Toán 10: Hệ thức lượng trong tam giác

Hệ thức lượng trong tam giác

Toán 10: Hệ thức lượng trong tam giác là tài liệu để học tốt môn Toán 10 hay. Định nghĩa về hệ thức lượng trong tam giác cùng bài tập luyện tập định lý Cosin sẽ giúp các bạn học sinh ôn tập và củng cố kiến thức, nhớ được các công thức, từ đó giải bài tập nhanh chóng và hiệu quả hơn. Mời các bạn cùng tham khảo.

• Bài tập Toán lớp 10 chương 2: Hàm số bậc nhất - bậc hai
• Bài tập công thức lượng giác lớp 10

I. Kiến thức cần nhớ:

1. Định lý Côsin:

Trong tam giác ABC bất kỳ với _{$AB=c;CA=b,BC=a$} ta có:

• $a^2=b^2+c^2–2b.c.cos\hat{A}$
• $b^2=a^2+c^2–2a.c.cos\hat{B}$
• $c^2=a^2+b^2–2a.b.cos\hat{C}$

Hệ quả:

$cos\hat{A}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$

$cos\hat{B}=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$

$cos\hat{C}=\frac{b^2+a^2-c^2}{2ba}$

Công thức tính độ dài trung tuyến:

$m_a^2=\frac{b^2+c^2}{2}-\frac{a^2}{4}$

$m_b^2=\frac{a^2+c^2}{2}-\frac{b^2}{4}$

$m_c^2=\frac{a^2+b^2}{2}-\frac{c^2}{4}$

2. Định lí sin

Trong một tam giác ABC bất kì với AB = c, CA = b, BC = a, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác, ta có:

$\frac{a}{sin\hat{A}}=\frac{b}{sin\hat{B}}=\frac{c}{sin\hat{C}}$

3. Công thức diện tích tam giác

Cho tam giác ABC có AB = c, BC = a, Ac = b, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC, p là nửa chu vi tam  giác ABC

• $S=\frac{1}{2}a.h_a=\frac{1}{2}b.h_b=\frac{1}{2}c.h_c$
• $S=\frac{1}{2}ab.sin\hat{C}=\frac{1}{2}ac.sin\hat{B}=\frac{1}{2}bc.sin\hat{A}$
• $S=\frac{abc}{4R}$
• $S=pr$
• _{$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},p=\frac{a+b+c}{2}$} (Công thức Hê rông)

II.BÀI TẬP:

Bài 1. Cho tam giác ABC có góc A = 60⁰ ; góc B = 45⁰ và cạnh AC = 4.

a) Tính hai cạnh AB và BC.

b) Tính diện tích tam giác ABC.

c) Tính đường cao hₐ và bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Hướng dẫn giải

a, Áp dụng định lí Sin ta có :

$\frac{BC}{sin\hat{A}}=\frac{AC}{sin\hat{B}}=\frac{AB}{sin\hat{C}}\iff \frac{BC}{sin\hat{A}}=\frac{AB}{sin\hat{C}}={\displaystyle \frac{4}{\sin 45}}=4\sqrt{2}$

$\Rightarrow BC=4\sqrt{2}.\sin 60=2\sqrt{6},AC=4\sqrt{2}.\sin 75=2+2\sqrt{3}$

b, Diện tích tam giác ABC:

$S=\frac{1}{2}.AB.AC.\sin A=\frac{1}{2}.(2+2\sqrt{3}).4.sin{60}^0=6+2\sqrt{3}$

c, Xét tam giác AHC vuông tại H, áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

$\sin \hat{C}=\sin {75}^0=\frac{AH}{AC}\Rightarrow AH=\sin {75}^0.4=\sqrt{6}+\sqrt{2}$

Ta có: _{$S_{ABC}=6+2\sqrt{3}=\frac{AB.AC.BC}{4R}\Rightarrow R=\frac{AB.AC.BC}{4S_{ABC}}=2\sqrt{2}$}

Bài 2. Cho tam giác ABC có ba cạnh AB = 7; BC = 8; AC = 6.

a) Tính diện tích tam giác ABC.

b) Tính Độ dài đường cao AH của tam giác ABC.

c) Tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

d) Tính độ dài trung tuyến kẻ từ đỉnh A.

Hướng dẫn giải

$p=\frac{AB+AC+BC}{2}=\frac{6+7+8}{2}=\frac{21}{2}$

Áp dụng công thức Hê rông ta có:

$S=\sqrt{p(p-AB)(p-AC)(p-BC)}=\frac{21\sqrt{15}}{4}$

Ta lại có : _{$S=\frac{1}{2}AH.BC$$\Rightarrow AH=\frac{2S}{BC}=\frac{2.{\displaystyle \frac{21\sqrt{15}}{4}}}{8}=\frac{21\sqrt{15}}{16}$}

_{$S=\frac{AB.AC.BC}{4R}\Rightarrow R=\frac{AB.AC.BC}{4S}=\frac{6.7.8}{4.{\displaystyle \frac{21\sqrt{15}}{4}}}=\frac{16}{\sqrt{15}}$}

_{Áp dụng công thức tính độ dài đường trung tuyến ta có:}

$A{M}^2=\frac{A{B}^2+A{C}^2}{2}-\frac{B{C}^2}{4}=\frac{53}{2}$

Bài 3. Cho tam giác ABC có AB = 12; AC = 16; BC = 20.

a) Tính diện tích tam giác ABC .

b) Tính các góc A, B, và góc C.

c) Tính bán kính r, R của đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác ABC.

Hướng dẫn giải

$p=\frac{AB+AC+BC}{2}=\frac{12+16+20}{2}=24$

Áp dụng hệ thức Hê rông ta có:

$S=\sqrt{p(p-AB)(p-AC)(p-BC)}=96$

Mặt khác ta có: _{$S=\frac{1}{2}AB.AC.\sin \hat{A}=\frac{1}{2}BC.AC.\sin \hat{C}=\frac{1}{2}AB.BC.\sin \hat{B}$}

_{$\Rightarrow \sin \hat{A}=\frac{2S}{AB.AC},\sin \hat{B}=\frac{2S}{AB.BC},\sin \hat{C}=\frac{2S}{BC.AC}$}

_{$S=pr\Rightarrow \frac{S}{p}$}

_{$S=\frac{AB.AC.BC}{4R}\Rightarrow R=\frac{AB.AC.BC}{4S}$}

Bài 4. Cho tam giác ABC có góc B = 60⁰, cạnh BA = 6, BC = 12.

a) Tính diện tích tam giác ABC.

b) Tính độ dài cạnh AC.

c) Tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Bài 5: Cho tam giác ABC có b = 7, c =  5, cos B = 3/5

a) Tính diện tích tam giác ABC .

b) Tính đường cao kẻ từ A và bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Bài 6: Cho tam giác ABC có a = ; b = 2; c = .

a) Tính các góc A, B và góc C.

b) Tính đường cao kẻ từ A và bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Bài 7:Cho tam giác ABC có góc A = 1200, cạnh b = 8 cm, c = 5 cm.

a) Tính diện tích tam giác ABC.

b) Tính cạnh a các góc B, góc C.

c) Tính đường cao kẻ từ A và bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Bài 8: Cho tam giác ABC có a = 8 cm; b = 10 cm; c = 13 cm.

a) Tam giác ABC có góc tù không ?

b) Tính độ dài trung tuyến AM của tam giác ABC.

Bài 9: Cho tam giác ABC có AB = 5; BC = 7; AC = 6. Gọi M là trung điểm AC.

a) Tính diện tích tam giác ABC. Suy ra độ dài đường cao kẻ từ đỉnh A.

b) Tính độ dài trung tuyến kẻ từ đỉnh B.

c) Tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABM.

Bài 10: Cho tam giác ABC có AB = 3; AC = 4 và diện tích . Tính BC ?

Bài 11: Cho tam giác ABC có AB = 2; BC = 3; AC = 4.

a) Tính diện tích tam giác ABC .

b) Tính các đường cao kẻ tứ các đỉnh A, B, C của tam giác ABC

c) Tính bán kính R, r của đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác ABC.

Bài 12: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 1; AC = 4. Gọi M là trung điểm AC.

a) Tính diện tích tam giác ABC .

b) Tính bán kính R1 của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

c) Tính bán kính R2 của đường tròn ngoại tiếp tam giác CBM.

Bài 13: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 3; AC = 4. Gọi M là trung điểm BC.

a) Tính diện tích tam giác ABC .

b) Tính độ dài AM.

c) Tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác CBM.

Bài 14: Cho tam giác ABC có b = 3; c = 5, cos A = 4/5

a) Tính diện tích tam giác ABC .

b) Tính đường cao kẻ tứ A và bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Trên đây là Toán 10: Hệ thức lượng trong tam giác VnDoc giới thiệu tới quý thầy cô và bạn đọc. Ngoài ra VnDoc mời độc giả tham khảo thêm tài liệu ôn tập một số môn học: Tiếng anh lớp 10, Vật lí lớp 10, Ngữ văn lớp 10,...