Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng
Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng - Có đáp án
Trong giải tích Oxy, việc xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng là kỹ năng quan trọng để viết phương trình, xét song song – vuông góc và giải nhanh các dạng toán hình học. Bài viết này sẽ giúp bạn hiểu rõ khái niệm vectơ chỉ phương, cách tìm vectơ chỉ phương từ phương trình đường thẳng và ứng dụng vào giải bài tập. Ngoài ra, bạn sẽ được thực hành với bộ bài tập phương trình đường thẳng có đáp án chi tiết, hỗ trợ ghi nhớ và áp dụng hiệu quả trong Toán 10 và các kỳ kiểm tra.
A. Cách xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng
Vectơ 
\(\overrightarrow{u} \neq
\overrightarrow{0}\)được gọi là vectơ chỉ phương (VTCP) của đường thẳng \(\Delta\) nếu giá của nó song song hoặc trùng với \(\Delta\).
Nhận xét: Nếu \(\overrightarrow{u}\) là VTCP của \(\Delta\) thì \(k\overrightarrow{u}(k \neq 0)\) cũng là VTCP của \(\Delta\).
- Cho phương trình tham số của đường thẳng \(\left\{ \begin{matrix}
x = x_{0} + at \\
y = y_{0} + bt
\end{matrix} \right.\ t \in R\) khi đó đường thẳng có VTCP là: \(\overrightarrow{u} = (a;b)\).
- Cho phương trình chính tắc của đường thẳng \(\frac{x - x_{0}}{a} = \frac{y -
y_{0}}{b}\)(với \(a \neq 0,\ \ b \neq
0\)) khi đó đường thẳng có VTCP là: \(\overrightarrow{u} = (a;b)\).
- Nếu đường thẳng \(\Delta\) có VTCP \(\overrightarrow{u} = (a;b)\) thì VTPT là: \(\overrightarrow{n} = ( -
b;a)\).
B. Bài tập minh họa về Vectơ chỉ phương của đường thẳng
Ví dụ: Cho đường thẳng Δ có phương trình tham số \(\left\{ \begin{matrix}
x = 1 - 2t \\
y = - 2 + t
\end{matrix} \right.\)
a) Chỉ ra một vectơ chỉ phương của Δ.
b) Tìm điểm nằm trên Δ có hoành độ bằng 2.
c) Tìm điểm nằm trên Δ có tung độ bằng -1.
d) Chỉ ra tọa độ của hai điểm thuộc đường thẳng Δ.
e) Điểm nào trong các điểm C(-1; -1); D(1; 3) thuộc đường thẳng Δ.
Hướng dẫn giải
a) Một vectơ chỉ phương của Δ là \(\overrightarrow{u} = ( - 2;1)\)
b) Thế \(x = 2\) vào phương trình \(\left\{ \begin{matrix}
x = 1 - 2t \\
y = - 2 + t
\end{matrix} \right.\) ta được \(\left\{ \begin{matrix}
2 = 1 - 2t \\
y = - 2 + t
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
t = - \frac{1}{2} \\
y = - 2 - \frac{1}{2} = - \frac{5}{2}
\end{matrix} \right.\)
Vậy điểm cần tìm là \(\left( 2; -
\frac{5}{2} \right)\).
c) Thế \(y = - 1\) vào phương trình \(\left\{ \begin{matrix}
x = 1 - 2t \\
y = - 2 + t
\end{matrix} \right.\) ta được \(\left\{ \begin{matrix}
x = 1 - 2t \\
- 1 = - 2 + t
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x = 1 - 2.1 = - 1 \\
t = 1
\end{matrix} \right.\)
Vậy điểm cần tìm là \(( - 1; -
1)\)
c. Gọi M ∈ Δ ⇒ M(1−2t; −2+t)
Chọn t = -1 ⇒ M1(3; -3)
Chọn t = 0 ⇒ M2(1; -2)
d. Thay tọa độ điểm C(-1; -1) vào đường thẳng Δ ta được:
\(\left\{ \begin{matrix}
- 1 = 1 - 2t \\
- 1 = - 2 + t
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
t = 1 \\
t = 1
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow t = 1.\)
Vậy C(−1; −1) ∈ Δ.
Thay tọa độ điểm D(1; 3) vào đường thẳng Δ ta được:
\(\left\{ \begin{matrix}
1 = 1 - 2t \\
3 = - 2 + t
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
t = 0 \\
t = 5
\end{matrix} \right.\)(1)
Hệ (1) vô nghiệm nên D(1; 3) ∉ Δ.
C. Bài tập vận dụng tìm vectơ chỉ phương có hướng dẫn cụ thể
Câu 1: Cho đường thẳng \(d\) có: \(2x + 5y - 6 = 0\). Tìm tọa độ một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}\) của \(d\).
A. \(\overrightarrow{u} = (2;5)\). B. \(\overrightarrow{u} = (5;2)\). C. \(\overrightarrow{u} = (5; -
2)\). D. \(\overrightarrow{u} = ( - 5;
- 2)\).
Câu 2: Tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d:\left\{ \begin{matrix}
x = - 1 + 2t \\
y = 3 - 5t
\end{matrix} \right.\).
A. \(\overrightarrow{u} = (2; -
5)\). B. \(\overrightarrow{u} =
(5;2)\). C. \(\overrightarrow{u} = ( -
1;3)\). D. \(\overrightarrow{u} = ( -
3;1)\).
Câu 3: Vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\left\{ \begin{matrix}
x = 2 + 3t \\
y = - 3 - t
\end{matrix} \right.\) là:
A. \(\overrightarrow{u_{1}} = (2; -
3).\) B. \(\overrightarrow{u_{2}} = (3;
- 1).\) C.\(\overrightarrow{u_{3}} = (3;\
1).\) D. \(\overrightarrow{u_{4}} = (3;
- 3).\)
Câu 4: Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua hai điểm \(A( - 3;2)\) và \(B(1;4)?\)
A. \(\overrightarrow{u_{1}} = ( -
1;2).\) B. \(\overrightarrow{u_{2}} =
(2;1).\) C. \(\overrightarrow{u_{3}} =
( - 2;6).\) D. \(\overrightarrow{u_{4}}
= (1;1).\)
Câu 5: Vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\frac{x}{3} + \frac{y}{2} = 1\) là:
A. \({\overrightarrow{u}}_{4} = ( - 2;\
3)\) B. \({\overrightarrow{u}}_{2} =
(3;\ - 2)\) C. \({\overrightarrow{u}}_{3} = (3;\ 2)\) D. \({\overrightarrow{u}}_{1} = (2;\
3)\)
Câu 6: Đường thẳng \(\frac{x - 5}{- 2}\ =
\ \ \frac{y - 6}{1}\). Vectơ nào sau đây là vectơ chỉ phương của d là:
A.\((2;1)\) B.\((2; - 1)\) C.\((1;2)\) D.\((1; -
2)\)
Câu 7: Đường thẳng \(\frac{x - 5}{2}\ = \
\frac{6 - y}{- 1}\). Vectơ nào sau đây là vectơ chỉ phương của d là:
A.\((2;1)\) B.\((2; - 1)\) C.\((1;2)\) D.\((1; -
2)\)
Tài liệu quá dài để hiển thị hết — hãy nhấn Tải về để xem trọn bộ!
------------------------------------------
Qua chuyên đề, bạn đã nắm được cách tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng, nhận diện các dạng phương trình (tổng quát, tham số, chính tắc) và vận dụng vào bài tập thực tế. Hãy luyện tập thêm các dạng bài dưới đây để củng cố kỹ năng và tránh những lỗi thường gặp khi xử lý bài toán hình học giải tích. Tiếp tục theo dõi các chuyên đề phương trình đường thẳng có đáp án để nâng cao tư duy và cải thiện điểm số trong môn Toán.
