Chứng minh đồ thị hàm số luôn đi qua một điểm cố định với mọi m

Chứng minh đồ thị hàm số luôn đi qua một điểm cố định với mọi m được VnDoc biên soạn và chia sẻ xin gửi tới bạn đọc cùng tham khảo. Tài liệu này gồm các dạng bài tập tìm điểm cố định mà đồ thi hàm số luôn đi qua, kèm theo đáp án chi tiết để các em dễ theo dõi, ngoài ra tài liệu tổng hợp các bài toán để các em học sinh có thể luyện tập, củng cố kiến thức. Đây là tài liệu hữu ích giúp các em ôn tập các kiến thức, chuẩn bị cho các bài thi học kì 2 lớp 9 và ôn thi vào lớp 10 hiệu quả nhất. Dưới đây là nội dung chi tiết của bài, các em tham khảo nhé!

I. Bài toán chứng tỏ đồ thị hàm số đi qua một điểm cố định với mọi m

+ Với một giá trị của tham số m ta được một đồ thị hàm số (d_m) tương ứng. Như vậy khi m thay đổi thì đồ thị hàm số (d_m) cũng thay đổi theo hai trường hợp:

- Hoặc mọi điểm của (d_m) đều di động

- Hoặc có một vài điểm của (d_m) đứng yên khi m thay đổi

+ Những điểm đứng yên khi m thay đổi gọi là điểm cố định của đồ thị hàm số (d_m). Đó là những điểm mà đồ thị hàm số đều đi qua với mọi giá trị của m

+ Phương trình ax + b = 0 nghiệm đúng với mọi x khi và chỉ khi a = 0 và b = 0

II. Bài tập ví dụ về bài toán chứng tỏ đồ thị hàm số đi qua một điểm cố định

Ví dụ: Tìm điểm cố định mà đường thẳng (d) đi qua:

a) $y=(m-2)x+m-3;(m\ne 2)$

b) $y=(3m-1)x+2m+1;(m\ne \frac{1}{3})$

Lời giải chi tiết

a) Xét hàm số $y=(m-2)x+m-3;(m\ne 2)$ ta có:

 $y=(m-2)x+m-3$ 

$\iff y=mx-2x+m-3$

$\iff (x+1)m-2x-3-y=0$

$\iff \{\begin{array}{c}x+1=0\\ -2x-3-y=0\end{array}\iff \{\begin{array}{c}x=-1\\ y=-1\end{array}$

Vậy điểm cố định mà đường thẳng đi qua là $A(-1;-1)$.

b) Xét hàm số $y=(3m-1)x+2m+1;(m\ne \frac{1}{3})$ ta có:

 $y=(3m-1)x+2m+1$ 

$\iff y=3mx-x+2m+1$

$\iff (3x+2).m-x+1-y=0$

$\iff \{\begin{array}{c}3x+2=0\\ -x+1-y=0\end{array}\iff \{\begin{array}{c}x=-\frac{2}{3}\\ y=\frac{5}{3}\end{array}$

Vậy điểm cố định mà đường thẳng đi qua là $B(-\frac{2}{3};\frac{5}{3})$.

Ví dụ: Cho hàm số $y=(2m-1)x+5m-4(d)$. Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số trên luôn đi qua với mọi giá trị m.

Lời giải chi tiết

Ta có:

$y=(2m-1)x+5m-4$

$\iff y=2mx-x+5m-4$

$\iff m(2x+5)-(x+y+4)=0$

$\iff \{\begin{array}{c}2x+5=0\\ x+y+4=0\end{array}\iff \{\begin{array}{c}x=-{\displaystyle \frac{5}{2}}\\ y=-{\displaystyle \frac{3}{2}}\end{array}$

Vậy (d) luôn đi qua điểm $C(\frac{-5}{2};\frac{-3}{2})$ cố định.

Ví dụ: Cho hàm số $y=(m-2)x+m-3(d)$. Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số trên luôn đi qua với mọi giá trị m.

Lời giải chi tiết

Ta có:

$y=(m-2)x+m-3$

$\iff y=mx-2x+m-3$

$\iff (x+1)m-2x-3-y=0$

$\iff \{\begin{array}{c}x+1=0\\ -2x-3-y=0\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{c}x=-1\\ y=-1\end{array}$

Vậy (d) luôn đi qua điểm $B(-1;-1)$ cố định.

Ví dụ: Chứng tỏ rằng với mọi m họ các đường thẳng (d) có phương trình y = (m + 1)x + 2x - m luôn đi qua một điểm cố định.

Hướng dẫn giải

Gọi điểm M(x₀; y₀) là điểm cố định mà đường thẳng (d) luôn đi qua, sau đó tìm giá trị x₀ và y₀ thỏa mãn.

Lời giải chi tiết

Gọi M(x₀; y₀) là điểm cố định mà đường thẳng (d) luôn đi qua. Khi đó ta có:

⇔ y₀ = (m + 1)x₀ + 2x₀ - m với mọi m

⇔ y₀ = mx₀ + x₀ + 2x₀ - m với mọi m

⇔ y₀ - mx₀ - 3x₀ - m = 0 với mọi m

⇔ m(-x₀ - 1) + (y₀ - 3x₀) = 0 với mọi m

$\iff \{\begin{array}{l}-x_o+1=0\\ y_0-3x_0=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{x}_0=1\\ y_0=3\end{array}\Rightarrow M\left(1;3\right)$

Vậy với mọi m, họ các đường thẳng (d) có phương trình y = (m + 1)x + 2x - m luôn đi qua một điểm M cố định có tọa độ M(1; 3)

Ví dụ: Cho hàm số y = (2m - 3)x + m - 1. Chứng minh rằng đồ thị hàm số đi qua điểm cố định với mọi giá trị của m. Tìm điểm cố định ấy.

Lời giải chi tiết

Gọi M(x₀; y₀) là điểm cố định mà đường thẳng (d) luôn đi qua. Khi đó ta có:

 y₀ = (2m - 3)x₀ + m - 1 với mọi m

⇔ y₀ = 2mx₀ - 3x₀ + m - 1 với mọi m

⇔ y₀ - 2mx₀ - 3x₀ + m - 1 = 0 với mọi m

⇔ m(-2x₀ + 1) + (y₀ - 3x₀ - 1) = 0 với mọi m

$\iff \{\begin{array}{l}-2x_o+1=0\\ y_0-3x_0-1=0\end{array}$$\iff \{\begin{array}{l}{x}_0={\displaystyle \frac{1}{2}}\\ y_0={\displaystyle \frac{5}{2}}\end{array}\Rightarrow M\left({\displaystyle \frac{1}{2}};{\displaystyle \frac{5}{2}}\right)$

Vậy với mọi m, họ các đường thẳng (d) có phương trình y = (m + 1)x + 2x - m luôn đi qua một điểm M cố định có tọa độ _{$M\left(\frac{1}{2};\frac{5}{2}\right)$.}

Ví dụ: Cho hàm số y = mx + 3m - 1. Tìm tọa độ của điểm mà đường thẳng luôn đi qua với mọi m

Lời giải chi tiết

Gọi M(x₀; y₀) là điểm cố định mà đường thẳng (d) luôn đi qua. Khi đó ta có:

y₀ = mx₀ + 3m - 1 với mọi m

⇔ y₀ - mx₀ - 3m + 1 = 0 với mọi m

⇔ m(-x₀ - 3) + (y₀ + 1) = 0 với mọi m

$\iff \{\begin{array}{l}-x_0-3=0\\ y_0+1=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{x}_0=-3\\ y_0=-1\end{array}\Rightarrow M\left(-3;-1\right)$

Vậy với mọi m, họ các đường thẳng (d) có phương trình y = (m + 1)x + 2x - m luôn đi qua một điểm M cố định có tọa độ M(-3; -1)

Ví dụ: Cho hàm số y = (m - 1)x + 2020. Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn đi qua với mọi giá trị của m

Lời giải chi tiết

Gọi M(x₀; y₀) là điểm cố định mà đường thẳng (d) luôn đi qua. Khi đó ta có:

y₀ = (m - 1)x₀ + 2020 với mọi m

⇔ y₀ - mx₀ - x₀ - 2020 = 0 với mọi m

⇔ -mx₀ + (y₀ - x₀ - 2020) = 0 với mọi m

$\iff \{\begin{array}{l}{x}_0=0\\ y_0-x_0-2020=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{x}_0=0\\ y_0=2020\end{array}\Rightarrow M\left(0;2020\right)$

Vậy với mọi m, họ các đường thẳng (d) có phương trình y = (m + 1)x + 2x - m luôn đi qua một điểm M cố định có tọa độ M(0; 2020)

III. Bài tập tự luyện về bài toán chứng minh đồ thị hàm số luôn đi qua một điểm cố định

Bài 1: Cho hàm số bậc nhất y = (m + 1)x - 2m (d_m). Chứng minh rằng đồ thị hàm số (d_m) luôn đi qua 1 điểm cố định với mọi m

Bài 2: Cho hàm số y = (m - 1)x + m + 3. Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn đi qua với mọi m

Bài 3: Cho hàm số y = (2m - 3)x + m - 5. Chứng minh họ đường thẳng luôn đi qua điểm cố định khi m thay đổi. Tìm điểm cố định ấy.

Bài 4: Cho hàm số y = (m + 2)x + 2m - 1. Chứng minh đồ thị hàm số luôn đi qua một điểm cố định khi m thay đổi. Tìm điểm cố định ấy.

Bài 5: Chứng minh rằng đồ thị hàm số y = (m + 2)x + m - 1 luôn đi qua một điểm cố định với mọi m, hãy xác định điểm đó

Bài 6: Cho hàm số y = mx - 2. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đồ thị hàm số đã cho luôn đi qua một điểm cố định.

Bài 7: Tìm điểm cố định mà mỗi đường thẳng sau luôn đi qua với mọi giá trị của m:

a, y = (m - 2)x + 3

b, y = mx + (m + 2)

c, y = (m - 1)x + (2m - 1)

---------------------------------------------------------------

Chứng minh đồ thị hàm số luôn đi qua một điểm cố định với mọi m được VnDoc chia sẻ trên đây, hy vọng đây là tài liệu hữu ích cho các em tham khảo, nắm vững các dạng bài chứng tỏ đồ thị hàm số đi qua một điểm cố định với mọi m. Chúc các em học tốt.

Ngoài chuyên đề chứng tỏ đồ thị hàm số luôn đi qua một điểm với mọi m Toán 9, để giúp bạn đọc có thêm nhiều tài liệu học tập hơn nữa, VnDoc.com mời các bạn học sinh tham khảo thêm các đề thi học kì 2 lớp 9 các môn Toán, Văn, Anh, Lý, Hóa, ... và các đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán mà chúng tôi đã sưu tầm và chọn lọc. Với bài tập về chuyên đề này giúp các bạn rèn luyện thêm kỹ năng giải đề và làm bài tốt hơn. Chúc các bạn học tập tốt!

Để giúp bạn đọc có thể giải đáp được những thắc mắc và trả lời được những câu hỏi khó trong quá trình học tập. VnDoc.com mời bạn đọc cùng đặt câu hỏi tại mục hỏi đáp học tập của VnDoc. Chúng tôi sẽ hỗ trợ trả lời giải đáp thắc mắc của các bạn trong thời gian sớm nhất có thể nhé.