Bồi dưỡng HSG Toán 9 chuyên đề 8
Bồi dưỡng HSG lớp 9 môn Toán
Tìm hiểu thêmTặng thêm 15 ngày khi mua gói 4 tháng.
VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
MỘT SỐ BÀI TẬP CHỌN LỌC TRONG CÁC ĐỀ THI HỌC SINH
GIỎI - Toán lớp 9
Câu 1. (Đề thi học sinh giỏi thành phố Hà Nội – 2010)
Cho tam giác
ABC
có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn
O;R
.
D
là một
điểm bất kỳ thuộc cung nhỏ
AD
(
D
khác
A
và
C
). Gọi
M,N
lần lượt là
chân đường vuông góc kẻ từ
D
tới các đường thẳng
AB,AC
. Gọi
P
là giao
điểm các đường thẳng
MN, BC
.
a) Chứng minh
DP
và
BC
vuông góc với nhau.
b) Đường tròn
I;r
nội tiếp tam giác
ABC
. Tính
IO
với
R 5cm,r 1,6cm
.
Lời giải:
a) Ta có:
0 0 0
AMD AND 90 90 180
. Do đó tứ giác
AMDN
nội
tiếp
MAD MND
.Mặt khác
MAD BCD
.Suy ra tứ giác
NDCP
nội tiếp
0
DPC DNC 90
.Vậy
DP BC
.
VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
b) Vẽ đường kính
EF
của đường tròn
O
(
F
là giao điểm của
AI
với
đường tròn
O
). Do
AF
là phân giác của
BAC
nên
BF FC BAF CEF
.
Gọi
K
là tiếp điểm của tiếp tuyến
AB
với đường tròn
I,r
. Ta có:
IK CF
sinBAC sinCEF AI.CF 2R.r
AI EF
(1). Do
CI
là phân giác của
ACB
nên
BCK ACK
CIF CAF ACK BCK BCF ICF IFC
cân
tại
F FI FC
. Từ (1) suy ra
AI.AF 2R.r
(2). Gọi
G,H
là giao điểm của
đường thẳng
IO
với
O;R
.
Tacó:
AIG HIF
2 2
AI.IF IG.IH OG OI OH OI OI R R OI R OI
(3) . Từ
(2) và (3) suy ra:
2 2 2 2 2
R OI 2Rr OI R 2Rr 5 2.5.1,6 9 OI 3cm
.
Nhận xét: Đường thẳng
M,N,P
trong bài toán này thực chất là đường
thẳng Sim son của điểm
D
. Vì vậy ta cũng có thể chứng minh bài toán theo
cách khác theo cách chứng minh đường thẳng Sim son. (Xem thêm phần các
định lý hình học nổi tiếng)
Câu 2. (Đề thi học sinh giỏi tỉnh Quảng Ngãi).
Cho tam giác
ABC
vuông cân tại
A
, một đường tròn
O
tiếp xúc với
AB,AC
tại
B,C
. Trên cung
BC
nằm trong tam giác
ABC
lấy một điểm
M
M B; C
. Gọi
I,H,K
lần lượt là hình chiếu của
M
trên
BC;CA; AB
và
P
là
giao điểm của
MB
với
IK,
Q
là giao điểm của
MC
với
IH
.
a) Chứng minh rằng tia đối của tia
MI
là phân giác của
MHK
.
b) Chứng minh
PQ / /BC
.
c) Gọi
1
O
và
2
O
lần lượt là đường tròn ngoại tiếp
MPK
và
MQH
. Chứng minh rằng
PQ
là tiếp tuyến chung của hai đường
tròn
1
O
và
2
O
.
VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
d) Gọi
D
là trung điểm của
BC;
N
là giao điểm thứ hai của
1
O
,
2
O
. Chứng minh rằng
M,N, D
thẳng hàng.
Lời giải:
a) Vì
ABC
cân tại
A
nên
ABC ACB
. Gọi tia đối của tia
MI
là
Mx
. Ta
có tứ giác
BIMK
và tứ giác
CIMH
nội tiếp.
0 0
IMH 180 ACB 180 ABC IMK
0 0
KMx 180 IMK 180 IMH HMx
. Vậy
Mx
là tia phân giác của
MHK
.
b) Do tứ giác
BIMK
và
CIMH
nội tiếp nên
KIM KBM; HIM HCM
.
PIQ KIM HIM KBM HCM
. Mà
HCM IBM
(cùng bằng
1
sđCM
2
)
PIQ ICM IBM
. Mặt khác,
0 0
PMQ ICM IBM 180 PMQ PIQ 180
.Do đó tứ giác
MPIQ
nội tiếp.
MQP MIK
(cùng bằng
1
sđPM
2
). Mà
MIK MIC
(cùng bằng
KBM
)
MQP MCI PQ / /BC
.
c) Ta có:
MHI MCI
(cùng bằng
1
sđIM
2
). Mà
MQP MCI
(cmt)
1
MQP MHI sđMQ
2
. Hai tia
QP,QH
nằm khác phía đối với
QM
. Suy
Chuyên đề 8: Tuyển tập một số bài tập trong các đề thi học sinh giỏi lớp 9
Bồi dưỡng HSG Toán 9 chuyên đề 8: Tuyển tập một số bài tập trong các đề thi học sinh giỏi được VnDoc sưu tầm và đăng tải. Mời các bạn tham khảo, chuẩn bị tốt cho kì thi chọn HSG lớp 9 sắp tới. Chúc các bạn học tốt có điểm cao trong kì thi sắp tới
- Tổng hợp các chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9 môn Toán
- Chủ đề 1: Căn bậc hai và các bài toán liên quan
- Tổng hợp đề thi vào lớp 10 được tải nhiều nhất
- Bộ đề thi vào lớp 10 môn Toán
- 40 Đề thi Toán vào lớp 10 chọn lọc
- Môn thi thứ tư vào lớp 10
Bồi dưỡng HSG Toán 9 chuyên đề 7: Một số bài tập chọn lọc hình học phẳng được VnDoc đã chia sẻ trên đây. Nội dung chính gồm các bài tập tuyển chọn trong các đề thi học sinh giỏi, chuẩn bị tốt cho kì thi HSG lớp 9 sắp tới. Chúc các bạn học tốt, mời các bạn tham khảo
- 8 Chuyên đề Toán nâng cao ôn thi lớp 10 và thi học sinh giỏi lớp 9
- Bồi dưỡng HSG Toán 9 chuyên đề 3: Góc với đường tròn
- Bồi dưỡng HSG Toán 9 chuyên đề 4: Một số tiêu chuẩn nhận biết tứ giác nội tiếp
- Bồi dưỡng HSG Toán 9 chuyên đề 5: Chùm bài Toán về Tiếp tuyến, Cát tuyến
- Bồi dưỡng HSG Toán 9 chuyên đề 6: Những Định lý Hình học nổi tiếng
- Bồi dưỡng HSG Toán 9 chuyên đề 7: Một số bài tập chọn lọc hình học phẳng
- Bồi dưỡng HSG Toán 9 chuyên đề 9: Quỹ tích
Ngoài Bồi dưỡng HSG Toán 9 chuyên đề 8. Mời các bạn học sinh còn có thể tham khảo các đề thi học kì 1 lớp 9, đề thi học kì 2 lớp 9 các môn Toán, Văn, Anh, Lý, Địa, Sinh mà chúng tôi đã sưu tầm và chọn lọc. Với đề Thi vào lớp 10 năm 2025 này giúp các bạn rèn luyện thêm kỹ năng giải đề và làm bài tốt hơn. Chúc các bạn ôn thi tốt
