Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 9 Thi học sinh giỏi lớp 9 Toán 9

Bồi dưỡng HSG Toán 9 chuyên đề 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Bồi dưỡng HSG lớp 9 môn Toán
Lớp: Lớp 9
Môn: Toán
Dạng tài liệu: Đề thi HSG
Loại File: Word + PDF
Phân loại: Tài liệu Tính phí
VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
CHƯƠNG 1- HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
Toán lớp 9
Hệ thức về cạnh và đường cao
KIẾN THỨC CƠ BẢN
Bồi dưỡng
Khi giải các bài toán liên quan đến cạnh và đường cao trong tam giác vuông,
ngoài việc nắm vững các kiến thức về định lý Talet, về các trường hợp đồng
dạng của tam giác, cần phải nắm vững các kiến thức sau:
Tam giác
ABC
vuông tại
A
, đường cao
AH
, ta có:
1)
2 2 2
a b c= +
.
2)
2 2
. '; . 'b ab c a c= =
3)
2
'. 'h b c=
4)
. .a h bc=
.
5)
2 2 2
1 1 1
h b c
= +
.
6)
.
Chú ý: Diện tích tam giác vuông:
1
2
S ab=
Ví dụ 1. Cho tam giác
ABC
vuông tại
A
, đường cao
AH
. Biết
: 3 : 4AB AC =
và
21AB AC cm+ =
.
a) Tính các cạnh của tam giác
ABC
.
b) Tính độ dài các đoạn
, ,AH BH CH
.
VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
Giải:
a). Theo giả thiết:
: 3 : 4AB AC =
,
suy ra
3
3 4 3 4
AB AC AB AC+
= = =
+
. Do đó
3.3 9AB = =
( )
cm
;
( )
3.4 12AC cm= =
.
Tam giác
ABC
vuông tại
A
, theo định lý Pythagore ta có:
2 2 2 2 2
9 12 225BC AB AC= + = + =
, suy ra
15BC cm=
.
b) Tam giác
ABC
vuông tại
A
, ta có
. .AH BC AB AC=
, suy ra
( )
. 9.12
7,2
15
AB AC
AH cm
BC
= = =
.
2
.AH BH HC=
. Đặt
( )
0 9BH x x= < <
thì
15HC x= -
, ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
2
2
7,2 15 15 51,84 0 5,4 9,6 5,4 0x x x x x x x= - Û - + = Û - = - =
( )( )
5,4 9,6 0 5,4x x xÛ - - = Û =
hoặc
9,6x =
(loại)
Vậy
5,4BH cm=
. Từ đó
( )
9,6HC BC BH cm= - =
.
Chú ý: Có thể tính
BH
như sau:
2
.AB BH BC=
suy ra
( )
2 2
9
5,4
15
AB
BH cm
BC
= = =
.
VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
Ví dụ 2: Cho tam giác cân
ABC
có đáy
2BC a=
, cạnh bên bằng
( )
b b a>
.
a) Tính diện tích tam giác
ABC
b) Dựng
BK AC^
. Tính tỷ số
AK
AC
.
Giải:
a). Gọi
H
là trung điểm của
BC
. Theo định lý Pitago ta có:
2 2 2 2 2
AH AC HC b a= - = -
Suy ra
2 2
1 1
.
2 2
ABC
S BC AH a b a= = -
2 2
AH b aÞ = -
b). Ta có
1 1
. .
2 2
ABC
BC AH BK AC S= =
Suy ra
2 2
. 2BC AH a
BK b a
AC b
= = -
. Áp dụng định lý Pitago trong tam
giác vuông
AKB
ta có:
( )
( )
2
2 2
2
2 2 2 2 2 2
2 2
2
4
b a
a
AK AB BK b b a
b b
-
= - = - - =
. Suy ra
2 2
2b a
AK
b
-
=
do đó
2 2
2
2b a
AK
AC
b
-
=
.

Bồi dưỡng HSG Toán 9 chuyên đề 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông được VnDoc sưu tầm và đăng tải. Hy vọng với tài liệu này các bạn học sinh sẽ có thêm nhiều tài liệu ôn tập, củng cố thêm kiến thức, chuẩn bị tốt cho kì thi HSG và ôn thi vào lớp 10 sắp tới. Chúc các bạn học tốt, mời các bạn tham khảo.

Ngoài ra chúng tôi xin giới thiệu đến bạn đọc một số tài liệu hay và đặc sắc khác trong chương trình lớp 9:

Bồi dưỡng HSG Toán 9 chuyên đề 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Chủ đề 1: Hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

Bồi dưỡng HSG Toán 9 chuyên đề 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Cho ΔABC, góc A bằng 900, AH ⊥ BC, AB = c, AC = b, BC = a, AH = h thì:

+ BH = c' được gọi là hình chiếu của AB xuống BC

+ CH = b' được gọi là hình chiếu của AC xuống BC

Khi đó, ta có:

1) AB2 = BH.BC hay c2 = a.c'

AC2 = CH.BC hay b2 = a.b'

2) AH2 = CH.BH hay h2 = b'.c'

3) AB.AC = AH.BC hay b.c = a.h

Bồi dưỡng HSG Toán 9 chuyên đề 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông

5) AB2 + AC2 = BC2 hay b2 + c2 = a2 (Định lý Pytago)

Ví dụ. Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH . Biết AB:AC = 3:4 và AB + AC = 21cm .

a) Tính các cạnh của tam giác ABC .

b) Tính độ dài các đoạn AH,BH,CH .

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

a). Theo giả thiết: AB:AC = 3:4 ,

suy ra \frac{AB}{3} = \frac{AC}{4} = \frac{AB + AC}{3 + 4} = 3 .

Do đó AB = 3.3 = 9(cm) ; AC = 3.4 = 12(cm) .

Tam giác ABC vuông tại A , theo định lý Pythagore ta có:

BC^{2} = AB^{2} + AC^{2} = 9^{2} + 12^{2} = 225 , suy ra BC = 15cm .

b) Tam giác ABC vuông tại A , ta có AH.BC = AB.AC , suy ra AH = \frac{AB.AC}{BC} = \frac{9.12}{15} = 7,2(cm) .

AH^{2} = BH.HC .

Đặt BH = x(0 < x < 9) thì HC = 15 - x , ta có:

(7,2)^{2} = x(15 - x) \Leftrightarrow x^{2} - 15x + 51,84 = 0

\Leftrightarrow x(x - 5,4) = 9,6(x - 5,4) = 0

\Leftrightarrow (x - 5,4)(x - 9,6) = 0 \Leftrightarrow x = 5,4 hoặc x = 9,6 (loại)

Vậy BH = 5,4cm . Từ đó HC = BC - BH = 9,6(cm) .

Chú ý: Có thể tính BH như sau:

AB^{2} = BH.BC suy ra BH = \frac{AB^{2}}{BC} = \frac{9^{2}}{15} = 5,4(cm) .

Chủ đề 2: Tỉ số lượng giác của góc nhọn

1. Định nghĩa

Bồi dưỡng HSG Toán 9 chuyên đề 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông Bồi dưỡng HSG Toán 9 chuyên đề 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông

2. Định lí

Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng cosin góc kia, tang góc này bằng cotang góc kia.

3. Một số hệ thức cơ bản

Bồi dưỡng HSG Toán 9 chuyên đề 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông

4. So sánh các tỉ số lượng giác

a) Cho α,β là hai góc nhọn. Nếu α < β thì

* sinα < sinβ; tanα < tanβ

*cosα > cosβ; cotα > cotβ

b) sinα < tanα; cosα < cotα

Ví dụ: Cho tam giác ABC với các đỉnh A,B,C và các cạnh đối diện với các đỉnh tương ứng là: a,b,c .

a. Tính diện tích tam giác ABC theo a

b. Chứng minh: a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq 4\sqrt{3}S

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

a) Ta giả sử góc A là góc lớn nhất của tam giác ABC \Rightarrow B,C là các góc nhọn.

Suy ra chân đường cao hạ từ A lên BC là điểm H thuộc cạnh BC .

Ta có: BC = BH + HC . Áp dụng định lý

Pi ta go cho các tam giác vuông AHB,AHC ta có:

AB^{2} = AH^{2} + HB^{2},AC^{2} = AH^{2} + HC^{2}

Trừ hai đẳng thức trên ta có:

c^{2} - b^{2} = HB^{2} - HC^{2}

= (HB +HC)(HB - HC) = a.(HB - HC)

\Rightarrow HB - HC = \frac{c^{2} - b^{2}}{a} ta cũng có: HB + HC = a \Rightarrow BH = \frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2a} .

Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông AH B

\Rightarrow AH^{2} = c^{2} - \left(\frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2a} \right)^{2}

= \left( c - \frac{a^{2} +c^{2} - b^{2}}{2a} \right)\left( c + \frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2a}\right)

= \left\lbrack \frac{(a + c)^{2} - b^{2}}{2a}\right\rbrack.\left\lbrack \frac{b^{2} - (a - c)^{2}}{2a} \right\rbrack

= \frac{(a + b + c)(a + c - b)(b + a - c)(b + c -a)}{4a^{2}}

Đặt 2p = a + b + c thì AH^{2} = \frac{16p(p - a)(p - b)(p - c)}{4a^{2}}

\Rightarrow AH = 2\frac{\sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}}{a} .

Từ đó tính được S = \frac{1}{2}BC.AH = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}

b). Từ câu a) ta có: S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)} .

Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có:

(p - a)(p - b)(p - c) \leq \left( \frac{p - a + p - b + p - c}{3} \right)^{3} = \frac{p^{3}}{27} .

Suy ra S \leq \sqrt{p.\frac{p^{3}}{27}} = \frac{p^{2}}{3\sqrt{3}} . Hay S \leq \frac{(a + b + c)^{2}}{12\sqrt{3}} .

Mặt khác ta dễ chứng minh được: (a + b + c)^{2} \leq 3\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} \right)

Suy ra S \leq \frac{3\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} \right)}{12\sqrt{3}} \Leftrightarrow a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq 4\sqrt{3}S

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều.

Chủ đề 3: Hệ thức về góc và cạnh trong tam giác vuông

1. Các hệ thức

Trong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng:

a) Cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với cos góc kề

b) Cạnh góc vuông kia nhân với tan góc đối hoặc cot góc kề

 

Bồi dưỡng HSG Toán 9 chuyên đề 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông

b = a.sinB = a.cosC

c = a.sinC = a.cosB

b = c.tanB = c.cotC

c = b.tanB = b.cotC

Ví dụ. Biết \sin\alpha = \frac{5}{13} . Tính \cos\alpha,tan\alpha và \cot\alpha .

Hướng dẫn giải

Cách 1. Xét \Delta ABC vuông tại A .

Đặt \widehat{B} = \alpha . Ta có: \sin\alpha = \frac{AC}{BC} = \frac{5}{13}

suy ra \frac{AC}{5} = \frac{BC}{13} = k , do đó: AC = 5k,BC = 13k .

Tam giác ABC vuông tại A nên:

AB^{2} = BC^{2} - AC^{2} = (13k)^{2} - (5k)^{2} = 144k^{2} , suy ra AB = 12k .

Vậy \cos\alpha = \frac{AB}{BC} = \frac{12k}{13k} = \frac{12}{13} ; \tan\alpha = \frac{AC}{AB} = \frac{5k}{12k} =\frac{5}{12};cot\alpha = \frac{AB}{AC} = \frac{12k}{5k} =\frac{12}{5}

Cách 2. Ta có \sin\alpha = \frac{5}{13} suy ra sin^{2}\alpha = \frac{25}{169} , mà sin^{2}\alpha + cos^{2}\alpha = 1

Do đó cos^{2}\alpha = 1 - sin^{2}\alpha = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169} , suy ra \cos\alpha = \frac{12}{13} .

\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{5}{13}:\frac{12}{13} = \frac{5}{13}.\frac{13}{12} = \frac{5}{12} ; \cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{12}{13}:\frac{5}{13} = \frac{12}{13}.\frac{13}{5} = \frac{12}{5} .

Ở cách giải thứ nhất ta biểu thị độ dài các cạnh của tam giác ABC theo đại lượng k rồi sử dụng định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn để tính \cos\alpha,tan\alpha,cot\alpha . Ở cách giải thứ hai, ta sử dụng giả thiết \sin\alpha = \frac{5}{13} để tính sin^{2}\alpha rồi tính \cos\alpha từ sin^{2}\alpha + cos^{2}\alpha = 1 . Sau đó ta tính \tan\alpha và \cot\alpha qua \sin\alpha và \cos\alpha .

2. Giải tam giác vuông

Là tìm tất cả các yếu tố còn lại của một tam giác vuông khi biết trước hai yếu tố (trong đó có ít nhất một yếu tố về cạnh và không kể góc vuông)

Ví dụ. Cho tam giác ABC có AB = 16,AC = 14 và \widehat{B} = 60^{0}.

a) Tính độ dài cạnh BC.

b) Tính diện tích tam giác ABC.

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

a) Kẻ đường cao AH.

Xét tam giác vuông ABH, ta có:

BH = AB.cosB = AB.cos60^{0} = 16.\frac{1}{2} = 8

AH = AB.sinB = AB.sin60^{0} = 16.\frac{\sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{3}.

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác vuông AHC ta có:

HC^{2} = AC^{2} - AH^{2} = 14^{2} - \left( 8\sqrt{3} \right)^{2} = 196 - 192 = 4.

Suy ra HC = 2.

Vậy BC = CH + HB = 2 + 8 = 10.

b) Cách 1. S_{ABC} = \frac{1}{2}BC.AH = \frac{1}{2}.10.8\sqrt{3} = 40\sqrt{3} (đvdt)

Cách 2. S_{ABC} = \frac{1}{2}BC.BA.sinB = \frac{1}{2}.10.16.\frac{\sqrt{3}}{2} = 40\sqrt{3} (đvdt)

----------------------------------------------------------------------

Mời các bạn làm bài tập nâng cao: Bồi dưỡng HSG Toán 9: Bài tập nâng cao chuyên đề 1

Bồi dưỡng HSG Toán 9 chuyên đề 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông được VnDoc đã chia sẻ trên đây. Khi giải các bài toán liên quan đến cạnh và đường cao trong tam giác vuông, ngoài việc nắm vững các kiến thức về định lý Talet chúng ta cần nắm thêm về các trường hợp đồng dạng của tam giác từ đó chuẩn bị tốt cho kì thi HSG lớp 9 sắp tới. Chúc các bạn học tốt, mời các bạn tham khảo

Chọn file muốn tải về:

Bồi dưỡng HSG Toán 9 chuyên đề 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông

1,1 MB

  • Tải file định dạng .DOC

    1,1 MB
1
4.347 Bài viết đã được lưu
Mục lục

Có thể bạn quan tâm

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi

Tham khảo thêm

🖼️

Toán 9
Xem thêm
🖼️

Gợi ý cho bạn
Xem thêm

Thông tin thanh toán nhanh

Bồi dưỡng HSG Toán 9 chuyên đề 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông

35.000đ

Hỗ trợ Zalo