Bồi dưỡng HSG Toán 9: Bài tập nâng cao chuyên đề 1

VnDoc - Tải i liệu, n bản pháp luật, biểu mẫu miễn p
VnDoc - Tải i liệu, n bản pháp luật, biểu mẫu miễn p
Toán lớp 9: CHỦ ĐỀ 1: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
VUÔNG, TỶ SỐ LƯỢNG GIÁC GÓC NHỌN
Câu 1. Cho
M
một điểm bất kỳ thuộc miền trong của hình chữ nhật
ABCD
. Chứng minh rằng
2 2 2 2
MA MC MB MD+ = +
.
Câu 2. Cho tứ giác
ABCD
µ
µ
0
90D C+ =
. Chứng minh rằng
2 2 2 2
AB CD AC BD+ = +
.
Câu 3. Cho tam giác
ABC
vuông tại
A
, đường cao
A H
. Lấy
thuộc
cạnh
A C
, điểm
thuộc tia đối của tia
HA
sao cho
1
3
AD HE
AC HA
= =
.
Chứng minh rằng
·
0
90BED =
.
Câu 4. Cho hình vuông
ABCD
. Qua
A
vẽ một cát tuyến bất kỳ cắt các
canh
BC
CD
(hoặc đường thẳng chứa các cạnh đó) tại các điểm
.Chứng minh rằng:
2 2 2
1 1 1
AE AF AD
+ =
Câu 5. Cho hình thoi
ABCD
với
µ
0
120A =
. Tia
Ax
tạo với tia
AB
góc
·
BAx
bằng
0
15
cắt cạnh
BC
tại
M
, cắt đường thẳng
CD
tại
N
.
Chứng minh rằng:
2 2 2
1 1 4
3AM AN AB
+ =
.
Câu 6. Cho tam giác cân
ABC
,
µ
0
20 , , ,A AB AC AC b BC a= = = =
.
Chứng minh rằng:
3 3 2
3a b ab+ =
.
Câu 7. Cho tam giác
ABC
ba góc nhọn,
, ,BC a AC b AB c= = =
.
Chứng minh rằng:
sin sin sin
a b c
A B C
= =
.
VnDoc - Tải i liệu, n bản pháp luật, biểu mẫu miễn p
VnDoc - Tải i liệu, n bản pháp luật, biểu mẫu miễn p
Câu 8. Cho tam giác
ABC
, ,BC a AC b AB c= = =
. Chứng minh
rằng:
sin
2
A a
b c
£
+
.
Câu 9. Cho góc vuông
xOy
điểm
A
cố định thuộc tia
Oy
, điểm
B OxÎ
sao cho
OA OB=
Điểm
M
chạy trên tia
Bx
. Đường vuông góc
với
OB
tại
cắt
AM
I
. Chứng minh tổng
2 2
1 1
AI AM
+
không đổi.
Câu 10. Cho hình thang vuông
ABCD
90 , 9 , 16 , 25
o
A D AB cm CD cm BC cm= = = = =
. Điểm
thuộc cạnh
BC
sao cho
BE A B=
a) Chứng minh:
·
0
90AED =
b) Tính
,AE DE
Xem tiếp i liệu tại: https://vndoc.com/tai-lieu-hoc-tap-lop-9

Bồi dưỡng HSG Toán 9: Bài tập nâng cao chuyên đề 1

Bồi dưỡng HSG Toán 9: Bài tập nâng cao chuyên đề 1 được VnDoc sưu tầm và đăng tải. Gồm lý thuyết và bài tập nâng cao giúp các bạn học sinh có thêm tài liệu ôn tập, rèn luyện chuẩn bị tôt cho kỳ thi sắp tới. Mời các bạn tham khảo

Bồi dưỡng HSG Toán 9 chuyên đề 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Lý thuyết các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác

Nhắc lại hệ thức lượng trong tam giác vuông.

Cho tam giác ABC vuông góc tại đỉnh A (\widehat{A} = 90^0), ta có:

1. {b^2} = ab';{c^2} = a.c'

2. Định lý Pitago: {a^2} = {b^2} + {c^2}

3. a.h = b.c

4. h^2= b’.c’

5. \frac{1}{h^{2}} = \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}}

Bồi dưỡng HSG Toán 9: Bài tập nâng cao chuyên đề 1

1. Định lý cosin

Định lí: Trong một tam giác bất kì, bình phương một cạnh bằng tổng các bình phương của hai cạnh còn lại trừ đi hai lần tích của hai cạnh đó nhân với cosin của góc xen giữa chúng.

Ta có các hệ thức sau:

{a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.{\mathop{\rm cosA}\nolimits} (1)
{b^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac{\mathop{\rm cosB}\nolimits} (1)
{c^2} = {a^2} + {b^2} - 2bc\cos C(3)

\cos A = \frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc} \cos B = \frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}

\cos C = \frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}

Áp dụng: Tính độ dài đường trung tuyến của tam giác:

Cho tam giác ABC có các cạnh BC = a, CA = bAB = c. Gọi m_a,m_bm_c là độ dài các đường trung tuyến lần lượt vẽ từ các đỉnh A, B, C của tam giác. Ta có

{m_{a}}^{2} = \frac{2.(b^{2}+c^{2})-a^{2}}{4}

{m_{b}}^{2} = \frac{2.(a^{2}+c^{2})-b^{2}}{4}

{m_{c}}^{2} = \frac{2.(a^{2}+b^{2})-c^{2}}{4}

Bồi dưỡng HSG Toán 9: Bài tập nâng cao chuyên đề 1

2. Định lí sin

Định lí: Trong tam giác ABC bất kỳ, tỉ số giữa một cạnh và sin của góc đối diện với cạnh đó bằng đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác, nghĩa là

\frac{a}{sin A}= \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin C} = 2R

với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

Công thức tính diện tích tam giác:

Ta kí hiệu ha, hb và hc là các đường cao của tam giác ABC lần lượt vẽ từ các đình A, B, CS là diện tích tam giác đó.

Diện tích S của tam giác ABC được tính theo một trong các công thức sau

S = \frac{1}{2} ab \sin C= \frac{1}{2} bc \sin A = \frac{1}{2}ca \sin B\ (1)

S = \frac{abc}{4R}\ (2)

S = pr\ (3)S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}\ (công\ thức\ Hê - rông)\ (4)

3. Giải tam giác và ứng dụng vào việc đo đạc

Giải tam giác: Giải tam giác là tìm một số yếu tố của tam giác khi đã biết các yếu tố khác của tam giác đó.

Muốn giải tam giác ta cần tìm mối liên hệ giữa các yếu tố đã cho với các yếu tố chưa biết của tam giác thông qua các hệ thức đã được nêu trong định lí cosin, định lí sin và các công thức tính diện tích tam giác.

Các bài toán về giải tam giác: Có 3 bài toán cơ bản về giải tam giác:

a) Giải tam giác khi biết một cạnh và hai góc.

Đối với bài toán này ta sử dụng định lí sin để tính cạnh còn lại

b) Giải tam giác khi biết hai cạnh và góc xen giữa

Đối với bài toán này ta sử dụng định lí cosin để tính cạnh thứ ba

c) Giải tam giác khi biết ba cạnh

Đối với bài toán này ta sử dụng định lí cosin để tính góc

\cos A = \frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}

\cos B = \frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}

cos C = \frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}

Chú ý:

1. Cần lưu ý là một tam giác giải được khi ta biết 3 yếu tố của nó, trong đó phải có ít nhất một yếu tố độ dài (tức là yếu tố góc không được quá 2)

2. Việc giải tam giác được sử dụng vào các bài toán thực tế, nhất là các bài toán đo đạc.

Bồi dưỡng HSG Toán 9: Bài tập nâng cao chuyên đề 1 được VnDoc đã chia sẻ trên đây. Nội dung gồm lý thuyết và các bài tập nâng cao theo chuyên đề giúp học sinh chuẩn bị tốt cho kì thi HSG lớp 9 sắp tới. Chúc các bạn học tốt, mời các bạn tham khảo

Ngoài Bồi dưỡng HSG Toán 9: Bài tập nâng cao chuyên đề 1. Mời các bạn học sinh còn có thể tham khảo các đề thi học kì 1 lớp 9, đề thi học kì 2 lớp 9 các môn Toán, Văn, Anh, Lý, Địa, Sinh mà chúng tôi đã sưu tầm và chọn lọc. Với đề Thi vào lớp 10 năm 2021 này giúp các bạn rèn luyện thêm kỹ năng giải đề và làm bài tốt hơn. Chúc các bạn ôn thi tốt

Đánh giá bài viết
1 142
0 Bình luận
Sắp xếp theo
Thi học sinh giỏi lớp 9 Xem thêm