Tìm m để đường thẳng cắt Parabol tại hai điểm phân biệt
Tìm m để d cắt (P) tại 2 điểm phân biệt - Có đáp án
Trong chương trình Toán 10, dạng toán tìm m để đường thẳng cắt Parabol tại hai điểm phân biệt là một trong những dạng bài quan trọng khi xét tương giao đồ thị hàm số. Việc phân tích phương trình hoành độ giao điểm, điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt và cách liên hệ hệ số m giúp học sinh rèn luyện tư duy suy luận và kỹ năng biến đổi đại số. Bài viết này cung cấp kiến thức nền tảng, ví dụ minh họa rõ ràng cùng bài tập tương giao hàm số có đáp án, giúp bạn nắm chắc phương pháp giải và chuẩn bị tốt cho các bài kiểm tra.
A. Cách tìm m để d cắt (P) tại 2 điểm phân biệt
Cho parabol 
\((P):y = ax^{2} + bx + c;(a
\neq 0)\) và đường thẳng \((d):y = bx +
c\). Để tìm tham số m thỏa mãn yêu cầu ta làm như sau:
- Bước 1: Xét phương trình hoành độ giao điểm của \((P)\) và \((d)\) ta được phương trình bậc hai chứa tham số.
- Bước 2: Tính biệt thức \(\Delta\) chứa tham số.
- Để đường thẳng cắt parabol tại hai điểm phân biệt thì \(\Delta \geq 0;(\Delta' \geq 0)\).
- Bước 3. Tìm giá trị tham số m.
- Bước 4. Kết luận.
B. Bài tập minh họa tìm m để đường thẳng cắt parabol tại 2 điểm phân biệt
Ví dụ 1. Tìm \(m\) để đường thẳng \(d\): \(y =
x + 3\) cắt parabol \(y = x^{2} + 2x +
m\) tại \(2\) điểm phân biệt
A. \(m < \frac{13}{4}\). B. \(m \geq \frac{13}{4}\). C. \(m < 1\). D. \(m \geq 1\).
Hướng dẫn giải
Phương trình hoành độ giao điểm: \(x + 3 =
x^{2} + 2x + m \Leftrightarrow x^{2} + x + m - 3 = 0\).
Ta có: \(\Delta = 1 - 4(m - 3) = 13 -
4m\).
Để đường thẳng \(d\) cắt parabol tại \(2\) điểm phân biệt thì: \(\Delta > 0 \Leftrightarrow 13 - 4m > 0
\Leftrightarrow m < \frac{13}{4}\).
Ví dụ 2. Tìm \(m\) để đường thẳng \(d\): \(y =
x + 3\) cắt parabol \(y = x^{2} + 2x +
m\) tại \(2\) điểm phân biệt
A. \(m < \frac{13}{4}\). B. \(m \geq \frac{13}{4}\). C. \(m < 1\). D. \(m \geq 1\).
Hướng dẫn giải
Phương trình hoành độ giao điểm: \(x + 3 =
x^{2} + 2x + m \Leftrightarrow x^{2} + x + m - 3 = 0\).
Ta có: \(\Delta = 1 - 4(m - 3) = 13 -
4m\).
Để đường thẳng \(d\) cắt parabol tại \(2\) điểm phân biệt thì: \(\Delta > 0 \Leftrightarrow 13 - 4m > 0
\Leftrightarrow m < \frac{13}{4}\).
Ví dụ 3. Biết đường thẳng \(d:y =
mx\) cắt Parabol \((P):y = x^{2} - x +
1\) tại hai điểm phân biệt \(A\), \(B\). Khi đó tọa độ trung điểm \(I\) của đoạn thẳng \(AB\) là
A. \(I\left( \frac{1 + m}{2};\frac{m^{2} +
m}{2} \right)\). B. \(I\left( \frac{1 +
m}{2};\frac{- m^{2} - 2m + 3}{4} \right)\).
C. \(I\left( \frac{1}{2};\frac{3}{4}
\right)\). D. \(I\left(\frac{1}{2};\frac{m} {2} \right)\).
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Xét phương trình hoành độ giao điểm của \(d\) và \((P)\):
\(mx = x^{2} - x + 1 \Leftrightarrow x^{2}
- (m + 1)x + 1 = 0\)(1)
Vì hoành độ giao điểm \(x_{A}\), \(x_{B}\) là hai nghiệm của phương trình (1) nên ta có tọa độ trung điểm \(I\) là
\(\left\{\begin{matrix}x_{I} = \frac{x_{A} + x_{B}}{2} \\y_{I} = \frac{y_{A} + y_{B}}{2}\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x_{I} = \frac{x_{A} + x_{B}}{2} \\y_{I} = \frac{m\left( x_{A} + x_{B} \right)}{2}\end{matrix} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x_{I} = \frac{m + 1}{2} \\y_{I} = \frac{m^{2} + m}{2}\end{matrix} \right.\ \Rightarrow I\left( \frac{1 + m}{2};\frac{m^{2} +m}{2} \right)\).
Ví dụ 4. Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để đường thẳng \(d:y = 2x + 3\) cắt parabol \(y = x^{2} + (m + 2)x - m\) tại hai điểm phân biệt nằm cùng phía với trục tung \(Oy.\)
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Xét phương trình hoành độ giao điểm:
\(x^{2} + (m + 2)x - m = 2x + 3
\Leftrightarrow\) \(x^{2} + mx - m - 3
= 0\). \((1)\)
Để đường thẳng \(d\) cắt parabol tại hai điểm phân biệt nằm cùng phía với trục tung \(Oy\) thì phương trình \(y = x^{2} - 3x - 1\) có hai nghiệm phân biệt cùng dấu \(y = - 2x^{2} + 5x - 1y =
2x^{2} - 5x - 1 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}\) \(\max_{\lbrack 0;4\rbrack}f(x) = 2\ 450\) .
C. Bài tập vận dụng có đáp án chi tiết
Bài tập 1. Biết đường thẳng \(d:y =
mx\) cắt Parabol \((P):y = x^{2} - x +
1\) tại hai điểm phân biệt \(A\), \(B\). Xác định tọa độ trung điểm \(I\) của đoạn thẳng \(AB\) ?
Bài tập 2. Hỏi có bao nhiêu giá trị \(m\) nguyên trong nửa khoảng \(\lbrack - 10; - 4)\) để đường thẳng \(d:y = - (m + 1)x + m + 2\) cắt Parabol \((P):y = x^{2} + x - 2\) tại hai điểm phân biệt cùng phía với trục tung?
Bài tập 3. Tìm \(m\) để Parabol \((P):y = x^{2} - 2(m + 1)x + m^{2} -
3\) cắt trục hoành tại \(2\) điểm phân biệt có hoành độ \(x_{1}\), \(x_{2}\) sao cho \(x_{1}.x_{2} = 1\).
Bài tập 4. Tìm tất cả các giá trị \(m\) để đường thẳng \(y = mx + 3 - 2m\) cắt parabol \(y = x^{2} - 3x - 5\) tại \(2\) điểm phân biệt có hoành độ trái dấu.
Bài tập 5. Đường thẳng \(d:y = (m - 3)x -
2m + 1\) cắt hai trục tọa độ tại hai điểm \(A\) và \(B\) sao cho tam giác \(OAB\) cân. Khi đó có bao nhiêu giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu?
Bài tập 6. Cho hàm số bậc nhất \(y = \left(
m^{2} - 4m - 4 \right)x + 3m - 2\) có đồ thị là \((d)\). Tìm số giá trị nguyên dương của \(m\) để đường thẳng \((d)\) cắt trục hoành và trục tung lần lượt tại hai điểm \(A\), \(B\) sao cho tam giác \(OAB\) là tam giác cân (\(O\) là gốc tọa độ).
Bài tập 7. Parabol \(y =
m^{2}x^{2}\) và đường thẳng \(y = - 4x
- 1\) cắt nhau tại hai điểm phân biệt ứng với:
A. Mọi giá trị m. B. Mọi \(m \neq
2\).
C. Mọi \(m\) thỏa mãn\(|m| < 2\) và \(m \neq 0\). D. Mọi \(m < 4\) và \(m
\neq 0\).
Toàn bộ nội dung đã sẵn sàng! Nhấn Tải về để tải đầy đủ tài liệu.
-------------------------------------
Sau khi học xong bài viết này, bạn đã hiểu cách thiết lập phương trình giao điểm giữa đường thẳng và Parabol, vận dụng điều kiện Δ > 0 để tìm giá trị m và giải quyết các trường hợp đặc biệt. Hãy áp dụng phương pháp vào nhiều bài tập hơn để thành thạo dạng toán tương giao đồ thị hàm số trong chương trình Toán 10. Đừng quên theo dõi thêm các chuyên đề nâng cao có đáp án để củng cố kiến thức và tăng hiệu quả ôn luyện.
