ta có thể tính phương sai theo công thức:

$s^{2} = \frac{1}{n}\left( m_{1}{x_{1}}^{2} + ... + m_{k}.{x_{k}}^{2} \right) - \left( \overline{x} \right)^{2}$ $s^{2} = \frac{1}{n} (m_{1} {x_{1}}^{2} + . . . + m_{k} . {x_{k}}^{2}) - {(\overset{―}{x})}^{2}$

Ví dụ. Thống kê kết quả giải rubik của một bạn học sinh được ghi lại như sau:

Thời gian (giây)	[8; 10)	[10; 12)	[12; 14)	[14; 16)	[16; 18)
Số lần	4	6	8	4	3

Xác định phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm?

Hướng dẫn giải

Ta có:

Thời gian (giây)	[8; 10)	[10; 12)	[12; 14)	[14; 16)	[16; 18)
Giá trị đại diện	9	11	13	15	17
Số lần	4	6	8	4	3

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$\overline{x} = \frac{4.9 + 6.11 + 8..13 + 4.15 + 3.17}{25} = 12,68$ $\overset{―}{x} = \frac{4.9 + 6.11 + 8. .13 + 4.15 + 3.17}{25} = 12, 68$

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$s^{2} = \frac{1}{25}\left( 4.9^{2} + 6.11^{2} + 8.13^{2} + 4.15^{2} + 3.17^{2} \right) - (12,68)^{2} = 5,9776$ $s^{2} = \frac{1}{25} ({4.9}^{2} + {6.11}^{2} + {8.13}^{2} + {4.15}^{2} + {3.17}^{2}) - (12, 68)^{2} = 5, 9776$

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm có giá trị gần nhất với giá trị $6, 2$ .

B. Công thức độ lệch chuẩn

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là là căn bậc hai số học của phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, tức là:

$s = \sqrt{s^{2}} = \sqrt{\frac{m_{1}\left( x_{1} - \overline{x} \right)^{2} + ... + m_{k}\left( x_{k} - \overline{x} \right)^{2}}{n}}$ $s = \sqrt{s^{2}} = \sqrt{\frac{m_{1} {(x_{1} - \overset{―}{x})}^{2} + . . . + m_{k} {(x_{k} - \overset{―}{x})}^{2}}{n}}$

Hay: $s = \sqrt{s^{2}} = \sqrt{\frac{1}{n}\left( m_{1}{x_{1}}^{2} + ... + m_{k}.{x_{k}}^{2} \right) - \left( \overline{x} \right)^{2}}$ $s = \sqrt{s^{2}} = \sqrt{\frac{1}{n} (m_{1} {x_{1}}^{2} + . . . + m_{k} . {x_{k}}^{2}) - {(\overset{―}{x})}^{2}}$

Ví dụ. Thời gian tự học tại nhà mỗi ngày (đơn vị: phút) của một học sinh lớp 12A được ghi lại như bảng sau:

Thời gian (phút)	[20; 25)	[25; 30)	[30; 35)	[35; 40)	[40; 45)
Số ngày	6	6	4	1	1

Tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm?

Hướng dẫn giải

Ta có:

Thời gian (phút)	[20; 25)	[25; 30)	[30; 35)	[35; 40)	[40; 45)
Giá trị đại diện	22,5	27,5	32,5	37,5	42,5
Số ngày	6	6	4	1	1

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$\overline{x} = \frac{6.22,5 + 6.27,5 + 4.32,5 + 1.37,5 + 1.42,5}{18} = \frac{85}{3}$ $\overset{―}{x} = \frac{6.22, 5 + 6.27, 5 + 4.32, 5 + 1.37, 5 + 1.42, 5}{18} = \frac{85}{3}$

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$s^{2} = \frac{1}{18}\left( 6.22,5^{2} + 6.27,5^{2} + 4.32,5^{2} + 1.37,5^{2} + 1.42,5^{2} \right) - \left( \frac{85}{3} \right)^{2} = 31,25$ $s^{2} = \frac{1}{18} (6.22, 5^{2} + 6.27, 5^{2} + 4.32, 5^{2} + 1.37, 5^{2} + 1.42, 5^{2}) - {(\frac{85}{3})}^{2} = 31, 25$

Vậy độ lệch chuẩn của mẫu số liệu cần tìm là: $s = \sqrt{s^{2}} \approx \sqrt{31,25} = 5,6$ $s = \sqrt{s^{2}} \approx \sqrt{31, 25} = 5, 6$

Ví dụ. Thống kê tổng số giờ nắng trong tháng 9 tại khu vực A trong các năm từ 2004 đến 2023 được thống kê như sau:

111,6	134,9	130,3	134,2	140,9
109,3	154,4	156,3	116,1	96,7
105,2	80,8	80,8	110	109
139	145	161	126	114

Lập bảng tần số ghép nhóm với nhóm đầu tiên là [80; 98) và độ dài nhóm bằng 18. Xác định độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm?

Hướng dẫn giải

Ta có bảng như sau:

Số giờ	[80; 98)	[98; 116)	[116; 134)	[134; 152)	[152; 170)
Giá trị đại diện	89	107	125	143	161
Số năm	3	6	3	5	3

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$\overline{x} = \frac{3.89 + 6.107 + 3.125 + 5.143 + 3.161}{20} = 124,1$ $\overset{―}{x} = \frac{3.89 + 6.107 + 3.125 + 5.143 + 3.161}{20} = 124, 1$

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$s^{2} = \frac{1}{20}\left( 3.89^{2} + 6.107^{2} + 3.125^{2} + 5.143^{2} + 3.161^{2} \right) - 124,1^{2} \approx 566,2$ $s^{2} = \frac{1}{20} ({3.89}^{2} + {6.107}^{2} + {3.125}^{2} + {5.143}^{2} + {3.161}^{2}) - 124, 1^{2} \approx 566, 2$

Vậy độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$s = \sqrt{s^{2}} = \sqrt{556,2} \approx 23,8$ $s = \sqrt{s^{2}} = \sqrt{556, 2} \approx 23, 8$

Ví dụ. Kết quả thống kê số giờ nắng trong tháng 5 từ năm 2022 đến năm 2021 tại hai địa điểm A và B:

Nhóm	[130; 160)	[160; 190)	[190; 220)	[220; 250)	[250; 280)	[280; 310)
Số năm tại A	1	1	1	8	7	2
Số năm tại B	0	1	2	4	10	3

Nếu so sánh theo độ lệch chuẩn thì số giờ nắng trong tháng 5 tại địa điểm nào đồng đều hơn?

Hướng dẫn giải

Ta có:

Số giờ	[130; 160)	[160; 190)	[190; 220)	[220; 250)	[250; 280)	[280; 310)
Giá trị đại diện	145	175	205	235	265	295
Số năm tại A	1	1	1	8	7	2
Số năm tại B	0	1	2	4	10	3

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm tại A là:

$\overline{x_{A}} = \frac{1.145 + 1.175 + 1.205 + 8.235 + 7.265 + 2.295}{20} = 242,5$ $\overset{―}{x_{A}} = \frac{1.145 + 1.175 + 1.205 + 8.235 + 7.265 + 2.295}{20} = 242, 5$

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm tại A là:

${s_{A}}^{2} = \frac{1}{20}\left( 1.145^{2} + 1.175^{2} + 1.205^{2} + 8.235^{2} + 7.265^{2} + 2.295^{2} \right) - 242,5^{2} = 1248,75$ ${s_{A}}^{2} = \frac{1}{20} ({1.145}^{2} + {1.175}^{2} + {1.205}^{2} + {8.235}^{2} + {7.265}^{2} + {2.295}^{2}) - 242, 5^{2} = 1248, 75$

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm tại A là:

$s_{A} = \sqrt{1248,75} \approx 35,34$ $s_{A} = \sqrt{1248, 75} \approx 35, 34$

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm tại B là:

$\overline{x_{B}} = \frac{0.145 + 2.175 + 4.205 + 4.235 + 10.265 + 3.295}{20} = 253$ $\overset{―}{x_{B}} = \frac{0.145 + 2.175 + 4.205 + 4.235 + 10.265 + 3.295}{20} = 253$

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm tại B là:

${s_{B}}^{2} = \frac{1}{20}\left( 0.145^{2} + 2.175^{2} + 4.205^{2} + 4.235^{2} + 10.265^{2} + 3.295^{2} \right) - 253^{2} = 936$ ${s_{B}}^{2} = \frac{1}{20} ({0.145}^{2} + {2.175}^{2} + {4.205}^{2} + {4.235}^{2} + {10.265}^{2} + {3.295}^{2}) - 253^{2} = 936$

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm tại B là:

$s_{B} = \sqrt{936} \approx 30,59$ $s_{B} = \sqrt{936} \approx 30, 59$

Vậy nếu so sánh theo độ lệch chuẩn thì số giờ nắng trong tháng 5 tại B đồng đều hơn tại A.

Chia sẻ, đánh giá bài viết

1

6

Bài trước

Bài sau

Chia sẻ bởi:
Nguyễn Thị Huê

Đóng Chỉ thành viên VnDoc PRO/PROPLUS tải được nội dung này!

Đóng

79.000 / tháng

Mua ngay

Đặc quyền các gói Thành viên

PRO

Phổ biến nhất

PRO+

Tải tài liệu Cao cấp 1 Lớp

Tải tài liệu Trả phí + Miễn phí

Xem nội dung bài viết

Trải nghiệm Không quảng cáo

Làm bài trắc nghiệm không giới hạn

Tìm hiểu thêm

Mua cả năm Tiết kiệm tới 48%

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!