Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +10
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!

Giải hệ phương trình bằng cách đánh giá

Chuyên đề Toán 9: Giải hệ phương trình nâng cao 

Trong quá trình học Toán, đặc biệt là ở bậc THPT, việc giải hệ phương trình là kỹ năng quan trọng và thường xuyên gặp trong các đề kiểm tra, thi tốt nghiệp hay thi đại học. Ngoài các phương pháp quen thuộc như thế, cộng – trừ, hay đặt ẩn phụ, thì phương pháp đánh giá là một cách tiếp cận thông minh, giúp rút gọn bài toán và tìm nghiệm nhanh hơn. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn chi tiết cách giải hệ phương trình bằng phương pháp đánh giá với lý thuyết rõ ràng, ví dụ minh họa cụ thể và mẹo áp dụng hiệu quả

A. Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp đánh giá

Với phương trình này cần phát hiện các biểu thức không âm trong hệ và nắm vững cách vận dụng các bất đẳng thức cơ bản.

B. Bài tập giải hệ phương trình bằng phương pháp đánh giá

Bài tập 1. Giải hệ phương trình \left\{
\begin{matrix}
y = - x^{3} + 3x + 4 \\
x = 2y^{3} - 6y - 2 \\
\end{matrix} \right.{y=x3+3x+4x=2y36y2.

Hướng dẫn giải

Biến đổi hệ phương trình đã cho \left\{
\begin{matrix}
y - 2 = - (x + 1)^{2}(x - 2) \\
x - 2 = 2(y + 1)^{2}(y - 2) \\
\end{matrix} \right.{y2=(x+1)2(x2)x2=2(y+1)2(y2).

Nếu x > 2x>2 thì từ phương trình (1) suy ra y - 2 < 0y2<0. Điều này mâu thuân với phương trình (2): x - 2;y -
2x2;y2 cùng dấu.

Nếu x < 2x<2. Lập luận tương tự suy ra vô lí.

Nếu x = y = 2x=y=2 thay vào thỏa mãn hệ.

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y) =
(2;2)(x;y)=(2;2).

Bài tập 2. Giải hệ phương trình \left\{
\begin{matrix}
x + \dfrac{2xy}{\sqrt[3]{x^{2} - 2x + 9}} = x^{2} + y \\
y + \dfrac{2xy}{\sqrt[3]{y^{2} - 2y + 9}} = y^{2} + x \\
\end{matrix} \right.{x+2xyx22x+93=x2+yy+2xyy22y+93=y2+x.

Hướng dẫn giải

Cộng vế với vế của hai phương trình ta được:

\frac{2xy}{\sqrt[3]{x^{2} - 2x + 9}} +
\frac{2xy}{\sqrt[3]{y^{2} - 2y + 9}} = x^{2} + y^{2}\ \ \ \ \
(1)2xyx22x+93+2xyy22y+93=x2+y2     (1)

Ta có: \sqrt[3]{x^{2} - 2x + 9} =
\sqrt[3]{(x - 1)^{2} + 2^{3}} \geq 2x22x+93=(x1)2+2332

\Rightarrow \frac{2xy}{\sqrt[3]{x^{2} -
2x + 9}} \leq \frac{2|xy|}{\sqrt[3]{x^{2} - 2x + 9}} \leq
\frac{2|xy|}{2} = |xy|2xyx22x+932|xy|x22x+932|xy|2=|xy|

Tương tự với \frac{2xy}{\sqrt[3]{y^{2} -
2y + 9}} \leq |xy|2xyy22y+93|xy|

Mặt khác x^{2} + y^{2} \geq
2|xy|x2+y22|xy| suy ra VT(1) \leq
VP(1)VT(1)VP(1). Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \left\lbrack \begin{matrix}
x = y = 1 \\
x = y = 0 \\
\end{matrix} \right.[x=y=1x=y=0.

Thử lại ta được nghiệm (x;y) = (0;0) =
(1;1)(x;y)=(0;0)=(1;1)

C. Bài tập tự rèn luyện giải phương trình bằng cách đánh giá

Bài 1. Giải các hệ phương trình sau:

a. \left\{ \begin{matrix}
36x^{2}y - 60x^{2} + 25y = 0 \\
36y^{2}z - 60y^{2} + 25z = 0 \\
36z^{2}x - 60z^{2} + 25x = 0 \\
\end{matrix} \right.{36x2y60x2+25y=036y2z60y2+25z=036z2x60z2+25x=0

Gợi ý: \left\{ \begin{matrix}
y = \dfrac{60x^{2}}{36x^{2} + 25} \\
z = \dfrac{60y^{2}}{36y^{2} + 25} \\
x = \dfrac{60z^{2}}{36z^{2} + 25} \\
\end{matrix} \right.{y=60x236x2+25z=60y236y2+25x=60z236z2+25

Đáp số (x;y;z) = (0;0;0) = \left(
\frac{5}{6};\frac{5}{6};\frac{5}{6} \right)(x;y;z)=(0;0;0)=(56;56;56)

b. \left\{ \begin{matrix}
2x + 2y - \sqrt{xy} = 3 \\
\sqrt{3x + 1} + \sqrt{3y + 1} = 4 \\
\end{matrix} \right.{2x+2yxy=33x+1+3y+1=4

Đáp số (x;y) = (3;3)(x;y)=(3;3)

c. \left\{ \begin{matrix}
\sqrt{x} + \sqrt[4]{32 - x} - y^{2} + 3 = 0 \\
\sqrt[4]{x} + \sqrt{32 - x} + 6y - 24 = 0 \\
\end{matrix} \right.{x+32x4y2+3=0x4+32x+6y24=0

Gợi ý: Cộng hai vế của hai phương trình ta được:

\sqrt{x} + \sqrt{32 - x} + \sqrt[4]{x} +
\sqrt[4]{32 - x} = y^{2} - 6y + 21x+32x+x4+32x4=y26y+21

\Rightarrow VT \leq 12;VP \geq
12VT12;VP12

Đáp số (x;y) = (16;3)(x;y)=(16;3)

Không thể hiển thị hết nội dung tại đây — bấm Tải về để lấy toàn bộ tài liệu.

--------------------------------------------------

Phương pháp đánh giá không chỉ giúp giải hệ phương trình nhanh chóng mà còn rèn luyện tư duy logic và khả năng phán đoán của học sinh. Nếu biết áp dụng đúng cách, đây sẽ là một công cụ cực kỳ hữu ích trong quá trình học và làm bài thi. Hy vọng bài viết đã giúp bạn hiểu và vận dụng thành thạo cách giải hệ phương trình bằng cách đánh giá. Đừng quên luyện tập thêm với các bài tập tự luyện để nâng cao kỹ năng nhé!

Chia sẻ, đánh giá bài viết
1
Chọn file muốn tải về:
Đóng Chỉ thành viên VnDoc PRO/PROPLUS tải được nội dung này!
Đóng
79.000 / tháng
Đặc quyền các gói Thành viên
PRO
Phổ biến nhất
PRO+
Tải tài liệu Cao cấp 1 Lớp
Tải tài liệu Trả phí + Miễn phí
Xem nội dung bài viết
Trải nghiệm Không quảng cáo
Làm bài trắc nghiệm không giới hạn
Mua cả năm Tiết kiệm tới 48%
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
🖼️

Gợi ý cho bạn

Xem thêm
🖼️

Đề thi vào 10 môn Toán

Xem thêm
Chia sẻ
Chia sẻ FacebookChia sẻ TwitterSao chép liên kếtQuét bằng QR Code
Mã QR Code
Đóng