Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Bồi dưỡng HSG Toán 9 chuyên đề 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Bồi dưỡng HSG lớp 9 môn Toán

Tải về

Lớp: Lớp 9

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Đề thi HSG

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

CHƯƠNG 1- HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

Toán lớp 9

Hệ thức về cạnh và đường cao

KIẾN THỨC CƠ BẢN

Bồi dưỡng

Khi giải các bài toán liên quan đến cạnh và đường cao trong tam giác vuông,

ngoài việc nắm vững các kiến thức về định lý Talet, về các trường hợp đồng

dạng của tam giác, cần phải nắm vững các kiến thức sau:

Tam giác

ABC

vuông tại

, đường cao

, ta có:

2 2 2

a b c= +

2 2

. '; . 'b ab c a c= =

'. 'h b c=

. .a h bc=

2 2 2

1 1 1

h b c

= +

'b b

Chú ý: Diện tích tam giác vuông:

S ab=

Ví dụ 1. Cho tam giác

ABC

vuông tại

, đường cao

. Biết

: 3 : 4AB AC =

và

21AB AC cm+ =

a) Tính các cạnh của tam giác

ABC

b) Tính độ dài các đoạn

, ,AH BH CH

VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

Giải:

a). Theo giả thiết:

: 3 : 4AB AC =

suy ra

3 4 3 4

AB AC AB AC+

= = =

. Do đó

3.3 9AB = =

( )

;

( )

3.4 12AC cm= =

Tam giác

ABC

vuông tại

, theo định lý Pythagore ta có:

2 2 2 2 2

9 12 225BC AB AC= + = + =

, suy ra

15BC cm=

b) Tam giác

ABC

vuông tại

, ta có

. .AH BC AB AC=

, suy ra

( )

. 9.12

7,2

AB AC

AH cm

= = =

.AH BH HC=

. Đặt

( )

0 9BH x x= < <

thì

15HC x= -

, ta có:

( ) ( ) ( ) ( )

7,2 15 15 51,84 0 5,4 9,6 5,4 0x x x x x x x= - Û - + = Û - = - =

( )( )

5,4 9,6 0 5,4x x xÛ - - = Û =

hoặc

9,6x =

(loại)

Vậy

5,4BH cm=

. Từ đó

( )

9,6HC BC BH cm= - =

Chú ý: Có thể tính

như sau:

.AB BH BC=

suy ra

( )

2 2

5,4

BH cm

= = =

VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

Ví dụ 2: Cho tam giác cân

ABC

có đáy

2BC a=

, cạnh bên bằng

( )

b b a>

a) Tính diện tích tam giác

ABC

b) Dựng

BK AC^

. Tính tỷ số

Giải:

a). Gọi

là trung điểm của

. Theo định lý Pitago ta có:

2 2 2 2 2

AH AC HC b a= - = -

Suy ra

2 2

1 1

2 2

ABC

S BC AH a b a= = -

2 2

AH b aÞ = -

b). Ta có

1 1

. .

2 2

ABC

BC AH BK AC S= =

Suy ra

2 2

. 2BC AH a

BK b a

AC b

= = -

. Áp dụng định lý Pitago trong tam

giác vuông

AKB

ta có:

( )

2 2

2 2 2 2 2 2

2 2

b a

AK AB BK b b a

b b

= - = - - =

. Suy ra

2 2

2b a

do đó

2 2

2b a

Bồi dưỡng HSG Toán 9 chuyên đề 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông được VnDoc sưu tầm và đăng tải. Hy vọng với tài liệu này các bạn học sinh sẽ có thêm nhiều tài liệu ôn tập, củng cố thêm kiến thức, chuẩn bị tốt cho kì thi HSG và ôn thi vào lớp 10 sắp tới. Chúc các bạn học tốt, mời các bạn tham khảo.

Ngoài ra chúng tôi xin giới thiệu đến bạn đọc một số tài liệu hay và đặc sắc khác trong chương trình lớp 9:

Bồi dưỡng HSG Toán 9 chuyên đề 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Chủ đề 1: Hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông
Chủ đề 2: Tỉ số lượng giác của góc nhọn
Chủ đề 3: Hệ thức về góc và cạnh trong tam giác vuông

Chủ đề 1: Hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

Bồi dưỡng HSG Toán 9 chuyên đề 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Cho ΔABC, góc A bằng 90⁰, AH ⊥ BC, AB = c, AC = b, BC = a, AH = h thì:

+ BH = c' được gọi là hình chiếu của AB xuống BC

+ CH = b' được gọi là hình chiếu của AC xuống BC

Khi đó, ta có:

1) AB² = BH.BC hay c² = a.c'

AC² = CH.BC hay b² = a.b'

2) AH² = CH.BH hay h² = b'.c'

3) AB.AC = AH.BC hay b.c = a.h

5) AB² + AC² = BC² hay b² + c² = a² (Định lý Pytago)

Ví dụ. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ , đường cao $AH$ . Biết $AB:AC = 3:4$ và $AB + AC = 21cm$ .

a) Tính các cạnh của tam giác $ABC$ .

b) Tính độ dài các đoạn $AH,BH,CH$ .

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

a). Theo giả thiết: $AB:AC = 3:4$ ,

suy ra $\frac{AB}{3} = \frac{AC}{4} = \frac{AB + AC}{3 + 4} = 3$ .

Do đó $AB = 3.3 = 9(cm)$ ; $AC = 3.4 = 12(cm)$ .

Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ , theo định lý Pythagore ta có:

$BC^{2} = AB^{2} + AC^{2} = 9^{2} + 12^{2} = 225$ , suy ra $BC = 15cm$ .

b) Tam giác ABC vuông tại A , ta có AH.BC = AB.AC, suy ra $AH = \frac{AB.AC}{BC} = \frac{9.12}{15} = 7,2(cm)$ .

AH² = BH.HC.

Đặt BH = c; (0 < x < 9) thì HC = 15 - x, ta có:

(7,2)² = x.(15 - x) ⇔ x² - 15x + 51,81 = 0

⇔ x. (x - 5,4) = 9,6.(x - 5,4)

⇔ (x - 5,4)(x - 9,6) = 0 ⇔ x = 5,4 hoặc x = 9,6 (loại)

Vậy BH = 5,4 (cm). Từ đó HC = BC - BH = 9,6 (cm).

Chú ý: Có thể tính BH như sau:

AB2 = BH.BC suy ra $BH = \frac{AB^{2}}{BC} = \frac{9^{2}}{15} = 5,4(cm)$ .

Chủ đề 2: Tỉ số lượng giác của góc nhọn

1. Định nghĩa

2. Định lí

Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng cosin góc kia, tang góc này bằng cotang góc kia.

3. Một số hệ thức cơ bản

4. So sánh các tỉ số lượng giác

a) Cho α,β là hai góc nhọn. Nếu α < β thì

* sinα < sinβ; tanα < tanβ

*cosα > cosβ; cotα > cotβ

b) sinα < tanα; cosα < cotα

Ví dụ: Cho tam giác ABC với các đỉnh A, B, C và các cạnh đối diện với các đỉnh tương ứng là: a, b, c.

a. Tính diện tích tam giác ABC theo a.

b. Chứng minh: $a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq 4\sqrt{3}S$

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

a) Ta giả sử góc A là góc lớn nhất của tam giác ABC => B, C là các góc nhọn.

Suy ra chân đường cao hạ từ A lên BC là điểm H thuộc cạnh BC.

Ta có: BC = BH + HC. Áp dụng định lý

Pi ta go cho các tam giác vuông AHB; AHC ta có:

AB² = AH² + HB²; AC² = AH² + HC²

Trừ hai đẳng thức trên ta có:

c² - b² = HB² - HC²

= (HB + HC)(HB - HC) = a.(HB - HC)

$\Rightarrow HB - HC = \frac{c^{2} - b^{2}}{a}$ ta cũng có: $HB + HC = a \Rightarrow BH = \frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2a}$ .

Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông AHB

$\Rightarrow AH^{2} = c^{2} - \left(\frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2a} \right)^{2}$

$= \left( c - \frac{a^{2} +c^{2} - b^{2}}{2a} \right)\left( c + \frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2a}\right)$

$= \left\lbrack \frac{(a + c)^{2} - b^{2}}{2a}\right\rbrack.\left\lbrack \frac{b^{2} - (a - c)^{2}}{2a} \right\rbrack$

$= \frac{(a + b + c)(a + c - b)(b + a - c)(b + c -a)}{4a^{2}}$

Đặt 2p = a+b + c thì $AH^{2} = \frac{16p(p - a)(p - b)(p - c)}{4a^{2}}$

$\Rightarrow AH = 2\frac{\sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}}{a}$ .

Từ đó tính được $S = \frac{1}{2}BC.AH = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$

b). Từ câu a) ta có: $S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$ .

Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có:

$(p - a)(p - b)(p - c) \leq \left( \frac{p - a + p - b + p - c}{3} \right)^{3} = \frac{p^{3}}{27}$ .

Suy ra $S \leq \sqrt{p.\frac{p^{3}}{27}} = \frac{p^{2}}{3\sqrt{3}}$ . Hay $S \leq \frac{(a + b + c)^{2}}{12\sqrt{3}}$ .

Mặt khác ta dễ chứng minh được: $(a + b + c)^{2} \leq 3\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} \right)$

Suy ra $S \leq \frac{3\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} \right)}{12\sqrt{3}} \Leftrightarrow a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq 4\sqrt{3}S$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều.

Chủ đề 3: Hệ thức về góc và cạnh trong tam giác vuông

1. Các hệ thức

Trong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng:

a) Cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với cos góc kề

b) Cạnh góc vuông kia nhân với tan góc đối hoặc cot góc kề

Bồi dưỡng HSG Toán 9 chuyên đề 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông

b = a.sinB = a.cosC

c = a.sinC = a.cosB

b = c.tanB = c.cotC

c = b.tanB = b.cotC

Ví dụ. Biết $\sin\alpha = \frac{5}{13}$ . Tính $\cos\alpha,tan\alpha$ và $\cot\alpha$ .

Hướng dẫn giải

Cách 1. Xét tam giác ABC vuông tại A.

Đặt $\widehat{B} = \alpha$ . Ta có: $\sin\alpha = \frac{AC}{BC} = \frac{5}{13}$

suy ra $\frac{AC}{5} = \frac{BC}{13} = k$ , do đó: AC = 5k; BC = 13k .

Tam giác ABC vuông tại A nên:

AB² = BC² - AC² = (13k)² - (5k)² = 144k², suy ra AB = 12k.

Vậy $\cos\alpha = \frac{AB}{BC} = \frac{12k}{13k} = \frac{12}{13}$ ; $\tan\alpha = \frac{AC}{AB} = \frac{5k}{12k} =\frac{5}{12};$ $cot\alpha = \frac{AB}{AC} = \frac{12k}{5k} =\frac{12}{5}$

Cách 2. Ta có $\sin\alpha = \frac{5}{13}$ suy ra $sin^{2}\alpha = \frac{25}{169}$ , mà sin²α + cos²α = 1

Do đó $cos^{2}\alpha = 1 - sin^{2}\alpha = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}$ , suy ra $\cos\alpha = \frac{12}{13}$ .

$\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{5}{13}:\frac{12}{13} = \frac{5}{13}.\frac{13}{12} = \frac{5}{12}$ ; $\cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{12}{13}:\frac{5}{13} = \frac{12}{13}.\frac{13}{5} = \frac{12}{5}$ .

Ở cách giải thứ nhất ta biểu thị độ dài các cạnh của tam giác ABC theo đại lượng k rồi sử dụng định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn để tính cosα; tan α; cot α. Ở cách giải thứ hai, ta sử dụng giả thiết $\sin\alpha = \frac{5}{13}$ để tính sin²α rồi tính cosα từ sin²α + cos²α = 1 . Sau đó ta tính tanα và cotα qua sinα và cosα.

2. Giải tam giác vuông

Là tìm tất cả các yếu tố còn lại của một tam giác vuông khi biết trước hai yếu tố (trong đó có ít nhất một yếu tố về cạnh và không kể góc vuông)

Ví dụ. Cho tam giác ABC có AB = 16; AC = 14 và $\widehat{B} = 60^{0}$ .

a) Tính độ dài cạnh BC.

b) Tính diện tích tam giác ABC.

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

a) Kẻ đường cao AH.

Xét tam giác vuông ABH, ta có:

$BH = AB.cosB = AB.cos60^{0} = 16.\frac{1}{2} = 8$

$AH = AB.sinB = AB.sin60^{0} = 16.\frac{\sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{3}$ .

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác vuông AHC ta có:

$HC^{2} = AC^{2} - AH^{2} = 14^{2} - \left( 8\sqrt{3} \right)^{2} = 196 - 192 = 4$ .

Suy ra HC = 2.

Vậy BC = CH + HB = 2 + 8 = 10.

b) Cách 1. $S_{ABC} = \frac{1}{2}BC.AH = \frac{1}{2}.10.8\sqrt{3} = 40\sqrt{3}$ (đvdt)

Cách 2. $S_{ABC} = \frac{1}{2}BC.BA.sinB = \frac{1}{2}.10.16.\frac{\sqrt{3}}{2} = 40\sqrt{3}$ (đvdt)

----------------------------------------------------------------------

❓ FAQ – Hệ thức lượng trong tam giác vuông HSG Toán 9

1. Hệ thức lượng trong tam giác vuông gồm những kiến thức nào?

Các nội dung quan trọng gồm:

Định lý Pitago
Hệ thức giữa cạnh và đường cao
Tỉ số lượng giác của góc nhọn
Giải tam giác vuông

2. Định lý Pitago được áp dụng như thế nào?

3. Công thức tính tang của góc nhọn là gì?

4. Vì sao chuyên đề hệ thức lượng quan trọng với học sinh giỏi?

Đây là chuyên đề: 👉 Có nhiều bài toán vận dụng và thường xuất hiện trong đề thi HSG, thi chuyên.

5. Những dạng bài nâng cao thường gặp là gì?

Chứng minh hệ thức hình học
Tính độ dài đoạn thẳng phức tạp
Bài toán cực trị hình học
Ứng dụng thực tế liên quan khoảng cách và chiều cao

6. Sai lầm phổ biến khi giải bài hệ thức lượng là gì?

Nhầm cạnh đối và cạnh kề
Áp dụng sai công thức lượng giác
Thiếu bước lập luận hình học

7. Có mẹo nào học tốt chuyên đề này không?

Vẽ hình thật chính xác
Ghi nhớ sơ đồ công thức
Luyện bài tập theo từng dạng từ cơ bản đến nâng cao

8. Làm sao giải nhanh bài toán hệ thức lượng nâng cao?

Phân tích kỹ giả thiết hình học
Kết hợp nhiều định lý trong cùng bài toán
Nhận diện tam giác đồng dạng nhanh

9. Dạng toán này có xuất hiện trong đề thi vào lớp 10 chuyên không?

Có. Đây là dạng:

Quan trọng trong đề chuyên Toán
Thường dùng để phân loại học sinh khá giỏi

-------------------------------------------------------------------

Mời các bạn làm bài tập nâng cao: Bồi dưỡng HSG Toán 9: Bài tập nâng cao chuyên đề 1

Bồi dưỡng HSG Toán 9 chuyên đề 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông được VnDoc đã chia sẻ trên đây. Khi giải các bài toán liên quan đến cạnh và đường cao trong tam giác vuông, ngoài việc nắm vững các kiến thức về định lý Talet chúng ta cần nắm thêm về các trường hợp đồng dạng của tam giác từ đó chuẩn bị tốt cho kì thi HSG lớp 9 sắp tới. Chúc các bạn học tốt, mời các bạn tham khảo

Tải về

Chọn file muốn tải về:

Bồi dưỡng HSG Toán 9 chuyên đề 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông

1,1 MB

Tải file định dạng .DOC
1,1 MB

Chia sẻ bởi:
Bơ

4.460

Bài trước

Bài sau

Có thể bạn quan tâm

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Đấu Trường Tri Thức

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Bồi dưỡng HSG Toán 9 chuyên đề 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Bồi dưỡng HSG Toán 9 chuyên đề 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Chủ đề 1: Hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

Chủ đề 2: Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Chủ đề 3: Hệ thức về góc và cạnh trong tam giác vuông

❓ FAQ – Hệ thức lượng trong tam giác vuông HSG Toán 9

1. Hệ thức lượng trong tam giác vuông gồm những kiến thức nào?

2. Định lý Pitago được áp dụng như thế nào?

3. Công thức tính tang của góc nhọn là gì?

4. Vì sao chuyên đề hệ thức lượng quan trọng với học sinh giỏi?

5. Những dạng bài nâng cao thường gặp là gì?

6. Sai lầm phổ biến khi giải bài hệ thức lượng là gì?

7. Có mẹo nào học tốt chuyên đề này không?

8. Làm sao giải nhanh bài toán hệ thức lượng nâng cao?

9. Dạng toán này có xuất hiện trong đề thi vào lớp 10 chuyên không?

Bồi dưỡng HSG Toán 9 chuyên đề 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Tải file định dạng .DOC

Có thể bạn quan tâm

Bồi dưỡng HSG Toán 9 chuyên đề 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Thông tin thanh toán nhanh