Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung Toán 9 Có đáp án chi tiết
Bài tập góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung có đáp án
Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung là một trong những kiến thức trọng tâm trong chương trình Toán lớp 9, thường xuất hiện trong các đề kiểm tra, đề thi học kỳ và đề thi vào lớp 10. Tuy nhiên, nhiều học sinh vẫn gặp khó khăn trong việc hiểu bản chất và vận dụng công thức một cách chính xác. Bài viết này sẽ giúp bạn nắm chắc kiến thức lý thuyết, đồng thời cung cấp bài tập có đáp án chi tiết, giúp bạn rèn luyện và chuẩn bị tốt nhất cho các kỳ thi quan trọng.
A. Các kiến thức cần nhớ về Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung
a. Định nghĩa
Cho đường tròn (O); Ax là tia tiếp tuyến, AB là dây. Góc 
\(\widehat{xAB}\) là góc tạo bởi tia tiếp tuyến Ax và dây AB chắn cung \(\widehat{AB}\).
b. Tính chất
- Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây có số đo bằng nửa số đo cung bị chắn.
Ví dụ: \(\widehat{BAx} =
\frac{1}{2}sđ\widehat{AB}\)
- Góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung với góc nội tiếp khi cùng chắn một cung thì bằng nhau.
Ví dụ: \(\widehat{BAx} =
\widehat{AMB}\) - vì cùng chắn cung \(\widehat{AB}\)
Chú ý: Với A thuộc đường tròn, vẽ tia Ax và dây AB của đường tròn. Nếu \(\widehat{BAx} =
\frac{1}{2}sđ\widehat{AB}\) thì Ax là tia tiếp tuyến của đường tròn (Có thể xem đây là 1 phương pháp chứng minh tiếp tuyến)
B. Bài tập Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung
Bài 1: Cho ΔABC nội tiếp đường tròn (O), (AB < AC). Trên tia đối của tia BC lấy điểm M sao cho MA2 = MB.MC. Chứng minh rằng: MA là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Hướng dẫn giải
Vì MA2 = MB.MC => MA/MB = MC/MA
Xét ΔMAC và ΔMBA có: ∠M chung
MA/MB = MC/MA
=> ΔMAC ∼ ΔMBA (c.g.c) => ∠MAB = ∠MCA (1)
Kẻ đường kính AD của (O). Ta có ∠ACB = ∠ADB (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB)
Mà ∠MAB = ∠MCA (chứng minh trên)
Suy ra ∠MAB = ∠ADB (2)
Lại có ∠ABD = 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
=> ∠BAD + ∠BDA = 90o (3)
Từ (2) và (3) suy ra ∠BAD + ∠MAB = 90o hay ∠MAO = 90o => OA ⊥ MA
Do A ∈ (O) => MA là tiếp tuyến của (O).
Bài 2: Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến MA, MB với (O) tại A và B. Qua A vẽ đường thẳng song song với MB cắt đường tròn tại C. Nối C với M cắt đường tròn (O) tại D. Nối A với D cắt MB tại E. Chứng minh rằng:
a) ΔABE ∼ ΔBDE; ΔMEA ∼ ΔDEM.
b) E là trung điểm của MB.
Hướng dẫn giải
a) Chứng minh ΔABE ∼ ΔBDE; ΔMEA ∼ ΔDEM.
Xét ΔABE và ΔBDE có:
∠E chung
∠BAE = ∠DBE (góc nội tiếp và góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung BD)
=> ΔABE ∼ ΔBDE (g.g)
Vì AC // MB nên ∠ACM = ∠CMB (so le trong)
Mà ∠ACM = ∠MAE (góc nội tiếp và góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AD)
Suy ra: ∠CMB = ∠MAE
Xét ΔMEA và ΔDEM có:
∠E chung
∠MAE = ∠CMD (chứng minh trên)
=> ΔMEA ∼ ΔDEM (g.g)
b) Chứng minh E là trung điểm của MB
Theo chứng minh a) ta có: ΔABE ∼ ΔBDE => AE/BE = BE/DE => EB2 = AE.DE
ΔMEA ∼ ΔDEM => ME/DE = EA/EM => ME2 = DE.EA
Do đó EB2 = EM2 hay EB = EM.
Vậy E là trung điểm của MB.
C. Bài tập tự rèn luyện
Bài 3: Cho điểm C thuộc nửa đường tròn (O) đường kính AB. Từ điểm D thuộc đọan AO kẻ đường thẳng vuông góc với AO cắt AC và BC lần lượt lại E và F. Tiếp tuyến C với nửa đường tròn cắt EF tại M và cắt AB tại N.
a) Chứng minh M là trung điểm của EF.
b) Tìm vị trí của điểm C trên đường tròn (O) sao cho ΔACN cân tại C.
Bài 4: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R. Gọi M là một điểm thay đổi trên tiếp tuyến Bx của (O). Nối AM cắt (O) tại N. Gọi I là trung điểm của AN.
a) Chứng minh: ΔAIO ∼ ΔBMN; ΔOBM ∼ ΔINB
b) Tìm vị trí của điểm M trên tia Bx để diện tích ΔAIO có giá trị lớn nhất.
Bài 5: Cho đường tròn (O; R) và dây AB, gọi I là trung điểm của dây AB. Trên tia dối của tia BA lấy điểm M. Kẻ hai tiếp tuyến MC, MD với đường tròn, (C,D ≠ (O)).
a) Chứng minh rằng: Năm điểm O, I, C, M, D cùng nằm trên một đường tròn.
b) Gọi N là giao điểm của tia OM với (O). Chứng minh rằng N là tâm đường tròn nội tiếp.
D. Đáp án bài tập góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung
Bài 3:
a) Chứng minh M là trung điểm của EF
Ta có ∠MCA = 1/2 sđ\(\widehat{AC}\) (góc giữa tiếp tuyến và dây cung chắn cung AC) (1)
Lại có ∠MEC = ∠AED = 90o - ∠EAD = 90o - 1/2 sđ\(\widehat{BC}\) = 1/2 sđ\(\widehat{AC}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra ∠MCE = ∠MEC
Vậy ΔMEC cân tại M, suy ra MC = ME.
Chứng minh tương tự ta có MC = MF.
Suy ra ME = MF hay M là trung điểm của EF.
b) Tìm vị trí của điểm C trên đường tròn (O) sao cho ΔACN cân tại C.
ΔACN cân tại C khi và chỉ khi ∠CAN = ∠CNA
Vì MN là tiếp tuyến với (O) tại C nên OC ⊥ MN
=> ∠CNA = 90o - ∠COB = 90o - 2.∠CAN
Do đó:
∠CAN = ∠CNA ⇔ ∠CAN = 90o - 2.∠CAN ⇔ 3∠CAN = 90o
=> ∠CAN = 30o => Sđ\(\widehat{BC}\) = 60o
Vậy ΔACN cân tại C khi C nằm trên nửa đường tròn (O) sao cho SđBC = 60o.
Tài liệu quá dài để hiển thị hết — hãy nhấn Tải về để xem trọn bộ
------------------------------------
Hy vọng qua bài viết trên, bạn đã hiểu rõ hơn về góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung trong Toán lớp 9, nắm vững phương pháp giải và tự tin áp dụng vào các bài tập thực tế. Đừng quên luyện tập thêm với các dạng bài khác nhau để ghi nhớ công thức lâu hơn và nâng cao kỹ năng giải toán. Nếu thấy nội dung hữu ích, hãy chia sẻ cho bạn bè cùng học nhé!
