VnDoc.com

Bồi dưỡng HSG Toán 9: Bài tập nâng cao chuyên đề 1

Bài tập nâng cao Toán lớp 9

VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

Toán lớp 9: CHỦ ĐỀ 1: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

VUÔNG, TỶ SỐ LƯỢNG GIÁC GÓC NHỌN

Câu 1. Cho

M

là một điểm bất kỳ thuộc miền trong của hình chữ nhật

ABCD

. Chứng minh rằng

2 2 2 2

MA MC MB MD+ = +

.

Câu 2. Cho tứ giác

ABCD

có

µ

0

90D C+ =

. Chứng minh rằng

2 2 2 2

AB CD AC BD+ = +

.

Câu 3. Cho tam giác

ABC

vuông tại

A

, đường cao

A H

. Lấy

D

thuộc

cạnh

A C

, điểm

E

thuộc tia đối của tia

HA

sao cho

1

3

AD HE

AC HA

= =

.

Chứng minh rằng

·

0

90BED =

.

Câu 4. Cho hình vuông

ABCD

. Qua

A

vẽ một cát tuyến bất kỳ cắt các

canh

BC

và

CD

(hoặc đường thẳng chứa các cạnh đó) tại các điểm

E

và

F

.Chứng minh rằng:

2 2 2

1 1 1

AE AF AD

+ =

Câu 5. Cho hình thoi

ABCD

với

µ

0

120A =

. Tia

Ax

tạo với tia

AB

góc

·

BAx

bằng

0

15

và cắt cạnh

BC

tại

M

, cắt đường thẳng

CD

tại

N

.

Chứng minh rằng:

2 2 2

1 1 4

3AM AN AB

+ =

.

Câu 6. Cho tam giác cân

ABC

,

µ

0

20 , , ,A AB AC AC b BC a= = = =

.

Chứng minh rằng:

3 3 2

3a b ab+ =

.

Câu 7. Cho tam giác

ABC

có ba góc nhọn,

, ,BC a AC b AB c= = =

.

Chứng minh rằng:

sin sin sin

a b c

A B C

= =

.

VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

Câu 8. Cho tam giác

ABC

có

, ,BC a AC b AB c= = =

. Chứng minh

rằng:

sin

2

A a

b c

£

+

.

Câu 9. Cho góc vuông

xOy

và điểm

A

cố định thuộc tia

Oy

, điểm

B OxÎ

sao cho

OA OB=

Điểm

M

chạy trên tia

Bx

. Đường vuông góc

với

OB

tại

B

cắt

AM

ở

I

. Chứng minh tổng

2 2

1 1

AI AM

+

không đổi.

Câu 10. Cho hình thang vuông

ABCD

có

90 , 9 , 16 , 25

o

A D AB cm CD cm BC cm= = = = =

. Điểm

E

thuộc cạnh

BC

sao cho

BE A B=

a) Chứng minh:

·

0

90AED =

b) Tính

,AE DE

Xem tiếp tài liệu tại: https://vndoc.com/tai-lieu-hoc-tap-lop-9

Bồi dưỡng HSG Toán 9: Bài tập nâng cao chuyên đề 1

Bồi dưỡng HSG Toán 9: Bài tập nâng cao chuyên đề 1 được VnDoc sưu tầm và đăng tải. Gồm lý thuyết và bài tập nâng cao giúp các bạn học sinh có thêm tài liệu ôn tập, rèn luyện chuẩn bị tôt cho kỳ thi sắp tới. Mời các bạn tham khảo

Bồi dưỡng HSG Toán 9 chuyên đề 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Lý thuyết các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác

Nhắc lại hệ thức lượng trong tam giác vuông.

Cho tam giác $ABC$ vuông góc tại đỉnh $A (\widehat{A} = 90^0)$ $A (\widehat{A} = 90^0)$, ta có:

$1. {b^2} = ab$ $1. {b^2} = ab';{c^2} = a.c'$

2. Định lý Pitago: ${a^2} = {b^2} + {c^2}$ ${a^2} = {b^2} + {c^2}$

$3. a.h = b.c$

$4. h^2= b’.c’$

$5. \frac{1}{h^{2}} = \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}}$ $5. \frac{1}{h^{2}} = \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}}$

Bồi dưỡng HSG Toán 9: Bài tập nâng cao chuyên đề 1

1. Định lý cosin

Định lí: Trong một tam giác bất kì, bình phương một cạnh bằng tổng các bình phương của hai cạnh còn lại trừ đi hai lần tích của hai cạnh đó nhân với $cosin$ của góc xen giữa chúng.

Ta có các hệ thức sau:

${a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.{\mathop{\rm cosA}\nolimits} (1)$ ${a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.{\mathop{\rm cosA}\nolimits} (1)$
${b^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac{\mathop{\rm cosB}\nolimits} (1)$ ${b^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac{\mathop{\rm cosB}\nolimits} (1)$
${c^2} = {a^2} + {b^2} - 2bc\cos C(3)$ ${c^2} = {a^2} + {b^2} - 2bc\cos C(3)$

$\cos A = \frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc} \cos B = \frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}$ $\cos A = \frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc} \cos B = \frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}$

$\cos C = \frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}$ $\cos C = \frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}$

Áp dụng: Tính độ dài đường trung tuyến của tam giác:

Cho tam giác $ABC$ có các cạnh $BC = a, CA = b$ và $AB = c$. Gọi $m_a,m_b$ và $m_c$ là độ dài các đường trung tuyến lần lượt vẽ từ các đỉnh $A, B, C$ của tam giác. Ta có

${m_{a}}^{2} = \frac{2.(b^{2}+c^{2})-a^{2}}{4}$ ${m_{a}}^{2} = \frac{2.(b^{2}+c^{2})-a^{2}}{4}$

${m_{b}}^{2} = \frac{2.(a^{2}+c^{2})-b^{2}}{4}$ ${m_{b}}^{2} = \frac{2.(a^{2}+c^{2})-b^{2}}{4}$

${m_{c}}^{2} = \frac{2.(a^{2}+b^{2})-c^{2}}{4}$ ${m_{c}}^{2} = \frac{2.(a^{2}+b^{2})-c^{2}}{4}$

Bồi dưỡng HSG Toán 9: Bài tập nâng cao chuyên đề 1

2. Định lí sin

Định lí: Trong tam giác $ABC$ bất kỳ, tỉ số giữa một cạnh và sin của góc đối diện với cạnh đó bằng đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác, nghĩa là

$\frac{a}{sin A}= \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin C} = 2R$ $\frac{a}{sin A}= \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin C} = 2R$

với $R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

Công thức tính diện tích tam giác:

Ta kí hiệu h_a, h_b và h_clà các đường cao của tam giác $ABC$ lần lượt vẽ từ các đình $A, B, C$ và $S$ là diện tích tam giác đó.

Diện tích $S$ của tam giác $ABC$ được tính theo một trong các công thức sau

$S = \frac{1}{2} ab \sin C= \frac{1}{2} bc \sin A = \frac{1}{2}ca \sin B\ (1)$ $S = \frac{1}{2} ab \sin C= \frac{1}{2} bc \sin A = \frac{1}{2}ca \sin B\ (1)$

$S = \frac{abc}{4R}\ (2)$ $S = \frac{abc}{4R}\ (2)$

$S = pr\ (3)$ $S = pr\ (3)$ $S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}\ (công\ thức\ Hê - rông)\ (4)$ $S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}\ (công\ thức\ Hê - rông)\ (4)$

3. Giải tam giác và ứng dụng vào việc đo đạc

Giải tam giác: Giải tam giác là tìm một số yếu tố của tam giác khi đã biết các yếu tố khác của tam giác đó.

Muốn giải tam giác ta cần tìm mối liên hệ giữa các yếu tố đã cho với các yếu tố chưa biết của tam giác thông qua các hệ thức đã được nêu trong định lí cosin, định lí sin và các công thức tính diện tích tam giác.

Các bài toán về giải tam giác: Có 3 bài toán cơ bản về giải tam giác:

a) Giải tam giác khi biết một cạnh và hai góc.

Đối với bài toán này ta sử dụng định lí sin để tính cạnh còn lại

b) Giải tam giác khi biết hai cạnh và góc xen giữa

Đối với bài toán này ta sử dụng định lí cosin để tính cạnh thứ ba

c) Giải tam giác khi biết ba cạnh

Đối với bài toán này ta sử dụng định lí cosin để tính góc

$\cos A = \frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}$ $\cos A = \frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}$

$\cos B = \frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}$ $\cos B = \frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}$

$cos C = \frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}$ $cos C = \frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}$

Chú ý:

1. Cần lưu ý là một tam giác giải được khi ta biết 3 yếu tố của nó, trong đó phải có ít nhất một yếu tố độ dài (tức là yếu tố góc không được quá 2)

2. Việc giải tam giác được sử dụng vào các bài toán thực tế, nhất là các bài toán đo đạc.

Bồi dưỡng HSG Toán 9: Bài tập nâng cao chuyên đề 1 được VnDoc đã chia sẻ trên đây. Nội dung gồm lý thuyết và các bài tập nâng cao theo chuyên đề giúp học sinh chuẩn bị tốt cho kì thi HSG lớp 9 sắp tới. Chúc các bạn học tốt, mời các bạn tham khảo

Ngoài Bồi dưỡng HSG Toán 9: Bài tập nâng cao chuyên đề 1. Mời các bạn học sinh còn có thể tham khảo các đề thi học kì 1 lớp 9, đề thi học kì 2 lớp 9 các môn Toán, Văn, Anh, Lý, Địa, Sinh mà chúng tôi đã sưu tầm và chọn lọc. Với đề Thi vào lớp 10 năm 2024 này giúp các bạn rèn luyện thêm kỹ năng giải đề và làm bài tốt hơn. Chúc các bạn ôn thi tốt