Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Bồi dưỡng HSG Toán 9 chuyên đề 4: Một số tiêu chuẩn nhận biết tứ giác nội tiếp

Bồi dưỡng HSG lớp 9 môn Toán

Tải về

Lớp: Lớp 9

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Đề thi HSG

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

MỘT SỐ TIÊU CHUẨN NHẬN BIẾT TỨ GIÁC NỘI TIẾP - Toán lớp

Tiêu chuẩn 1. Điều kiện cần và đủ để bốn đỉnh của một tứ giác lồi nằm trên

cùng một đường tròn là tổng số đo của hai góc tứ giác tại hai đỉnh đối diện

bằng

180

Điều kiện để tứ giác lồi

ABCD

nội tiếp là:



 

A C 180

hoặc



 

B D 180

Hệ quả: Tứ giác

ABCD

nội tiếp được



BAD DCx

Một số ví dụ

Ví dụ 1: Cho tam giác

ABC

vuông tại

. Kẻ đường cao

và phân giác

trong

của góc



HAC

. Phân giác trong góc



ABC

cắt

AH,AD

lần lượt tại

M,N

. Chứng minh rằng:





BND 90

Phân tích và hướng dẫn giải:

Ta có





MHD 90

. Nếu





MND 90

thì tứ giác

MHDN

nội tiếp. Vì vậy

thay vì trực tiếp chỉ ra góc





BND 90

ta sẽ đi chứng minh

tứ giác

MHDN

nội tiếp. Tức là ta chứng minh



AMN ADH

Thật vậy ta có



 

  

AMN BMH 90 MBH



 

NDH 90 HAD

mà



 

1 1

MBH ABC,HAD HAC

2 2

và



ABC HAC

do cùng phụ với góc



BCA

từ

đó suy ra



AMN ADH

hay tứ giác

MHDN

nội tiếp

 

  

MND MHD 90

VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

Ví dụ 2: Cho tam giác

ABC

có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn

(O)

có trực

tâm là điểm

. Gọi

là điểm trên dây cung

không chứa điểm

(

khác

B,C

). Gọi

N,P

theo thứ tự là các điểm đối xứng của

qua các

đường thẳng

AB,AC

a) Chứng minh

AHCP

là tứ giác nội tiếp

N,H,P

thẳng hàng.

c) Tìm vị trí của điểm

để độ dài đoạn

lớn nhất.

Phân tích và hướng dẫn giải:

a). Giả sử các đường cao của tam giác là

AK,CI

. Để chứng minh

AHCP

là

tứ giác nội tiếp ta sẽ chứng minh



 

AHC APC 180

.Mặt khác ta có



AHC IHK

( đối đỉnh),



 APC AMC ABC

( do tính đối xứng và góc nội

tiếp cùng chắn một cung). Như vậy ta chỉ cần chứng minh



 

ABC IHK 180

nhưng điều này là hiển nhiên do tứ giác

BIHK

là tứ giác nội tiếp.

b). Để chứng minh

N,H,P

thẳng hàng ta sẽ chứng minh



 

NHA AHP 180

do đó ta sẽ tìm cách quy hai góc này về 2 góc đối nhau trong một tứ giác nội

tiếp. Thật vậy

ta có:



AHP ACP

(tính chất góc nội tiếp),



ACP ACM

(1) (Tính chất đối

xứng) . Ta thấy vai trò tứ giác

AHCP

giống với

AHBN

nên ta cũng dễ

chứng minh được

AHBN

là tứ giác nội tiếp từ đó suy ra



AHN ABN

, mặt

khác



ABN ABM

(2) (Tính chất đối xứng) . Từ (1), (2) ta suy ra chỉ cần

VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

chứng minh



 

ABM ACM 180

nhưng điều này là hiển nhiên do tứ giác

ABMC

nội tiếp. Vậy



 

NHA AHP 180

hay

N,H,P

thẳng hàng.

Chú ý: Đường thẳng qua

N,H,P

chính là đường thẳng Steiners của điểm

. Thông qua bài toán này các em học sinh cần nhớ tính chất. Đường thẳng

Steiners của tam giác thì đi qua trực tâm của tam giác đó . (Xem thêm phần

“Các định lý hình học nổi tiếng’’).

c). Ta có



 



   MAN 2BAM,MAP 2MAC NAP 2BAC

. Mặt khác ta có

 AM AN AP

nên các điểm

M,N,P

thuộc đường tròn tâm

bán kính

. Áp dụng định lý sin trong tam giác

NAP

ta có:



 NP 2R.sin NAP 2AM.sin 2BAC

. Như vậy

lớn nhất khi và chỉ khi

lớn nhất. Hay

là đường kính của đường tròn

(O)

Ví dụ 3: Cho tam giác

ABC

và đường cao

gọi

M,N

lần lượt là trung

điểm của

AB,AC

. Đường tròn ngoại tiếp tam giác

BHM

cắt đường tròn

ngoại tiếp tam giác

CNH

tại

. Chứng minh

AMEN

là tứ giác nội tiếp và

đi qua trung điểm của

Phân tích, định hướng cách giải:

Để chứng minh

AMEN

là tứ giác nội tiếp ta sẽ

chứng minh:



 

MAN MEN 180

Ta cần tìm sự liên hệ của các góc



MAN; MEN

với các góc có sẵn

của những tứ giác nội tiếp khác.

Ta có

 







 





 

         

0 0 0 0

MEN 360 MEH NEH 360 180 ABC 180 ACB ABC ACB



 

180 BAC

suy ra



 

MEN MAN 180

. Hay tứ giác

AMEN

là tứ giác nội

tiếp.

Kẻ

MK BC

, giả sử

cắt

tại

thì

là cát tuyến của hai đường

tròn

(BMH)

(CNH)

. Lại có

 MB MH MA

(Tính chất trung tuyến tam

giác vuông). Suy ra tam giác

MBH

cân tại

  M KB KH MK

luôn đi qua

tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

MBH

. Hay

là tiếp tuyến của

Chuyên đề 4: Một số tiêu chuẩn nhận biết tứ giác nội tiếp

Bồi dưỡng HSG Toán 9 chuyên đề 4: Một số tiêu chuẩn nhận biết tứ giác nội tiếp. Tài liệu giúp các bạn học sinh củng cố lại phần kiến thức đã học và kỹ năng giải bài tập, biết cách phân bổ thời gian làm bài sao cho hợp lý. Mời các bạn cùng tham khảo

--------------------------------

FAQ – Bồi Dưỡng HSG Toán 9 Chuyên Đề 4: Một Số Tiêu Chuẩn Nhận Biết Tứ Giác Nội Tiếp

1. Tứ giác nội tiếp là gì?

Tứ giác nội tiếp là tứ giác có bốn đỉnh cùng nằm trên một đường tròn.

Đây là một trong những kiến thức trọng tâm của chương trình Hình học lớp 9 và thường xuyên xuất hiện trong các bài toán chứng minh hình học.

2. Vì sao cần học các tiêu chuẩn nhận biết tứ giác nội tiếp?

Việc nắm vững các dấu hiệu nhận biết giúp học sinh:

Chứng minh hình học nhanh hơn.
Phát hiện các tính chất đặc biệt của hình vẽ.
Giải quyết các bài toán nâng cao hiệu quả.
Tăng khả năng suy luận trong các kỳ thi học sinh giỏi.

Đây là chuyên đề nền tảng của hình học đường tròn.

3. Những tiêu chuẩn nhận biết tứ giác nội tiếp thường gặp là gì?

Các tiêu chuẩn phổ biến gồm:

Tổng hai góc đối bằng 180 độ.
Hai đỉnh cùng nhìn một đoạn thẳng dưới một góc bằng nhau.
Góc ngoài bằng góc trong đối diện.
Bốn điểm cùng thuộc một đường tròn.

Đây là những dấu hiệu được sử dụng nhiều nhất trong các bài toán lớp 9.

4. Dấu hiệu tổng hai góc đối bằng 180 độ được áp dụng như thế nào?

Nếu trong một tứ giác, tổng số đo hai góc đối diện bằng 180 độ thì tứ giác đó là tứ giác nội tiếp.

Đây là dấu hiệu nhận biết đơn giản và được sử dụng phổ biến nhất trong các bài toán chứng minh.

5. Khi nào nên nghĩ đến việc chứng minh tứ giác nội tiếp?

Học sinh nên xét khả năng nội tiếp khi xuất hiện:

Nhiều góc bằng nhau.
Các góc phụ nhau.
Đường tròn và tiếp tuyến.
Góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến.
Bài toán chứng minh đồng quy hoặc thẳng hàng.

Đây là các dấu hiệu thường gặp trong đề thi học sinh giỏi.

-----------------------------------------------------

Bồi dưỡng HSG Toán 9 chuyên đề 4: Một số tiêu chuẩn nhận biết tứ giác nội tiếp được VnDoc đã chia sẻ trên đây. Nội dung gồm lý thuyết và các câu hỏi bài tập trong chuyên đề một số tiêu chuẩn nhận biết tứ giác nội tiếp, chuẩn bị tốt cho kì thi HSG lớp 9 sắp tới. Chúc các bạn học tốt, mời các bạn tham khảo

Ngoài Bồi dưỡng HSG Toán 9 chuyên đề 4: Một số tiêu chuẩn nhận biết tứ giác nội tiếp. Mời các bạn học sinh còn có thể tham khảo các đề thi học kì 1 lớp 9, đề thi học kì 2 lớp 9 các môn Toán, Văn, Anh, Lý, Địa, Sinh mà chúng tôi đã sưu tầm và chọn lọc. Với đề Thi vào lớp 10 năm 2019 này giúp các bạn rèn luyện thêm kỹ năng giải đề và làm bài tốt hơn. Chúc các bạn ôn thi tốt

Tải về

Chọn file muốn tải về: