Bồi dưỡng HSG Toán 9 chuyên đề 4: Một số tiêu chuẩn nhận biết tứ giác nội tiếp

VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
MỘT SỐ TIÊU CHUẨN NHẬN BIẾT TỨ GIÁC NỘI TIẾP - Toán lớp
9
Tiêu chuẩn 1. Điều kiện cần đủ để bốn đỉnh của một tứ giác lồi nằm trên
cùng một đường tròn là tổng số đo của hai góc tứ giác tại hai đỉnh đối diện
bằng
0
180
.
Điều kiện để tứ giác lồi
ABCD
nội tiếp là:
0
A C 180
hoặc
0
B D 180
Hệ quả: Tứ giác
ABCD
nội tiếp được
BAD DCx
Một số dụ
dụ 1: Cho tam giác
ABC
vuông tại
A
. Kẻ đường cao
AH
phân giác
trong
của góc
HAC
. Phân giác trong góc
ABC
cắt
AH,AD
lần lượt tại
M,N
. Chứng minh rằng:
0
BND 90
.
Phân tích hướng dẫn giải:
Ta
0
MHD 90
. Nếu
0
MND 90
thì tứ giác
MHDN
nội tiếp. vậy
thay trực tiếp chỉ ra góc
0
BND 90
ta sẽ đi chứng minh
tứ giác
MHDN
nội tiếp. Tức là ta chứng minh
AMN ADH
.
Thật vậy ta có
0
AMN BMH 90 MBH
,
0
NDH 90 HAD
1 1
MBH ABC,HAD HAC
2 2
ABC HAC
do cùng phụ với góc
BCA
từ
đó suy ra
AMN ADH
hay tứ giác
MHDN
nội tiếp
0
MND MHD 90
VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
dụ 2: Cho tam giác
ABC
3 góc nhọn nội tiếp đường tròn
(O)
trực
tâm điểm
H
. Gọi
M
điểm trên dây cung
BC
không chứa điểm
A
(
M
khác
B,C
). Gọi
N,P
theo thứ tự các điểm đối xứng của
M
qua các
đường thẳng
AB,AC
a) Chứng minh
AHCP
tứ giác nội tiếp
b)
N,H,P
thẳng hàng.
c) Tìm vị trí của điểm
M
để độ dài đoạn
NP
lớn nhất.
Phân tích hướng dẫn giải:
a). Giả sử các đường cao của tam giác
AK,CI
. Để chứng minh
AHCP
tứ giác nội tiếp ta sẽ chứng minh
0
AHC APC 180
.Mặt khác ta
AHC IHK
( đối đỉnh),
APC AMC ABC
( do tính đối xứng góc nội
tiếp cùng chắn một cung). Như vậy ta chỉ cần chứng minh
0
ABC IHK 180
nhưng điều này hiển nhiên do tứ giác
BIHK
tứ giác nội tiếp.
b). Để chứng minh
N,H,P
thẳng hàng ta sẽ chứng minh
0
NHA AHP 180
do đó ta sẽ tìm cách quy hai góc này về 2 góc đối nhau trong một tứ giác nội
tiếp. Thật vậy
ta có:
AHP ACP
(tính chất góc nội tiếp),
ACP ACM
(1) (Tính chất đối
xứng) . Ta thấy vai trò tứ giác
AHCP
giống với
AHBN
nên ta cũng dễ
chứng minh được
AHBN
tứ giác nội tiếp từ đó suy ra
AHN ABN
, mặt
khác
ABN ABM
(2) (Tính chất đối xứng) . Từ (1), (2) ta suy ra chỉ cần
VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
chứng minh
0
ABM ACM 180
nhưng điều này hiển nhiên do tứ giác
ABMC
nội tiếp. Vậy
0
NHA AHP 180
hay
N,H,P
thẳng hàng.
Chú ý: Đường thẳng qua
N,H,P
chính đường thẳng Steiners của điểm
M
. Thông qua bài toán này các em học sinh cần nhớ tính chất. Đường thẳng
Steiners của tam giác thì đi qua trực tâm của tam giác đó . (Xem thêm phần
“Các định hình học nổi tiếng’’).
c). Ta
MAN 2BAM,MAP 2MAC NAP 2BAC
. Mặt khác ta
AM AN AP
nên các điểm
M,N,P
thuộc đường tròn tâm
A
bán kính
AM
. Áp dụng định sin trong tam giác
NAP
ta có:
NP 2R.sin NAP 2AM.sin 2BAC
. Như vậy
NP
lớn nhất khi chỉ khi
AM
lớn nhất. Hay
AM
đường kính của đường tròn
(O)
dụ 3: Cho tam giác
ABC
đường cao
AH
gọi
M,N
lần lượt là trung
điểm của
AB,AC
. Đường tròn ngoại tiếp tam giác
BHM
cắt đường tròn
ngoại tiếp tam giác
CNH
tại
E
. Chứng minh
AMEN
tứ giác nội tiếp
HE
đi qua trung điểm của
MN
.
Phân tích, định hướng cách giải:
Để chứng minh
AMEN
tứ giác nội tiếp ta sẽ
chứng minh:
0
MAN MEN 180
.
Ta cần tìm sự liên hệ của c góc
MAN; MEN
với các góc có sẵn
của những tứ giác nội tiếp khác.
Ta
0 0 0 0
MEN 360 MEH NEH 360 180 ABC 180 ACB ABC ACB
0
180 BAC
suy ra
0
MEN MAN 180
. Hay tứ giác
AMEN
tứ giác nội
tiếp.
Kẻ
MK BC
, giả sử
HE
cắt
MN
tại
I
thì
IH
cát tuyến của hai đường
tròn
(BMH)
,
(CNH)
. Lại
MB MH MA
(Tính chất trung tuyến tam
giác vuông). Suy ra tam giác
MBH
cân tại
M KB KH MK
luôn đi qua
tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
MBH
. Hay
MN
tiếp tuyến của

Chuyên đề 4: Một số tiêu chuẩn nhận biết tứ giác nội tiếp

Bồi dưỡng HSG Toán 9 chuyên đề 4: Một số tiêu chuẩn nhận biết tứ giác nội tiếp. Tài liệu giúp các bạn học sinh củng cố lại phần kiến thức đã học và kỹ năng giải bài tập, biết cách phân bổ thời gian làm bài sao cho hợp lý. Mời các bạn cùng tham khảo

Bồi dưỡng HSG Toán 9 chuyên đề 4: Một số tiêu chuẩn nhận biết tứ giác nội tiếp được VnDoc đã chia sẻ trên đây. Nội dung gồm lý thuyết và các câu hỏi bài tập trong chuyên đề một số tiêu chuẩn nhận biết tứ giác nội tiếp, chuẩn bị tốt cho kì thi HSG lớp 9 sắp tới. Chúc các bạn học tốt, mời các bạn tham khảo

Ngoài Bồi dưỡng HSG Toán 9 chuyên đề 4: Một số tiêu chuẩn nhận biết tứ giác nội tiếp. Mời các bạn học sinh còn có thể tham khảo các đề thi học kì 1 lớp 9, đề thi học kì 2 lớp 9 các môn Toán, Văn, Anh, Lý, Địa, Sinh mà chúng tôi đã sưu tầm và chọn lọc. Với đề Thi vào lớp 10 năm 2019 này giúp các bạn rèn luyện thêm kỹ năng giải đề và làm bài tốt hơn. Chúc các bạn ôn thi tốt

Đánh giá bài viết
1 475
Sắp xếp theo

Thi học sinh giỏi lớp 9

Xem thêm