VnDoc.com

Bồi dưỡng HSG Toán 9 chuyên đề 4: Một số tiêu chuẩn nhận biết tứ giác nội tiếp

Bồi dưỡng HSG lớp 9 môn Toán

VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

MỘT SỐ TIÊU CHUẨN NHẬN BIẾT TỨ GIÁC NỘI TIẾP - Toán lớp

9

Tiêu chuẩn 1. Điều kiện cần và đủ để bốn đỉnh của một tứ giác lồi nằm trên

cùng một đường tròn là tổng số đo của hai góc tứ giác tại hai đỉnh đối diện

bằng

0

180

.

Điều kiện để tứ giác lồi

ABCD

nội tiếp là:



 

0

A C 180

hoặc



 

0

B D 180

Hệ quả: Tứ giác

ABCD

nội tiếp được



BAD DCx

Một số ví dụ

Ví dụ 1: Cho tam giác

ABC

vuông tại

A

. Kẻ đường cao

AH

và phân giác

trong

AD

của góc



HAC

. Phân giác trong góc



ABC

cắt

AH,AD

lần lượt tại

M,N

. Chứng minh rằng:





0

BND 90

.

Phân tích và hướng dẫn giải:

Ta có





0

MHD 90

. Nếu





0

MND 90

thì tứ giác

MHDN

nội tiếp. Vì vậy

thay vì trực tiếp chỉ ra góc





0

BND 90

ta sẽ đi chứng minh

tứ giác

MHDN

nội tiếp. Tức là ta chứng minh



AMN ADH

.

Thật vậy ta có



 

  

0

AMN BMH 90 MBH

,



 

0

NDH 90 HAD

mà



 

1 1

MBH ABC,HAD HAC

2 2

và



ABC HAC

do cùng phụ với góc



BCA

từ

đó suy ra



AMN ADH

hay tứ giác

MHDN

nội tiếp

 

  

0

MND MHD 90

VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

Ví dụ 2: Cho tam giác

ABC

có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn

(O)

có trực

tâm là điểm

H

. Gọi

M

là điểm trên dây cung

BC

không chứa điểm

A

(

M

khác

B,C

). Gọi

N,P

theo thứ tự là các điểm đối xứng của

M

qua các

đường thẳng

AB,AC

a) Chứng minh

AHCP

là tứ giác nội tiếp

b)

N,H,P

thẳng hàng.

c) Tìm vị trí của điểm

M

để độ dài đoạn

NP

lớn nhất.

Phân tích và hướng dẫn giải:

a). Giả sử các đường cao của tam giác là

AK,CI

. Để chứng minh

AHCP

là

tứ giác nội tiếp ta sẽ chứng minh



 

0

AHC APC 180

.Mặt khác ta có



AHC IHK

( đối đỉnh),



 APC AMC ABC

( do tính đối xứng và góc nội

tiếp cùng chắn một cung). Như vậy ta chỉ cần chứng minh



 

0

ABC IHK 180

nhưng điều này là hiển nhiên do tứ giác

BIHK

là tứ giác nội tiếp.

b). Để chứng minh

N,H,P

thẳng hàng ta sẽ chứng minh



 

0

NHA AHP 180

do đó ta sẽ tìm cách quy hai góc này về 2 góc đối nhau trong một tứ giác nội

tiếp. Thật vậy

ta có:



AHP ACP

(tính chất góc nội tiếp),



ACP ACM

(1) (Tính chất đối

xứng) . Ta thấy vai trò tứ giác

AHCP

giống với

AHBN

nên ta cũng dễ

chứng minh được

AHBN

là tứ giác nội tiếp từ đó suy ra



AHN ABN

, mặt

khác



ABN ABM

(2) (Tính chất đối xứng) . Từ (1), (2) ta suy ra chỉ cần

VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

chứng minh



 

0

ABM ACM 180

nhưng điều này là hiển nhiên do tứ giác

ABMC

nội tiếp. Vậy



 

0

NHA AHP 180

hay

N,H,P

thẳng hàng.

Chú ý: Đường thẳng qua

N,H,P

chính là đường thẳng Steiners của điểm

M

. Thông qua bài toán này các em học sinh cần nhớ tính chất. Đường thẳng

Steiners của tam giác thì đi qua trực tâm của tam giác đó . (Xem thêm phần

“Các định lý hình học nổi tiếng’’).

c). Ta có



 



   MAN 2BAM,MAP 2MAC NAP 2BAC

. Mặt khác ta có

 AM AN AP

nên các điểm

M,N,P

thuộc đường tròn tâm

A

bán kính

AM

. Áp dụng định lý sin trong tam giác

NAP

ta có:



 NP 2R.sin NAP 2AM.sin 2BAC

. Như vậy

NP

lớn nhất khi và chỉ khi

AM

lớn nhất. Hay

AM

là đường kính của đường tròn

(O)

Ví dụ 3: Cho tam giác

ABC

và đường cao

AH

gọi

M,N

lần lượt là trung

điểm của

AB,AC

. Đường tròn ngoại tiếp tam giác

BHM

cắt đường tròn

ngoại tiếp tam giác

CNH

tại

E

. Chứng minh

AMEN

là tứ giác nội tiếp và

HE

đi qua trung điểm của

MN

.

Phân tích, định hướng cách giải:

Để chứng minh

AMEN

là tứ giác nội tiếp ta sẽ

chứng minh:



 

0

MAN MEN 180

.

Ta cần tìm sự liên hệ của các góc



MAN; MEN

với các góc có sẵn

của những tứ giác nội tiếp khác.

Ta có

 







 





 

         

0 0 0 0

MEN 360 MEH NEH 360 180 ABC 180 ACB ABC ACB



 

0

180 BAC

suy ra



 

0

MEN MAN 180

. Hay tứ giác

AMEN

là tứ giác nội

tiếp.

Kẻ

MK BC

, giả sử

HE

cắt

MN

tại

I

thì

IH

là cát tuyến của hai đường

tròn

(BMH)

,

(CNH)

. Lại có

 MB MH MA

(Tính chất trung tuyến tam

giác vuông). Suy ra tam giác

MBH

cân tại

  M KB KH MK

luôn đi qua

tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

MBH

. Hay

MN

là tiếp tuyến của

Chuyên đề 4: Một số tiêu chuẩn nhận biết tứ giác nội tiếp

Bồi dưỡng HSG Toán 9 chuyên đề 4: Một số tiêu chuẩn nhận biết tứ giác nội tiếp. Tài liệu giúp các bạn học sinh củng cố lại phần kiến thức đã học và kỹ năng giải bài tập, biết cách phân bổ thời gian làm bài sao cho hợp lý. Mời các bạn cùng tham khảo

Bồi dưỡng HSG Toán 9 chuyên đề 4: Một số tiêu chuẩn nhận biết tứ giác nội tiếp được VnDoc đã chia sẻ trên đây. Nội dung gồm lý thuyết và các câu hỏi bài tập trong chuyên đề một số tiêu chuẩn nhận biết tứ giác nội tiếp, chuẩn bị tốt cho kì thi HSG lớp 9 sắp tới. Chúc các bạn học tốt, mời các bạn tham khảo

Ngoài Bồi dưỡng HSG Toán 9 chuyên đề 4: Một số tiêu chuẩn nhận biết tứ giác nội tiếp. Mời các bạn học sinh còn có thể tham khảo các đề thi học kì 1 lớp 9, đề thi học kì 2 lớp 9 các môn Toán, Văn, Anh, Lý, Địa, Sinh mà chúng tôi đã sưu tầm và chọn lọc. Với đề Thi vào lớp 10 năm 2019 này giúp các bạn rèn luyện thêm kỹ năng giải đề và làm bài tốt hơn. Chúc các bạn ôn thi tốt