Giải hệ phương trình bằng cách đánh giá
Chuyên đề Toán 10: Giải hệ phương trình nâng cao
Trong quá trình học Toán, đặc biệt là ở bậc THPT, việc giải hệ phương trình là kỹ năng quan trọng và thường xuyên gặp trong các đề kiểm tra, thi tốt nghiệp hay thi đại học. Ngoài các phương pháp quen thuộc như thế, cộng – trừ, hay đặt ẩn phụ, thì phương pháp đánh giá là một cách tiếp cận thông minh, giúp rút gọn bài toán và tìm nghiệm nhanh hơn. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn chi tiết cách giải hệ phương trình bằng phương pháp đánh giá với lý thuyết rõ ràng, ví dụ minh họa cụ thể và mẹo áp dụng hiệu quả
A. Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp đánh giá
Với phương trình này cần phát hiện các biểu thức không âm trong hệ và nắm vững cách vận dụng các bất đẳng thức cơ bản.
B. Bài tập giải hệ phương trình bằng phương pháp đánh giá
Bài tập 1. Giải hệ phương trình 
\(\left\{
\begin{matrix}
y = - x^{3} + 3x + 4 \\
x = 2y^{3} - 6y - 2 \\
\end{matrix} \right.\).
Hướng dẫn giải
Biến đổi hệ phương trình đã cho \(\left\{
\begin{matrix}
y - 2 = - (x + 1)^{2}(x - 2) \\
x - 2 = 2(y + 1)^{2}(y - 2) \\
\end{matrix} \right.\).
Nếu \(x > 2\) thì từ phương trình (1) suy ra \(y - 2 < 0\). Điều này mâu thuân với phương trình (2): \(x - 2;y -
2\) cùng dấu.
Nếu \(x < 2\). Lập luận tương tự suy ra vô lí.
Nếu \(x = y = 2\) thay vào thỏa mãn hệ.
Vậy hệ phương trình có nghiệm \((x;y) =
(2;2)\).
Bài tập 2. Giải hệ phương trình \(\left\{
\begin{matrix}
x + \dfrac{2xy}{\sqrt[3]{x^{2} - 2x + 9}} = x^{2} + y \\
y + \dfrac{2xy}{\sqrt[3]{y^{2} - 2y + 9}} = y^{2} + x \\
\end{matrix} \right.\).
Hướng dẫn giải
Cộng vế với vế của hai phương trình ta được:
\(\frac{2xy}{\sqrt[3]{x^{2} - 2x + 9}} +
\frac{2xy}{\sqrt[3]{y^{2} - 2y + 9}} = x^{2} + y^{2}\ \ \ \ \
(1)\)
Ta có: \(\sqrt[3]{x^{2} - 2x + 9} =
\sqrt[3]{(x - 1)^{2} + 2^{3}} \geq 2\)
\(\Rightarrow \frac{2xy}{\sqrt[3]{x^{2} -
2x + 9}} \leq \frac{2|xy|}{\sqrt[3]{x^{2} - 2x + 9}} \leq
\frac{2|xy|}{2} = |xy|\)
Tương tự với \(\frac{2xy}{\sqrt[3]{y^{2} -
2y + 9}} \leq |xy|\)
Mặt khác \(x^{2} + y^{2} \geq
2|xy|\) suy ra \(VT(1) \leq
VP(1)\). Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\left\lbrack \begin{matrix}
x = y = 1 \\
x = y = 0 \\
\end{matrix} \right.\).
Thử lại ta được nghiệm \((x;y) = (0;0) =
(1;1)\)
C. Bài tập tự rèn luyện giải phương trình bằng cách đánh giá
Bài 1. Giải các hệ phương trình sau:
a. \(\left\{ \begin{matrix}
36x^{2}y - 60x^{2} + 25y = 0 \\
36y^{2}z - 60y^{2} + 25z = 0 \\
36z^{2}x - 60z^{2} + 25x = 0 \\
\end{matrix} \right.\)
Gợi ý: \(\left\{ \begin{matrix}
y = \dfrac{60x^{2}}{36x^{2} + 25} \\
z = \dfrac{60y^{2}}{36y^{2} + 25} \\
x = \dfrac{60z^{2}}{36z^{2} + 25} \\
\end{matrix} \right.\)
Đáp số \((x;y;z) = (0;0;0) = \left(
\frac{5}{6};\frac{5}{6};\frac{5}{6} \right)\)
b. \(\left\{ \begin{matrix}
2x + 2y - \sqrt{xy} = 3 \\
\sqrt{3x + 1} + \sqrt{3y + 1} = 4 \\
\end{matrix} \right.\)
Đáp số \((x;y) = (3;3)\)
c. \(\left\{ \begin{matrix}
\sqrt{x} + \sqrt[4]{32 - x} - y^{2} + 3 = 0 \\
\sqrt[4]{x} + \sqrt{32 - x} + 6y - 24 = 0 \\
\end{matrix} \right.\)
Gợi ý: Cộng hai vế của hai phương trình ta được:
\(\sqrt{x} + \sqrt{32 - x} + \sqrt[4]{x} +
\sqrt[4]{32 - x} = y^{2} - 6y + 21\)
\(\Rightarrow VT \leq 12;VP \geq
12\)
Đáp số \((x;y) = (16;3)\)
Không thể hiển thị hết nội dung tại đây — bấm Tải về để lấy toàn bộ tài liệu.
--------------------------------------------------
Phương pháp đánh giá không chỉ giúp giải hệ phương trình nhanh chóng mà còn rèn luyện tư duy logic và khả năng phán đoán của học sinh. Nếu biết áp dụng đúng cách, đây sẽ là một công cụ cực kỳ hữu ích trong quá trình học và làm bài thi. Hy vọng bài viết đã giúp bạn hiểu và vận dụng thành thạo cách giải hệ phương trình bằng cách đánh giá. Đừng quên luyện tập thêm với các bài tập tự luyện để nâng cao kỹ năng nhé!
