Giải hệ phương trình đối xứng loại 1

Giải hệ phương trình đối xứng lớp 9 do thư viện đề thi VnDoc.com biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Đây là phần bài tập nâng cao giúp cho các bạn học sinh ôn tập, củng cố kiến thức và rèn luyện kĩ năng làm bài Toán.

A. Hệ phương trình đối xứng loại 1

Hệ đối xứng loại 1

Định nghĩa: Một hệ phương trình ẩn x, y được gọi là hệ phương trình đối xứng loại 1 nếu mỗi phương trình ta đổi vai trò của x, y cho nhau thì phương trình đó không đổi.

Tính chất: Nếu \(\left( x_{0};y_{0} \right)\)là một nghiệm của hệ phương trình thì \(\left( y_{0};x_{0} \right)\)cũng là nghiệm của phương trình

Cách giải hệ đối xứng loại 1

Đặt \(\left\{ \begin{matrix} S = x + y \\ P = xy \\ \end{matrix} \right.\ ;\left( S^{2} \geq 4P \right)\) ta quy hệ phương trình vế 2 ẩn S, P

Chú ý: Trong một số hệ phương trình đôi khi tính đối xứng chỉ thể hiện trong một phương trình. Ta cần dựa vào phương trình đó để tìm quan hệ S, P từ đó suy ra quan hệ x, y.

B. Bài tập giải hệ đối xứng loại 1

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau: \(\left\{ \begin{matrix} x + y + 2xy = 2 \\ x^{3} + y^{3} = 8 \\ \end{matrix} \right.\)

Hướng dẫn giải

Đặt \(\left\{ \begin{matrix} S = x + y \\ P = xy \\ \end{matrix} \right.\ ;\left( S^{2} \geq 4P \right)\)hệ phương trình đã cho trở thành

\(\begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} S + 2P = 2 \\ S\left( S^{2} - 3P \right) = 8 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} P = \dfrac{2 - S}{2} \\ S\left( S^{2} - \dfrac{6 - 3S}{2} \right) = 8 \\ \end{matrix} \right.\ \\ \\ \end{matrix}\)

\(\Rightarrow 2S^{3} + 3S^{2} - 6S - 16 = 0\)

\(\Rightarrow (S - 2)\left( 2S^{2} + 7S + 8 \right) = 0\)

\(\Leftrightarrow S = 2 \Rightarrow P = 0\)

=> x, y là hai nghiệm của phương trình

\(X^{2} - 2X = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} X = 0 \\ X = 2 \\ \end{matrix} \right.\)

Vậy hệ phương trình có tập nghiệm (x; y) = (0; 2) = (2; 0)

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau: \(\left\{ \begin{matrix} x + y - \sqrt{xy} = 3 \\ \sqrt{x + 1} + \sqrt{y + 1} = 4 \\ \end{matrix} \right.\)

Hướng dẫn giải

Điều kiện \(\left\{ \begin{matrix} xy \geq 0 \\ x,y \geq - 1 \\ \end{matrix} \right.\)

Đặt \(\left\{ \begin{matrix} S = x + y \\ P = xy \\ \end{matrix} \right.\ ;\left( S^{2} \geq 4P \right)\) hệ phương trình đã cho trở thành:

\(\begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} S - \sqrt{P} = 3 \\ S + 2 + 2\sqrt{S + P + 1} = 16 \\ \end{matrix} \right. \end{matrix}\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} P = (S - 3)^{2};(S \geq 3) \\ 2\sqrt{S + (S - 3)^{2} + 1} = 14 - S \\ \end{matrix} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} P = (S - 3)^{2};(3 \leq S \leq 14) \\ 4\left( S^{2} + 8S + 10 \right) = 196 - 28S + S^{2} \\ \end{matrix} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} P = (S - 3)^{2};(3 \leq S \leq 14) \\ S^{2} + 30S - 52 = 0 \\ \end{matrix} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} S = 6 \\ P = 9 \\ \end{matrix} \Rightarrow x = y = 3 \right.\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (3; 3)

Ví dụ 3: Tìm tập nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \begin{matrix} 2(x + y) = 3\left( \sqrt[3]{x^{2}y} + \sqrt[3]{xy^{2}} \right) \\ \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} = 6 \\ \end{matrix} \right.\)

Hướng dẫn giải

Đặt \(a = \sqrt[3]{x};b = \sqrt[3]{y}\)hệ đã cho trở thành \(\left\{ \begin{matrix} 2\left( a^{3} + b^{3} \right) = 3\left( a^{2}b + b^{2}a \right) \\ a + b = 6 \\ \end{matrix} \right.\)

Đặt \(\left\{ \begin{matrix} S = x + y \\ P = xy \\ \end{matrix} \right.\ ;\left( S^{2} \geq 4P \right)\) hệ phương trình đã cho trở thành:

\(\left\{ \begin{matrix} 2\left( S^{3} - 3SP \right) = 3SP \\ S = 6 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2(36 - 3P) = 3P \\ S = 6 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} P = 8 \\ S = 6 \\ \end{matrix} \right.\)

Suy ra a, b là hai nghiệm của phương trình

\(M^{2} - 6M + 8 = 0 \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} M_{1} = 2 \\ M_{2} = 4 \\ \end{matrix} \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} a = 2 \Rightarrow x = 8 \\ b = 4 \Rightarrow y = 64 \\ \end{matrix} \right.\ \\ \left\{ \begin{matrix} a = 4 \Rightarrow x = 64 \\ b = 2 \Rightarrow y = 8 \\ \end{matrix} \right.\ \\ \end{matrix} \right.\ \right.\)

Vậy hệ phương trình đã cho có hai cặp nghiệm (x; y) = (8; 64) = (64; 8)

C. Bài tập luyện tập giải hệ đối xứng loại 1

Bài 1: Giải hệ phương trình:

a) \(\left\{ \begin{matrix} (x + y)\left( 1 + \dfrac{1}{xy} \right) = 5 \\ \left( x^{2} + y^{2} \right)\left( 1 + \dfrac{1}{x^{2}y^{2}} \right) = 9 \\ \end{matrix} \right.\)

b) \(\left\{ \begin{matrix} x^{2} + y^{2} + \dfrac{2xy}{x + y} = 1 \\ x^{2} - y = \sqrt{x + y} \\ \end{matrix} \right.\)

Bài 2: Tìm tập nghiệm của các hệ phương trình sau đây

a) \(\left\{ \begin{matrix} \sqrt{x^{2} + y^{2}} + \sqrt{2xy} = 8\sqrt{2} \\ \sqrt{x} + \sqrt{y} = 4 \\ \end{matrix} \right.\)

b) \(\left\{ \begin{matrix} x^{3}y(x + y) + x^{2}y^{2}(2 + y) + xy^{3} = 30 \\ x^{2}y + x\left( 1 + y + y^{2} \right) + y - 11 = 0 \\ \end{matrix} \right.\)