Giải hệ phương trình đẳng cấp

Bài tập Toán 9: Giải hệ phương trình đẳng cấp là một kiến thức quan trọng được học trong chương trình môn Toán lớp 9 và cũng là phần nội dung không thể thiếu trong các bài thi, bài kiểm tra Toán 9. Đây cũng là nền tảng cho các bài toán từ cơ bản đến nâng cao của Toán lớp 9. Tài liệu sau đây sẽ trình bày đến các bạn chi tiết cách giải và ví dụ minh họa chi tiết để giải hệ phương trình đẳng cấp. Mời các bạn tham khảo.

A. Hệ phương trình đẳng cấp

1. Định nghĩa Hệ phương trình đẳng cấp

- Hệ phương trình đẳng cấp là những hệ chứa những yếu tố đẳng cấp hoặc các phương trình của hệ khi nhân hoặc chia thì tạo ra phương trình đẳng cấp

Ta thường gặp dạng hệ này dưới các dạng như sau:

$\{\begin{array}{c}a{x}^2+bxy+c{y}^2=d\\ e{x}^2+gxy+h{y}^2=k\end{array}$

$\{\begin{array}{c}a{x}^2+bxy+c{y}^2=dx+ey\\ g{x}^2+hxy+k{y}^2=tx+py\end{array}$

$\{\begin{array}{c}a{x}^2+bxy+c{y}^2=d\\ g{x}^3+h{x}^{2}y+kx{y}^2=mx+ny\end{array}$

$...............$

2. Cách giải hệ phương trình đẳng cấp

B. Bài tập giải hệ phương trình đẳng cấp

Hướng dẫn giải

Biến đổi hệ phương trình như sau: $\{\begin{array}{c}{x}^3+y^3=8x+2y\\ x^2+3y^2=6\end{array}$

Nhận thấy rằng nếu nhân chèo hai phương trình cu=ủaa hệ ta được:

$6(x^3+y^3)=(8x+2y)(x^2+3y^2)$ đây là phương trình đẳng cấp bậc 3

Từ đó ta có lời giải như sau:

Vì x = 0 không là nghiệm của hệ phương trình nên ta đặt y = tx. Khi đó hệ phương trình trở thành:

$\{\begin{array}{c}{x}^3-8x=t^3{x}^3+2tx\\ x^2-3=3(t^2{x}^2+1)\end{array}$ $\iff \{\begin{array}{c}{x}^2(1-t^3)=2t+8\\ x^2(1-3t^2)=6\end{array}$

$\Rightarrow \frac{1-t^3}{1-3t^2}=\frac{t+4}{3}$

$\Rightarrow 3(1-t^3)=(t+4)(1-3t^2)$

$\Rightarrow 12t^2-t-1=0\Rightarrow [\begin{array}{c}t={\displaystyle \frac{1}{3}}\\ t=-{\displaystyle \frac{1}{4}}\end{array}$

Với $t=\frac{1}{3}$thay vào hệ phương trình ban đầu ta tìm được $\{\begin{array}{c}x=\pm 3\\ y=\pm 1\end{array}$

Với $t=-\frac{1}{4}$thay vào hệ phương trình ban đầu ta tìm được $\{\begin{array}{c}x=\pm {\displaystyle \frac{4\sqrt{78}}{13}}\\ y=\pm {\displaystyle \frac{\sqrt{78}}{13}}\end{array}$

Vậy hệ phương trình có tập nghiệm (x; y) = (3; 1) = (-3; -1) = $(\frac{4\sqrt{78}}{13};\frac{\sqrt{78}}{13})=(-\frac{4\sqrt{78}}{13};-\frac{\sqrt{78}}{13})$

Hướng dẫn giải

Điều kiện: $x^{2}y+2y\ge 0\Rightarrow y\ge 0$

Từ phương trình thứ nhất ta có:

$xy=-x^2-x-3$

Thay vào phương trình thứ hai ta được:

$(x+1{)}^2+3(y+1)-2x^2-2x-6-2\sqrt{y(x^2+2)}=0$

$\Rightarrow x^2+2-3y+2\sqrt{y(x^2+2)}=0$

Đây là phương trình đẳng cấp đối với $\sqrt{y};\sqrt{x^2+2}$

Đặt $\sqrt{y}=t\sqrt{x^2+2}$ phương trình trở thành $3t^2-2t-1=0\iff [\begin{array}{c}t=1(tm)\\ t=-{\displaystyle \frac{1}{3}}(L)\end{array}$

Với t = 1 ta có y = x² + 2 thay vào phương trình thứ nhất của hệ ta thu được x = -1 => y = 3

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) = (1; -3)

C. Bài tập luyện tập giải hệ đẳng cấp

Bài 1: Giải các hệ phương trình sau:

$\{\begin{array}{c}xy+x^2\sqrt{y}-2=0\\ 2x{y}^2+(x^3+2x-3)y+x^3=3\end{array}$

$\{\begin{array}{c}{x}^2+y^2+{\displaystyle \frac{8xy}{x+y}}=16\\ {\displaystyle \frac{x^2}{8y}}+{\displaystyle \frac{2x}{3}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{x^3}{3y}}+{\displaystyle \frac{x^2}{4}}}-{\displaystyle \frac{y}{2}}\end{array}$

Bài 2: Tìm tập nghiệm của các hệ phương trình:

$\{\begin{array}{c}{x}^2\sqrt{y+1}-2xy-2x=1\\ x^3-3x-3xy=6\end{array}$

$\{\begin{array}{c}\sqrt{x^2+2y+3}+2y-3=0\\ 2(2y^3+x^3)+3y(x+1{)}^2+6x(x+1)+2=0\end{array}$