Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức bằng phương pháp dồn biến
Tìm GTLN, GTNN của biểu thức bằng phương pháp dồn biến
Phương pháp dồn biến là một kỹ thuật quan trọng và hiệu quả giúp giải quyết các bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức trong toán học. Bằng cách biến đổi biểu thức một cách thông minh, phương pháp này giúp đơn giản hóa vấn đề, từ đó dễ dàng xác định giá trị tối ưu. Trong bài viết này, bạn sẽ được hướng dẫn chi tiết cách áp dụng phương pháp dồn biến cùng các ví dụ minh họa thực tế, giúp bạn nâng cao kỹ năng giải toán và tư duy sáng tạo.
A. Minh họa bài tập tìm GTLN, GTNN bằng phương pháp dồn biến
Ví dụ 1. Cho 
\(a\ ,b > 0\) và thỏa mãn \(a\ + b \leq 1\). Chứng minh rằng: \(a^{2} - \frac{3}{4a} - \frac{a}{b}
\leq - \frac{9}{4}\).
Hướng dẫn giải
Ta dễ thấy điểm rơi đạt tại: \(a = b =
\frac{1}{2}.\)
Ta có: \(1 \geq a + b \geq 2\sqrt{ab}
\Leftrightarrow 4a \leq \frac{1}{b}\)
\(\Leftrightarrow 4a^{2} \leq \frac{a}{b}
\Leftrightarrow - \frac{a}{b} \leq - 4a^{2}\)
Từ đó: \(M = a^{2} - \frac{3}{4a} -
\frac{a}{b} \leq a^{2} - \frac{3}{4a} - 4a^{2}\) \(= - 3\left( a^{2} + \frac{1}{4a} \right) \leq -
\frac{9}{4}\)
Vì với điểm rơi trên thì ta tách: \(a^{2} +
\frac{1}{4a} = \left( a - \frac{1}{2} \right)^{2} + \left( a +
\frac{1}{4a} \right) - \frac{1}{4}\) \(\geq 0 + 2\sqrt{\frac{1}{4}} - \frac{1}{4} =
\frac{3}{4}.\)
Đẳng thức xảy ra khi: \(a = b = c =
\frac{1}{3}.\)
Ví dụ 2. Cho \(a,\ \ b,\ \ c\) là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(P = \frac{4}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}
+ 4}} - \frac{9}{(a + b)\sqrt{(a + 2c)(b + 2c)}}.\)
Hướng dẫn giải
Ta thấy điểm rơi đạt tại: \(a = b = c =
2.\)
Từ đó ta có: \(a^{2} + b^{2} + c^{2} + 4
\geq \frac{(a + b)^{2}}{2} + \frac{(c + 2)^{2}}{2} \geq \frac{(a + b + c
+ 2)^{2}}{4}.\)
\(\Rightarrow \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} +
4} \geq \frac{(a + b)^{2}}{2} + \frac{(c + 2)^{2}}{2} \geq \frac{a + b +
c + 2}{2}.\)
\((a + b)\sqrt{(a + 2c)(b + 2c)} \leq
\frac{1}{6}(3a + 3b)(a + b + 4c) \leq \frac{1}{24}(4a + 4b +
4c)^{2}\)
\(\Rightarrow (a + b)\sqrt{(a + 2c)(b +
2c)} \leq \frac{2}{3}(a + b + c)^{2}.\)
Vậy: \(P \leq \frac{8}{a + b + c + 2} -
\frac{27}{2(a + b + c)^{2}}.\)
Ta đặt: \(t = a + b + c(t > 0)
\Rightarrow P \leq \frac{8}{t + 2} - \frac{27}{2t^{2}}.\)
Với điểm rơi tại: \(a = b = c = 2\) thì \(t = 6 \Rightarrow P_{\max} =
\frac{5}{8}.\)
Ta có:
\(\frac{1}{t + 2} =
\frac{1}{\frac{2t}{3} + \left( \frac{t}{3} + 2 \right)} \leq
\frac{1}{4}\left( \frac{1}{\frac{2t}{3}} + \frac{1}{\frac{t}{3} + 2}
\right)\) \(\leq \frac{3}{8t} +
\frac{1}{16}\left( \frac{3}{t} + \frac{1}{2} \right) = \frac{9}{16t} +
\frac{1}{32}.\)
\(\Rightarrow P \leq \frac{8}{t + 2} -
\frac{27}{2t^{2}} = \frac{9}{2t} + \frac{1}{4} -
\frac{27}{2t^{2}}\) \(= \frac{5}{8} -
\frac{3}{2}\left( \frac{3}{t} - \frac{1}{2} \right)^{2} \leq
\frac{5}{8}.\)
Vậy: \(MaxP = \frac{5}{8} \Leftrightarrow t
= 6 \Rightarrow a = b = c = 2.\)
B. Bài tập tự rèn luyện có đáp án chi tiết
Bài tập 1. Cho \(x,\ \ y\) là các số thực dương và thỏa mãn \(x^{4} + y^{4} +
\frac{1}{xy} = xy + 2.\) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
\(P = \frac{2}{1 + x^{2}} + \frac{2}{1 +
y^{2}} - \frac{3}{1 + 2xy}.\)
Bài tập 2. Cho \(a,\ \ b,\ \ c >
0\) và thỏa mãn \(a + b + c =
1.\) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\(Q = 14\left( a^{2} + b^{2} + c^{2}
\right) + \frac{ab + bc + ca}{a^{2}b + b^{2}c + c^{2}a}.\)
Bạn muốn xem toàn bộ tài liệu? Hãy nhấn Tải về ngay!
----------------------------------------------------
Áp dụng thành thạo phương pháp dồn biến sẽ giúp bạn xử lý nhanh chóng và chính xác các bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức phức tạp. Hy vọng qua bài viết, bạn đã nắm được các bước cơ bản và bí quyết vận dụng phương pháp hiệu quả trong nhiều dạng toán khác nhau. Hãy tiếp tục luyện tập để phát triển tư duy toán học và kỹ năng giải bài tập nâng cao.
