VnDoc.com

Chuyên đề Toán 9: Góc nội tiếp

Ôn thi vào lớp 10 môn Toán

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 9

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Cách giải bài toán góc nội tiếp lớp 9

A. Ôn thi vào 10 với chuyên đề góc nội tiếp Toán 9
B. Các dạng bài tập góc nội tiếp lớp 9
C. Bài tập vận dụng góc nội tiếp lớp 9 có lời giải

Chào mừng bạn đến với chuyên đề Toán 9: Góc nội tiếp – một chủ điểm quan trọng và thường xuyên xuất hiện trong các đề kiểm tra, đề thi vào lớp 10. Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu đầy đủ lý thuyết, các tính chất quan trọng, cách vận dụng vào bài tập, và hệ thống các dạng bài thường gặp về góc nội tiếp. Nội dung được trình bày rõ ràng, dễ hiểu, phù hợp với học sinh lớp 9 đang ôn tập hoặc muốn nâng cao kiến thức hình học.

A. Ôn thi vào 10 với chuyên đề góc nội tiếp Toán 9

1. Góc nội tiếp là gì?

Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn đó. Cung nằm bên trong gọi là cung bị chắn.

2. Định lí

Trong một đường tròn số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn.

3. Hệ quả

Trong một đường tròn:

a) Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau.

b) Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau.

c) Góc nội tiếp (nhỏ hơn hoặc bằng $90^{0}$ $90^{0}$ ) có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung.

d) Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.

B. Các dạng bài tập góc nội tiếp lớp 9

Dạng I. Tính số đo góc

Bài toán 1. Cho các điểm như hình vẽ. Tính số đo các góc của tam giác $ABC$, biết rằng $\widehat{AOB} = 120^{0},$ $\widehat{AOB} = 120^{0},$ $\ \widehat{BOC} = 80^{0}$ $\ \widehat{BOC} = 80^{0}$.

Hướng dẫn giải

Xét đường tròn $(O)$, ta có:

Vì góc nội tiếp $\widehat{BAC}$ $\widehat{BAC}$ và góc ở tâm $\widehat{BOC}$ $\widehat{BOC}$ cùng chắn cung nhỏ $BC$

nên $\widehat{BAC} = \frac{1}{2}\widehat{BOC} = \frac{1}{2}.80^{0} = 40^{0}$ $\widehat{BAC} = \frac{1}{2}\widehat{BOC} = \frac{1}{2}.80^{0} = 40^{0}$

Vì góc nội tiếp $\widehat{ACB}$ $\widehat{ACB}$ và góc ở tâm $\widehat{AOB}$ $\widehat{AOB}$ cùng chắn cung nhỏ $AB$ nên $\widehat{ACB} = \frac{1}{2}\widehat{AOB} = \frac{1}{2}.120^{0} = 60^{0}$ $\widehat{ACB} = \frac{1}{2}\widehat{AOB} = \frac{1}{2}.120^{0} = 60^{0}$

Xét tam giác $ABC$, ta có:

$\widehat{ABC} = 180^{0} - \left( \widehat{BAC} + \widehat{ACB} \right)$ $\widehat{ABC} = 180^{0} - \left( \widehat{BAC} + \widehat{ACB} \right)$

$\widehat{ABC} = 180^{0} - \left( 40^{0} + 60^{0} \right)$ $\widehat{ABC} = 180^{0} - \left( 40^{0} + 60^{0} \right)$

$\widehat{ABC} = 80^{0}$ $\widehat{ABC} = 80^{0}$.

Bài toán 2. Cho đường tròn $(O)$ và hai dây cung $AC,BD$ cắt nhau tại $X$ (hình vẽ). Tính số đo góc $AXB$, biết rằng $\widehat{ADB} = 30^{0}$ $\widehat{ADB} = 30^{0}$ và $\widehat{DBC} = 50^{0}$ $\widehat{DBC} = 50^{0}$.

Hướng dẫn giải

Do hai góc nội tiếp $\widehat{CAD}$ $\widehat{CAD}$ và $\widehat{CBD}$ $\widehat{CBD}$ cùng chắn cung $CD$ nên $\widehat{CAD} = \widehat{CBD} = 50^{0}$ $\widehat{CAD} = \widehat{CBD} = 50^{0}$.

Tương tự $\widehat{ADB}$ $\widehat{ADB}$ và $\widehat{ACB}$ $\widehat{ACB}$ cùng chắn cung $AB$ nên $\widehat{ACB} = \widehat{ADB} = 30^{0}$ $\widehat{ACB} = \widehat{ADB} = 30^{0}$.

Xét tam giác $AXB$ có: $\widehat{CAD} + \widehat{ADB} + \widehat{AXD} = 180^{0}$ $\widehat{CAD} + \widehat{ADB} + \widehat{AXD} = 180^{0}$

$\Rightarrow \widehat{AXD} = 180^{0} - \left( \widehat{CAD} + \widehat{ADB} \right)$ $\Rightarrow \widehat{AXD} = 180^{0} - \left( \widehat{CAD} + \widehat{ADB} \right)$

$\Rightarrow \widehat{AXD} = 180^{0} - \left( 50^{0} + 30^{0} \right)$ $\Rightarrow \widehat{AXD} = 180^{0} - \left( 50^{0} + 30^{0} \right)$

$\Rightarrow \widehat{AXD} = 100^{0}$ $\Rightarrow \widehat{AXD} = 100^{0}$.

Ta có: $\widehat{AXB} + \widehat{AXD} = 180^{0}$ $\widehat{AXB} + \widehat{AXD} = 180^{0}$ (kề bù)

$\Rightarrow \widehat{AXB} = 180^{0} - \widehat{AXD}$ $\Rightarrow \widehat{AXB} = 180^{0} - \widehat{AXD}$

$\Rightarrow \widehat{AXB} = 180^{0} - 100^{0} = 80^{0}$ $\Rightarrow \widehat{AXB} = 180^{0} - 100^{0} = 80^{0}$

Bài toán 3. Tính số đo các góc $ANB,AOB$ và cung lớn $AB$ trong hình vẽ.

Hướng dẫn giải

Xét đường tròn $(O)$, ta có:

Do hai góc nội tiếp $\widehat{ANB}$ $\widehat{ANB}$ và $\widehat{AMB}$ $\widehat{AMB}$ cùng chắn cung nhỏ $AB$

nên $\widehat{ANB} = \widehat{AMB} = 65^{0}$ $\widehat{ANB} = \widehat{AMB} = 65^{0}$.

Vì góc nội tiếp $\widehat{AMB}$ $\widehat{AMB}$ và góc ở tâm $\widehat{AOB}$ $\widehat{AOB}$ cùng chắn cung nhỏ $AB$

Nên $\widehat{AOB} = 2\widehat{AMB} = 2.65^{0} = 130^{0}$ $\widehat{AOB} = 2\widehat{AMB} = 2.65^{0} = 130^{0}$

Sđ cung nhỏ $AB$ : sđ $\widehat{AB} = \widehat{AOB} = 130^{0}$ $\widehat{AB} = \widehat{AOB} = 130^{0}$ nên số đo cung lớn là: sđ $\widehat{AmB} = 360^{0} - 130^{0} = 230^{0}$ $\widehat{AmB} = 360^{0} - 130^{0} = 230^{0}$

Bài toán 4. Ba điểm $A,B,C$ thuộc đường tròn $(O)$ sao cho $\widehat{ABC} = 64^{0}$ $\widehat{ABC} = 64^{0}$. Từ $A$ vẽ $AH$ vuông góc với $BC$ và $AH$ cắt đường tròn $(O)$ tại $K$.

a. Tính $\widehat{AKC},\widehat{BAK}$ $\widehat{AKC},\widehat{BAK}$;

b. Gọi $KL$ là một dây cung song song với dây $AB$. Tính $\widehat{ACL}$ $\widehat{ACL}$.

Hướng dẫn giải

a. Ta có: $\widehat{AKC} = \widehat{ABC} = 64^{0}$ $\widehat{AKC} = \widehat{ABC} = 64^{0}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung $AC$ ).

Tam giác $AHB$ vuông tại $H$ (gt) có $\widehat{ABC} = 64^{0}$ $\widehat{ABC} = 64^{0}$ (gt)

$\Rightarrow \widehat{BAH} = 90^{0} - \widehat{ABC} = 90^{0} - 64^{0} = 26^{0}$ $\Rightarrow \widehat{BAH} = 90^{0} - \widehat{ABC} = 90^{0} - 64^{0} = 26^{0}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung $BK$ ).

b. Ta có: $\widehat{ACL} = \widehat{AKL}$ $\widehat{ACL} = \widehat{AKL}$ (1) (góc nội tiếp cùng chắn cung $AL$ ).

mà $KL\ //\ AB \Rightarrow \widehat{AKL} = \widehat{BAL}$ $KL\ //\ AB \Rightarrow \widehat{AKL} = \widehat{BAL}$ (2) (cặp góc so le trong)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow \widehat{ACL} = \widehat{BAK} = 26^{0}$ $\Rightarrow \widehat{ACL} = \widehat{BAK} = 26^{0}$

Dạng II. Các bài toán chứng minh

Bài toán 5. Cho đường tròn $(O)$ và hai dây cung $AB,CD$ cắt nhau tại điểm $I$ nằm trong $(O)$ (Hình vẽ)

a. Biết rằng $\widehat{AOC} = 60^{0},\widehat{BOD} = 80^{0}$ $\widehat{AOC} = 60^{0},\widehat{BOD} = 80^{0}$. Tính số đo của góc $AID$.

b. Chứng minh rằng $IA.IB = IC.ID$

Hướng dẫn giải

a. (Xem hình vẽ)

Xét đường tròn $(O)$. Nối $B$ với $C$ ta có góc nội tiếp $\widehat{ABC}$ $\widehat{ABC}$ và góc ở tâm cùng chắn cung nhỏ $AC$ nên $\widehat{ABC} = \frac{1}{2}\widehat{AOC} = \frac{1}{2}.60^{0} = 30^{0}$ $\widehat{ABC} = \frac{1}{2}\widehat{AOC} = \frac{1}{2}.60^{0} = 30^{0}$.

Tương tự với góc nội tiếp $\widehat{BCD}$ $\widehat{BCD}$ và góc ở tâm $\widehat{BOD}$ $\widehat{BOD}$.

Ta có: $\widehat{BCD} = \frac{1}{2}\widehat{BOD} = \frac{1}{2} \cdot 80^{\circ} = 40^{\circ}$ $\widehat{BCD} = \frac{1}{2}\widehat{BOD} = \frac{1}{2} \cdot 80^{\circ} = 40^{\circ}$.

Xét tam giác $BIC$, ta có:

$\widehat{BIC} = 180^{\circ} - \left( \widehat{BCD} + \widehat{ABC} \right)$ $\widehat{BIC} = 180^{\circ} - \left( \widehat{BCD} + \widehat{ABC} \right)$

$\widehat{BIC} = 180^{\circ} - \left( 40^{\circ} + 30^{\circ} \right)$ $\widehat{BIC} = 180^{\circ} - \left( 40^{\circ} + 30^{\circ} \right)$

$\widehat{BIC} = 110^{\circ}$ $\widehat{BIC} = 110^{\circ}$

$\Rightarrow \widehat{AID} = \widehat{BIC} = 110^{\circ}$ $\Rightarrow \widehat{AID} = \widehat{BIC} = 110^{\circ}$ (đối đỉnh)

b) Nối $A$ với $C,B$ với $D$.

Xét tam giác $AIC$ và tam giác $BID$ có $\widehat{CAB}$ $\widehat{CAB}$ và $\widehat{CDB}$ $\widehat{CDB}$ là hai góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ $BC$ nên $\widehat{CAB} = \widehat{CDB}$ $\widehat{CAB} = \widehat{CDB}$ (*)

Tương tự $\widehat{ACD}$ $\widehat{ACD}$ và $\widehat{ABD}$ $\widehat{ABD}$ là hai góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ $AD$ nên $\widehat{ACD} = \widehat{ABD}(**)$ $\widehat{ACD} = \widehat{ABD}(**)$

Từ $\left( \ ^{*} \right)$ $\left( \ ^{*} \right)$ và $\left( \ ^{**} \right) \Rightarrow \Delta ACI \backsim \Delta DBI$ $\left( \ ^{**} \right) \Rightarrow \Delta ACI \backsim \Delta DBI$ (g.g)

$\Rightarrow \frac{IA}{IC} = \frac{ID}{IB}$ $\Rightarrow \frac{IA}{IC} = \frac{ID}{IB}$

$\Rightarrow \ IA.IB\ = \ IC.ID$ $\Rightarrow \ IA.IB\ = \ IC.ID$ (đpcm)

Bài toán 6. Cho đường tròn $(O)$, đường kính $AB$ và điểm $S$ nằm ngoài $(O)$. Cho hai đường thẳng $SA,SB$ lần lượt cắt $(O)$ tại $M$ (khác $A$ ) và $N$ (khác $B$ ). Gọi $P$ là giao điểm của $BM$ và $AN$ (hình vē). Chứng minh rằng $SP$ vuông góc với $AB$.

Hướng dẫn giải

a) (Xem hình vẽ).

Nối $O$ với $M,O$ với $N$

Ta có $OM = OA = OB$ hay $OM = \frac{1}{2}AB$ $OM = \frac{1}{2}AB$

Chứng minh tương tự, ta có tam giác $ABN$ vuông tại $N$ $\Rightarrow AN\bot SB$ $\Rightarrow AN\bot SB$ hay $BM$ và $AN$ là hai đường cao của tam giác $SAB$. Mà $SA$ và $SB$ cắt nhau tại $P$ nên $P$ là trực tâm của tam giác $SAB$ $\Rightarrow SP\bot AB$ $\Rightarrow SP\bot AB$. (đpcm).

Bài toán 7. Cho $\Delta ABC(AB < AC)$ $\Delta ABC(AB < AC)$ nội tiếp trong đường tròn ( $O)$. Lấy $D$ trên cạnh $BC,AD$ cắt cung $BC$ ở $E$. Chứng minh rằng.

a) $\widehat{AEC} > \widehat{AEB}$ $\widehat{AEC} > \widehat{AEB}$;

b) $AB.CD = AD.CE$

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $\widehat{AEC} = \widehat{ABC}$ $\widehat{AEC} = \widehat{ABC}$ (góc nội tiếp cùng chắn $\widehat{AC}$ $\widehat{AC}$ ) và $\widehat{AEB} = \widehat{ACB}$ $\widehat{AEB} = \widehat{ACB}$ (góc nội tiếp cùng chắn $\widehat{AB}$ $\widehat{AB}$ ) mà $\widehat{ABC} > \widehat{ACB}$ $\widehat{ABC} > \widehat{ACB}$ (vì $AB < AC$ )

Do đó $\widehat{AEC} > \widehat{AEB}$ $\widehat{AEC} > \widehat{AEB}$

b) Xét $\Delta ABD$ $\Delta ABD$ và $\Delta CED$ $\Delta CED$ có: $\widehat{ABD} = \widehat{DEC}$ $\widehat{ABD} = \widehat{DEC}$ (cmt) $\widehat{BAE} = \widehat{BCE}$ $\widehat{BAE} = \widehat{BCE}$ (góc nội tiếp cùng chắn $\widehat{BE}$ $\widehat{BE}$ )

Vậy $\Delta ABD \backsim \Delta CED$ $\Delta ABD \backsim \Delta CED$ (g.g) $\Rightarrow \frac{AB}{CE} = \frac{AD}{CD} \Rightarrow AB.CD = AD.CE$ $\Rightarrow \frac{AB}{CE} = \frac{AD}{CD} \Rightarrow AB.CD = AD.CE$ (đpcm).

Bài toán 8. Cho $\Delta ABC$ $\Delta ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$, hai đường cao $AD,BK$ cắt nhau tại $H$. $AD$ cắt đường tròn $(O)$ tại $E$.

a) Chứng minh $BC$ là tia phân giác của $\widehat{HBE}$ $\widehat{HBE}$.

b) Chứng minh $E$ đối xứng với $H$ qua $BC$.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $\widehat{CBK} = \widehat{CAD}$ $\widehat{CBK} = \widehat{CAD}$ (cùng phụ với $\widehat{C}$ $\widehat{C}$ )

$\widehat{CAD} = \widehat{CBE}$ $\widehat{CAD} = \widehat{CBE}$ (góc nội tiếp cùng chắn $\widehat{CE}$ $\widehat{CE}$ )

$\Rightarrow \widehat{CBK} = \widehat{CBE}$ $\Rightarrow \widehat{CBK} = \widehat{CBE}$

Chứng tỏ $BC$ là phân giác của $\widehat{HBE}$ $\widehat{HBE}$.

b) $\Delta HBE$ $\Delta HBE$ có đường cao $BD$ đồng thời là đường phân giác (cmt). Do đó $BD$ cũng là đường trung trực của đoạn $HE$ hay $E$ và $H$ đối xứng nhau qua $BC$.

Bài toán 9. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Gọi $J$ là điểm chính giữa của cung nhỏ $BC$ và $I$ là giao điểm của $AJ$ với $BC$. Chứng minh rằng: $AI^{2} = AB \cdot AC - IB \cdot IC$ $AI^{2} = AB \cdot AC - IB \cdot IC$.

Hướng dẫn giải

$J$ là điểm chính giữa cung $BC \Rightarrow \widehat{JB} = \widehat{JC}$ $BC \Rightarrow \widehat{JB} = \widehat{JC}$

$\Rightarrow \widehat{A_{1}} = \widehat{A_{2}} \Rightarrow \Delta ABJ \backsim \Delta AIC$ $\Rightarrow \widehat{A_{1}} = \widehat{A_{2}} \Rightarrow \Delta ABJ \backsim \Delta AIC$ (g.g)

$\Rightarrow \frac{AB}{AI} = \frac{AJ}{AC} \Rightarrow AB \cdot AC = AI \cdot AJ$ $\Rightarrow \frac{AB}{AI} = \frac{AJ}{AC} \Rightarrow AB \cdot AC = AI \cdot AJ$ (1)

Ta lại co: $\widehat{J_{1}} = \widehat{C_{1}}$ $\widehat{J_{1}} = \widehat{C_{1}}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung $AB$ ).

Do đó $\Delta BIJ \backsim \Delta AIC$ $\Delta BIJ \backsim \Delta AIC$ (g.g)

$\Rightarrow \ IB.IC\ = \ AI.IJ\ (2)$ $\Rightarrow \ IB.IC\ = \ AI.IJ\ (2)$

Từ (1) và (2) $\Rightarrow AB.AC - IBIC = AI(AJ - IJ) = AI^{2}$ $\Rightarrow AB.AC - IBIC = AI(AJ - IJ) = AI^{2}$

Dạng III. Toán thực tế

Bài toán 10. Trên sân bóng, khi trái được đặt tại điểm phạt đền thì có góc sút bằng $30{^\circ}$ $30{^\circ}$ và trái bóng cách mỗi cọc gôn $11,6\ m.$ $11,6\ m.$ Hỏi khi trái bóng đặt ở vị trí cách điểm phạt đền $11,6\ m$ $11,6\ m$ thì góc sút bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Gọi $A,\ B$ $A,\ B$ là chân hai cọc gôn và O là điểm phạt đền.

Ta có $OA = OB = OC = 11,6\ m$ $OA = OB = OC = 11,6\ m$

Vậy $A,\ B,\ C$ $A,\ B,\ C$ nằm trên đường tròn tâm $O$ bán kính $11,6\ m$ $11,6\ m$ và góc ở tâm $\widehat{AOB} = 36{^\circ}$ $\widehat{AOB} = 36{^\circ}$

Do đó, góc nội tiếp $\widehat{ACB} = \frac{1}{2}.36{^\circ} = 18{^\circ}.$ $\widehat{ACB} = \frac{1}{2}.36{^\circ} = 18{^\circ}.$

Vậy góc sút bằng $18{^\circ}$ $18{^\circ}$

C. Bài tập vận dụng góc nội tiếp lớp 9 có lời giải

Bài toán 1. Tính số đo của $\widehat{AMB}$ $\widehat{AMB}$ và $\widehat{ANB}$ $\widehat{ANB}$ trong hình vẽ.

Bài toán 2. Cho $AB$ và $CD$ là hai đường kính vuông góc của nửa đường tròn $(O)$. Gọi $M,N$ lần lượt là hai điểm trên hai cung nhỏ $\widehat{AC},\widehat{BC}$ $\widehat{AC},\widehat{BC}$ và chia mỗi cung đó thành hai cung bằng nhau (hình vẽ).

Tìm số đo các góc sau:

a. $\widehat{ACB},\widehat{ADC}$ $\widehat{ACB},\widehat{ADC}$;

b. $\widehat{ADM},\widehat{\ NCB}$ $\widehat{ADM},\widehat{\ NCB}$.

Tài liệu dài, tải về để xem chi tiết và đầy đủ nhé!

-----------------------------------

Hy vọng rằng chuyên đề góc nội tiếp Toán 9 đã giúp bạn nắm vững kiến thức lý thuyết, rèn luyện kỹ năng giải bài tập và tự tin hơn khi bước vào các kỳ thi. Đừng quên luyện tập thường xuyên và tham khảo thêm các chuyên đề Toán lớp 9 khác trên website để học tốt môn Toán một cách toàn diện. Chúc bạn học tập hiệu quả và đạt kết quả cao!

Tải về

Chọn file muốn tải về: