VnDoc.com

Bồi dưỡng HSG Toán 9 chuyên đề 8

Bồi dưỡng HSG lớp 9 môn Toán

1 302

VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

MỘT SỐ BÀI TẬP CHỌN LỌC TRONG CÁC ĐỀ THI HỌC SINH

GIỎI - Toán lớp 9

Câu 1. (Đề thi học sinh giỏi thành phố Hà Nội – 2010)

Cho tam giác

ABC

có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn

 

O;R

.

D

là một

điểm bất kỳ thuộc cung nhỏ

AD

(

D

khác

A

và

C

). Gọi

M,N

lần lượt là

chân đường vuông góc kẻ từ

D

tới các đường thẳng

AB,AC

. Gọi

P

là giao

điểm các đường thẳng

MN, BC

.

a) Chứng minh

DP

và

BC

vuông góc với nhau.

b) Đường tròn

 

I;r

nội tiếp tam giác

ABC

. Tính

IO

với

 R 5cm,r 1,6cm

.

Lời giải:

a) Ta có:



   

0 0 0

AMD AND 90 90 180

. Do đó tứ giác

AMDN

nội

tiếp



 MAD MND

.Mặt khác



MAD BCD

.Suy ra tứ giác

NDCP

nội tiếp



  

0

DPC DNC 90

.Vậy

DP BC

.

VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

b) Vẽ đường kính

EF

của đường tròn

 

O

(

F

là giao điểm của

AI

với

đường tròn

 

O

). Do

AF

là phân giác của



BAC

nên





  BF FC BAF CEF

.

Gọi

K

là tiếp điểm của tiếp tuyến

AB

với đường tròn

 

I,r

. Ta có:



    

IK CF

sinBAC sinCEF AI.CF 2R.r

AI EF

(1). Do

CI

là phân giác của



ACB

nên



BCK ACK



       CIF CAF ACK BCK BCF ICF IFC

cân

tại

 F FI FC

. Từ (1) suy ra

AI.AF 2R.r

(2). Gọi

G,H

là giao điểm của

đường thẳng

IO

với

 

O;R

.

Tacó:

  AIG HIF

     

         

2 2

AI.IF IG.IH OG OI OH OI OI R R OI R OI

(3) . Từ

(2) và (3) suy ra:

         

2 2 2 2 2

R OI 2Rr OI R 2Rr 5 2.5.1,6 9 OI 3cm

.

Nhận xét: Đường thẳng

M,N,P

trong bài toán này thực chất là đường

thẳng Sim son của điểm

D

. Vì vậy ta cũng có thể chứng minh bài toán theo

cách khác theo cách chứng minh đường thẳng Sim son. (Xem thêm phần các

định lý hình học nổi tiếng)

Câu 2. (Đề thi học sinh giỏi tỉnh Quảng Ngãi).

Cho tam giác

ABC

vuông cân tại

A

, một đường tròn

 

O

tiếp xúc với

AB,AC

tại

B,C

. Trên cung



BC

nằm trong tam giác

ABC

lấy một điểm

M

 

M B; C

. Gọi

I,H,K

lần lượt là hình chiếu của

M

trên

BC;CA; AB

và

P

là

giao điểm của

MB

với

IK,

Q

là giao điểm của

MC

với

IH

.

a) Chứng minh rằng tia đối của tia

MI

là phân giác của



MHK

.

b) Chứng minh

PQ / /BC

.

c) Gọi

 

1

O

và

 

2

O

lần lượt là đường tròn ngoại tiếp

MPK

và

MQH

. Chứng minh rằng

PQ

là tiếp tuyến chung của hai đường

tròn

 

1

O

và

 

2

O

.

VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

d) Gọi

D

là trung điểm của

BC;

N

là giao điểm thứ hai của

 

1

O

,

 

2

O

. Chứng minh rằng

M,N, D

thẳng hàng.

Lời giải:

a) Vì

ABC

cân tại

A

nên



ABC ACB

. Gọi tia đối của tia

MI

là

Mx

. Ta

có tứ giác

BIMK

và tứ giác

CIMH

nội tiếp.

  



     

0 0

IMH 180 ACB 180 ABC IMK



     

0 0

KMx 180 IMK 180 IMH HMx

. Vậy

Mx

là tia phân giác của



MHK

.

b) Do tứ giác

BIMK

và

CIMH

nội tiếp nên



 KIM KBM; HIM HCM

.



   PIQ KIM HIM KBM HCM

. Mà



HCM IBM

(cùng bằng



1

sđCM

2

)



  PIQ ICM IBM

. Mặt khác,



     

0 0

PMQ ICM IBM 180 PMQ PIQ 180

.Do đó tứ giác

MPIQ

nội tiếp.



 MQP MIK

(cùng bằng



1

sđPM

2

). Mà



MIK MIC

(cùng bằng



KBM

)



  MQP MCI PQ / /BC

.

c) Ta có:



MHI MCI

(cùng bằng



1

sđIM

2

). Mà



MQP MCI

(cmt)





  

1

MQP MHI sđMQ

2

. Hai tia

QP,QH

nằm khác phía đối với

QM

. Suy

Chuyên đề 8: Tuyển tập một số bài tập trong các đề thi học sinh giỏi lớp 9

Bồi dưỡng HSG Toán 9 chuyên đề 8: Tuyển tập một số bài tập trong các đề thi học sinh giỏi được VnDoc sưu tầm và đăng tải. Mời các bạn tham khảo, chuẩn bị tốt cho kì thi chọn HSG lớp 9 sắp tới. Chúc các bạn học tốt có điểm cao trong kì thi sắp tới

Bồi dưỡng HSG Toán 9 chuyên đề 7: Một số bài tập chọn lọc hình học phẳng được VnDoc đã chia sẻ trên đây. Nội dung chính gồm các bài tập tuyển chọn trong các đề thi học sinh giỏi, chuẩn bị tốt cho kì thi HSG lớp 9 sắp tới. Chúc các bạn học tốt, mời các bạn tham khảo

Ngoài Bồi dưỡng HSG Toán 9 chuyên đề 8. Mời các bạn học sinh còn có thể tham khảo các đề thi học kì 1 lớp 9, đề thi học kì 2 lớp 9 các môn Toán, Văn, Anh, Lý, Địa, Sinh mà chúng tôi đã sưu tầm và chọn lọc. Với đề Thi vào lớp 10 năm 2024 này giúp các bạn rèn luyện thêm kỹ năng giải đề và làm bài tốt hơn. Chúc các bạn ôn thi tốt