VnDoc.com

Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng

Phương trình đường thẳng Toán 10

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 10

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Loại: Tài liệu Lẻ

Mức độ: Trung bình

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Cách viết phương trình tham số lớp 10

Trong chương trình Toán 10, việc nắm vững cách viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng là nền tảng quan trọng để xử lý các bài toán hình học giải tích. Hai dạng phương trình này giúp biểu diễn đường thẳng một cách trực quan, dễ khai thác và thuận tiện khi giải các bài toán song song – vuông góc, tìm giao điểm hay xác định vectơ chỉ phương. Bài viết dưới đây sẽ hướng dẫn bạn từng bước viết phương trình, chỉ ra những lỗi thường gặp và cung cấp ví dụ minh họa rõ ràng, giúp bạn làm bài nhanh – chính xác – hiệu quả.

A. Cách lập phương trình tham số, phương trình chính tắc

Cho đường thẳng $\Delta$ $\Delta$ đi qua $M_{0}(x_{0};y_{0})$ $M_{0}(x_{0};y_{0})$ và $\overrightarrow{u} = (a;b)$ $\overrightarrow{u} = (a;b)$ là VTCP. Khi đó phương trình tham số của đường thẳng có dạng:

$\left\{ \begin{matrix} x = x_{0} + at \\ y = y_{0} + bt \end{matrix} \right.\ t \in R$ $\left\{ \begin{matrix} x = x_{0} + at \\ y = y_{0} + bt \end{matrix} \right.\ t \in R$

Cho đường thẳng $\Delta$ $\Delta$ đi qua $M_{0}(x_{0};y_{0})$ $M_{0}(x_{0};y_{0})$ và $\overrightarrow{u} = (a;b)$ $\overrightarrow{u} = (a;b)$ (với $a \neq 0,\ \ b \neq 0$ $a \neq 0,\ \ b \neq 0$) là VTCP. Khi đó phương trình chính tắc của đường thẳng có dạng:

$\frac{x - x_{0}}{a} = \frac{y - y_{0}}{b}$ $\frac{x - x_{0}}{a} = \frac{y - y_{0}}{b}$

B. Bài tập minh họa viết phương trình tham số (chính tắc) của đường thẳng

Ví dụ 1: Lập phương trình tham số hoặc chính tắc (nếu có) của các đường thẳng sau:

a) Đường thẳng d đi qua điểm $A(2;\ - 1)$ $A(2;\ - 1)$ và nhận $\overrightarrow{u} = ( - 3;\ 2)$ $\overrightarrow{u} = ( - 3;\ 2)$ làm vectơ chỉ phương.

b) Đường thẳng d₁ đi qua điểm $B( - 2;\ 3)$ $B( - 2;\ 3)$ và nhận $\overrightarrow{n} = ( - 1;\ 4)$ $\overrightarrow{n} = ( - 1;\ 4)$ làm vectơ pháp tuyến.

c) Đường thẳng d đi qua 2 điểm A(2; −1) và B(2; 5).

Hướng dẫn giải

a) Đường thẳng d đi qua điểm $A(2;\ - 1)$ $A(2;\ - 1)$ và nhận $\overrightarrow{u} = ( - 3;\ 2)$ $\overrightarrow{u} = ( - 3;\ 2)$ làm vectơ chỉ phương

nên có phương trình tham số là: $\left\{ \begin{matrix} x = 2 - 3t \\ y = - 1 + 2t \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} x = 2 - 3t \\ y = - 1 + 2t \end{matrix} \right.$.

Phương trình chính tắc là $\frac{x - 2}{- 3} = \frac{y + 1}{2}$ $\frac{x - 2}{- 3} = \frac{y + 1}{2}$

b) Đường thẳng d₁ nhận $\overrightarrow{n} = ( - 1;\ 4)$ $\overrightarrow{n} = ( - 1;\ 4)$ làm vectơ pháp tuyến nên d₁ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = (4;\ 1)$ $\overrightarrow{u} = (4;\ 1)$

Đường thẳng d₁ đi qua điểm $B( - 2;\ 3)$ $B( - 2;\ 3)$ và nhận $\overrightarrow{u} = (4;\ 1)$ $\overrightarrow{u} = (4;\ 1)$ làm vectơ chỉ phương

nên có phương trình tham số là: $\left\{ \begin{matrix} x = - 2 + 4t \\ y = 3 + t \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} x = - 2 + 4t \\ y = 3 + t \end{matrix} \right.$.

Phương trình chính tắc là $\frac{x + 2}{4} = \frac{y - 3}{1}$ $\frac{x + 2}{4} = \frac{y - 3}{1}$

c) Đường thẳng d₂ đi qua 2 điểm A(2; −1) và B(2; 5) nên có vectơ chỉ phương là

$\overrightarrow{AB} = (0;\ 6)$ $\overrightarrow{AB} = (0;\ 6)$. Chọn vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = (0;\ 1)$ $\overrightarrow{u} = (0;\ 1)$

Phương trình tham số của d₂ là: $\left\{ \begin{matrix} x = 2 \\ y = t \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} x = 2 \\ y = t \end{matrix} \right.$ .

Đường thẳng d₂ không có phương trình chính tắc

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ, cho $\overrightarrow{n} = (2;1),\ \overrightarrow{v} = (3;2),\ A(1;3),\ B( - 2;1).$ $\overrightarrow{n} = (2;1),\ \overrightarrow{v} = (3;2),\ A(1;3),\ B( - 2;1).$

a) Lập phương trình tổng quát của đường thẳng $\Delta_{1}$ $\Delta_{1}$ đi qua $A$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}.$ $\overrightarrow{n}.$

b) Lập phương trình tham số của đường thẳng $\Delta_{2}$ $\Delta_{2}$ đi qua $B$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{v}.$ $\overrightarrow{v}.$

c) Lập phương trình tham số của đường thẳng $AB.$

Hướng dẫn giải

a) Phương trình tổng quát của đường thẳng $\Delta_{1}$ $\Delta_{1}$ đi qua $A$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$ $\overrightarrow{n}$ là: $2(x - 1) + (y - 3) = 0 \Leftrightarrow 2x + y - 5 = 0.$ $2(x - 1) + (y - 3) = 0 \Leftrightarrow 2x + y - 5 = 0.$

b) Phương trình tham số của đường thẳng $\Delta_{2}$ $\Delta_{2}$ đi qua $B$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{v}$ $\overrightarrow{v}$ là: $\Delta_{2}:\left\{ \begin{matrix} x = - 2 + 3t \\ y = 1 + 2t. \end{matrix} \right.$ $\Delta_{2}:\left\{ \begin{matrix} x = - 2 + 3t \\ y = 1 + 2t. \end{matrix} \right.$

c) Lập phương trình tham số của đường thẳng $AB.$

Đường thẳng $AB$ đi qua điểm $A$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{AB} = ( - 3; - 2)$ $\overrightarrow{AB} = ( - 3; - 2)$ là: $\left\{ \begin{matrix} x = 1 - 3t \\ y = 3 - 2t. \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} x = 1 - 3t \\ y = 3 - 2t. \end{matrix} \right.$

Ví dụ 3: Cho đường thẳng d có phương trình tham số là:

$\left\{ \begin{matrix} x = - 1 - 3t \\ y = 2 + 2t. \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} x = - 1 - 3t \\ y = 2 + 2t. \end{matrix} \right.$

a. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d.

b. Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng d lần lượt với các trục Ox, Oy.

c. Đường thẳng d có đi qua điểm M (-7; 5) hay không?

Hướng dẫn giải

a. Đường thẳng di qua A (-1; 2), nhận $\overrightarrow{u} = ( - 3;2)$ $\overrightarrow{u} = ( - 3;2)$làm vecto chỉ phương ⇒ nhận $\overrightarrow{n} = (2;3)$ $\overrightarrow{n} = (2;3)$) làm vectơ pháp tuyến.

Phương trình tổng quát của đường thẳng d là: 2(x+1)+3.(y-2) = 0 hay d:: 2x+3y-4 = 0

b. Cho $y = 0 \Rightarrow 2x - 4 = 0 \Rightarrow x = 2$ $y = 0 \Rightarrow 2x - 4 = 0 \Rightarrow x = 2$. Vậy giao điểm của $d$ với $Ox$là $A(2;0)$

Cho $x = 0 \Rightarrow 3y - 4 = 0 \Rightarrow y = \frac{4}{3}.$ $x = 0 \Rightarrow 3y - 4 = 0 \Rightarrow y = \frac{4}{3}.$Vậy giao điểm của $d$ với $Oy$là $B(0;\frac{4}{3})$ $B(0;\frac{4}{3})$

c. Thay tọa độ điểm M (-7; 5) vào phương trình tổng quát của (d) ta được:

2.(-7) + 3.5 - 4 = 0 ⇔ -3 = 0 (vô lý)

Vậy đường thẳng d không đi qua M(-7; 5).

C. Bài tập vận dụng có đáp án chi tiết

Bài tập 1: Cho hai đường thẳng $\Delta_{1}:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = 3 + 5t \end{matrix} \right.$ $\Delta_{1}:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = 3 + 5t \end{matrix} \right.$ và $\Delta_{2}:\ 2x + 3y - 5 = 0.$ $\Delta_{2}:\ 2x + 3y - 5 = 0.$

a) Lập phương trình tổng quát của $\Delta_{1}.$ $\Delta_{1}.$

b) Lập phương trình tham số của $\Delta_{2}.$ $\Delta_{2}.$

Bài tập 2. Cho đường thẳng d có phương trình tổng quát là: x - 2y - 5 = 0

a. Lập phương trình tham số của đường thẳng d.

b. Tìm tọa độ điểm M thuộc d sao cho OM = 5 với O là gốc tọa dộ.

c. Tìm tọa độ điểm N thuộc d sao cho khoảng cách từ N đến trục hoành Ox là 3.

Bài tập 3: Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm $A(2;\ - 1)$ $A(2;\ - 1)$ và nhận $\overrightarrow{u} = ( - 3;\ 2)$ $\overrightarrow{u} = ( - 3;\ 2)$ làm vectơ chỉ phương là

A. $\left\{ \begin{matrix} x = - 3 + 2t \\ y = 2 - t \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} x = - 3 + 2t \\ y = 2 - t \end{matrix} \right.$. B. $\left\{ \begin{matrix} x = 2 - 3t \\ y = - 1 + 2t \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} x = 2 - 3t \\ y = - 1 + 2t \end{matrix} \right.$. C. $\left\{ \begin{matrix} x = - 2 - 3t \\ y = 1 + 2t \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} x = - 2 - 3t \\ y = 1 + 2t \end{matrix} \right.$. D. $\left\{ \begin{matrix} x = - 2 - 3t \\ y = 1 + 2t \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} x = - 2 - 3t \\ y = 1 + 2t \end{matrix} \right.$.

Bài tập 4: Cho hai điểm $A(5;6)$, $B( - 3;2)$ Phương trình chính tắc của $AB$ là

A. $\frac{x - 5}{- 2} = \frac{y - 6}{1}$ $\frac{x - 5}{- 2} = \frac{y - 6}{1}$. B. $\frac{x - 5}{2} = \frac{y - 6}{- 1}$ $\frac{x - 5}{2} = \frac{y - 6}{- 1}$. C. $\frac{x + 5}{2} = \frac{y + 6}{1}$ $\frac{x + 5}{2} = \frac{y + 6}{1}$. D. $\frac{x + 3}{- 2} = \frac{y - 2}{- 1}$ $\frac{x + 3}{- 2} = \frac{y - 2}{- 1}$.

Bài tập 5: Đường thẳng $\Delta$ $\Delta$ đi qua $M(3; - 2)$ nhận $\overrightarrow{u} = (4; - 5)$ $\overrightarrow{u} = (4; - 5)$ là vec tơ chỉ phương. Phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ $\Delta$ là:

A. $\left\{ \begin{matrix} x = 3 + t \\ y = 2 - 5t \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} x = 3 + t \\ y = 2 - 5t \end{matrix} \right.$ B. $\left\{ \begin{matrix} x = 3 + 4t \\ y = - 2 - 5t \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} x = 3 + 4t \\ y = - 2 - 5t \end{matrix} \right.$ C. $\left\{ \begin{matrix} x = 4 + 3t \\ y = - 5 - 2t \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} x = 4 + 3t \\ y = - 5 - 2t \end{matrix} \right.$ D. $\left\{ \begin{matrix} x = 3 - 2t \\ y = 4 - 5t \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} x = 3 - 2t \\ y = 4 - 5t \end{matrix} \right.$

Toàn bộ nội dung đã sẵn sàng! Nhấn Tải về để tải đầy đủ tài liệu.

----------------------------------------

Qua bài viết, bạn đã hiểu cách chuyển đổi giữa phương trình tham số và chính tắc, nhận diện vectơ chỉ phương – vectơ pháp tuyến, cũng như vận dụng vào giải bài tập phương trình đường thẳng Toán 10. Hãy luyện tập thêm để thành thạo các dạng toán và chuẩn bị tốt cho các kỳ kiểm tra. Đừng quên theo dõi các chuyên đề tiếp theo để củng cố kiến thức hình học giải tích và cải thiện điểm số nhanh chóng.

Tải về

Chọn file muốn tải về: