™
Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
VnDoc.com Lớp 9 Toán 9 Lý thuyết Toán 9

Giải hệ phương trình đối xứng loại 1

Ôn thi vào lớp 10 môn Toán
Tải về

Chuyên đề Toán 9: Hệ phương trình (nâng cao)

Giải hệ phương trình đối xứng lớp 9 do thư viện đề thi VnDoc.com biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Đây là phần bài tập nâng cao giúp cho các bạn học sinh ôn tập, củng cố kiến thức và rèn luyện kĩ năng làm bài Toán.

A. Hệ phương trình đối xứng loại 1

Hệ đối xứng loại 1

Định nghĩa: Một hệ phương trình ẩn x, y được gọi là hệ phương trình đối xứng loại 1 nếu mỗi phương trình ta đổi vai trò của x, y cho nhau thì phương trình đó không đổi.

Tính chất: Nếu \left( x_{0};y_{0} \right)(x0;y0)là một nghiệm của hệ phương trình thì \left( y_{0};x_{0} \right)(y0;x0)cũng là nghiệm của phương trình

Cách giải hệ đối xứng loại 1

Đặt \left\{ \begin{matrix} S = x + y \\ P = xy \\ \end{matrix} \right.\ ;\left( S^{2} \geq 4P \right){S=x+yP=xy ;(S2≥4P) ta quy hệ phương trình vế 2 ẩn S, P

Chú ý: Trong một số hệ phương trình đôi khi tính đối xứng chỉ thể hiện trong một phương trình. Ta cần dựa vào phương trình đó để tìm quan hệ S, P từ đó suy ra quan hệ x, y.

B. Bài tập giải hệ đối xứng loại 1

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau: \left\{ \begin{matrix} x + y + 2xy = 2 \\ x^{3} + y^{3} = 8 \\ \end{matrix} \right.{x+y+2xy=2x3+y3=8

Hướng dẫn giải

Đặt \left\{ \begin{matrix} S = x + y \\ P = xy \\ \end{matrix} \right.\ ;\left( S^{2} \geq 4P \right){S=x+yP=xy ;(S2≥4P)hệ phương trình đã cho trở thành

\begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} S + 2P = 2 \\ S\left( S^{2} - 3P \right) = 8 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} P = \dfrac{2 - S}{2} \\ S\left( S^{2} - \dfrac{6 - 3S}{2} \right) = 8 \\ \end{matrix} \right.\ \\ \\ \end{matrix}{S+2P=2S(S2−3P)=8 ⇔{P=2−S2S(S2−6−3S2)=8 

\Rightarrow 2S^{3} + 3S^{2} - 6S - 16 = 0⇒2S3+3S2−6S−16=0

\Rightarrow (S - 2)\left( 2S^{2} + 7S + 8 \right) = 0⇒(S−2)(2S2+7S+8)=0

\Leftrightarrow S = 2 \Rightarrow P = 0⇔S=2⇒P=0

=> x, y là hai nghiệm của phương trình

X^{2} - 2X = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} X = 0 \\ X = 2 \\ \end{matrix} \right.X2−2X=0⇔[X=0X=2

Vậy hệ phương trình có tập nghiệm (x; y) = (0; 2) = (2; 0)

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau: \left\{ \begin{matrix} x + y - \sqrt{xy} = 3 \\ \sqrt{x + 1} + \sqrt{y + 1} = 4 \\ \end{matrix} \right.{x+y−xy=3x+1+y+1=4

Hướng dẫn giải

Điều kiện \left\{ \begin{matrix} xy \geq 0 \\ x,y \geq - 1 \\ \end{matrix} \right.{xy≥0x,y≥−1

Đặt \left\{ \begin{matrix} S = x + y \\ P = xy \\ \end{matrix} \right.\ ;\left( S^{2} \geq 4P \right){S=x+yP=xy ;(S2≥4P) hệ phương trình đã cho trở thành:

\begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} S - \sqrt{P} = 3 \\ S + 2 + 2\sqrt{S + P + 1} = 16 \\ \end{matrix} \right. \end{matrix}{S−P=3S+2+2S+P+1=16\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} P = (S - 3)^{2};(S \geq 3) \\ 2\sqrt{S + (S - 3)^{2} + 1} = 14 - S \\ \end{matrix} \right.⇔{P=(S−3)2;(S≥3)2S+(S−3)2+1=14−S

\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} P = (S - 3)^{2};(3 \leq S \leq 14) \\ 4\left( S^{2} + 8S + 10 \right) = 196 - 28S + S^{2} \\ \end{matrix} \right.⇔{P=(S−3)2;(3≤S≤14)4(S2+8S+10)=196−28S+S2

\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} P = (S - 3)^{2};(3 \leq S \leq 14) \\ S^{2} + 30S - 52 = 0 \\ \end{matrix} \right.⇔{P=(S−3)2;(3≤S≤14)S2+30S−52=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} S = 6 \\ P = 9 \\ \end{matrix} \Rightarrow x = y = 3 \right.⇔{S=6P=9⇒x=y=3

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (3; 3)

Ví dụ 3: Tìm tập nghiệm của hệ phương trình: \left\{ \begin{matrix} 2(x + y) = 3\left( \sqrt[3]{x^{2}y} + \sqrt[3]{xy^{2}} \right) \\ \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} = 6 \\ \end{matrix} \right.{2(x+y)=3(x2y3+xy23)x3+y3=6

Hướng dẫn giải

Đặt a = \sqrt[3]{x};b = \sqrt[3]{y}a=x3;b=y3hệ đã cho trở thành \left\{ \begin{matrix} 2\left( a^{3} + b^{3} \right) = 3\left( a^{2}b + b^{2}a \right) \\ a + b = 6 \\ \end{matrix} \right.{2(a3+b3)=3(a2b+b2a)a+b=6

Đặt \left\{ \begin{matrix} S = x + y \\ P = xy \\ \end{matrix} \right.\ ;\left( S^{2} \geq 4P \right){S=x+yP=xy ;(S2≥4P) hệ phương trình đã cho trở thành:

\left\{ \begin{matrix} 2\left( S^{3} - 3SP \right) = 3SP \\ S = 6 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2(36 - 3P) = 3P \\ S = 6 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} P = 8 \\ S = 6 \\ \end{matrix} \right.{2(S3−3SP)=3SPS=6 ⇔{2(36−3P)=3PS=6 ⇔{P=8S=6

Suy ra a, b là hai nghiệm của phương trình

M^{2} - 6M + 8 = 0 \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} M_{1} = 2 \\ M_{2} = 4 \\ \end{matrix} \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} a = 2 \Rightarrow x = 8 \\ b = 4 \Rightarrow y = 64 \\ \end{matrix} \right.\ \\ \left\{ \begin{matrix} a = 4 \Rightarrow x = 64 \\ b = 2 \Rightarrow y = 8 \\ \end{matrix} \right.\ \\ \end{matrix} \right.\ \right.M2−6M+8=0⇒[M1=2M2=4⇒[{a=2⇒x=8b=4⇒y=64 {a=4⇒x=64b=2⇒y=8  

Vậy hệ phương trình đã cho có hai cặp nghiệm (x; y) = (8; 64) = (64; 8)

C. Bài tập luyện tập giải hệ đối xứng loại 1

Bài 1: Giải hệ phương trình:

a) \left\{ \begin{matrix} (x + y)\left( 1 + \dfrac{1}{xy} \right) = 5 \\ \left( x^{2} + y^{2} \right)\left( 1 + \dfrac{1}{x^{2}y^{2}} \right) = 9 \\ \end{matrix} \right.{(x+y)(1+1xy)=5(x2+y2)(1+1x2y2)=9 b) \left\{ \begin{matrix} x^{2} + y^{2} + \dfrac{2xy}{x + y} = 1 \\ x^{2} - y = \sqrt{x + y} \\ \end{matrix} \right.{x2+y2+2xyx+y=1x2−y=x+y

Bài 2: Tìm tập nghiệm của các hệ phương trình sau đây

a) \left\{ \begin{matrix} \sqrt{x^{2} + y^{2}} + \sqrt{2xy} = 8\sqrt{2} \\ \sqrt{x} + \sqrt{y} = 4 \\ \end{matrix} \right.{x2+y2+2xy=82x+y=4 b) \left\{ \begin{matrix} x^{3}y(x + y) + x^{2}y^{2}(2 + y) + xy^{3} = 30 \\ x^{2}y + x\left( 1 + y + y^{2} \right) + y - 11 = 0 \\ \end{matrix} \right.{x3y(x+y)+x2y2(2+y)+xy3=30x2y+x(1+y+y2)+y−11=0
Chia sẻ, đánh giá bài viết
1
4 Bài viết đã được lưu
Mục lục
Chọn file muốn tải về:

Giải hệ phương trình đối xứng loại 1

233 KB

  • File Word

Đóng Chỉ thành viên VnDoc PRO/PROPLUS tải được nội dung này!
Đóng
79.000 / tháng
Mua ngay
Đặc quyền các gói Thành viên
PRO
Phổ biến nhất
PRO+
Tải tài liệu Cao cấp 1 Lớp
Tải tài liệu Trả phí + Miễn phí
Xem nội dung bài viết
Trải nghiệm Không quảng cáo
Làm bài trắc nghiệm không giới hạn
Mua cả năm Tiết kiệm tới 48%
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này

Nhiều người đang xem

Tham khảo thêm

🖼️

Gợi ý cho bạn
Xem thêm
🖼️

Đề thi vào 10 môn Toán
Xem thêm
Chia sẻ
Chia sẻ FacebookChia sẻ TwitterSao chép liên kếtQuét bằng QR Code
Mã QR Code
Đóng