VnDoc.com

Chuyên đề Hệ phương trình ôn thi vào lớp 10

Ôn thi vào lớp 10 môn Toán

Chuyên đề Hệ phương trình ôn thi vào lớp 10

A. Kiến thức cần nhớ về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn số
- 1. Định nghĩa về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn số
- 2. Biện luận số nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn số
B. Một số dạng bài tập hệ phương trình bậc nhất hai ẩn số

Chuyên đề Hệ phương trình ôn thi vào lớp 10 là tài liệu được VnDoc tổng hợp và đăng tải. Tài liệu nhằm giúp các em ôn lại kiến thức về hệ phương trình, nắm chắc định nghĩa từ đó vận dụng tốt vào giải bài tập cũng như nâng cao kỹ năng giải đề. Dưới đây là nội dung chi tiết các em cùng tham khảo chi tiết nhé

Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn số

A. Kiến thức cần nhớ về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn số

1. Định nghĩa về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn số

+ Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng $\left\{ \begin{array}{l} ax + by = c\\ a$ $\left\{ \begin{array}{l} ax + by = c\\ a'x + b'y = c' \end{array} \right.\left( I \right)$

Trong đó a, b, a’ và b’ không đồng thời bằng 0

+ Nếu giá trị của vế trái tại x = x₀; y = y₀ và vế phải bằng nhau thì (x₀; y₀) được gọi là một nghiệm của phương trình (I).

Lưu ý: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, mỗi nghiệm của hệ (I) được biểu diễn bởi một điểm. Nghiệm (x₀; y₀) được biểu diễn bởi điểm có tọa độ (x₀; y₀).

2. Biện luận số nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn số

Với a’, b’, c’ khác 0 thì:

+ Hệ (I) có nghiệm duy nhất khi $\frac{a}{{a$ $\frac{a}{{a'}} \ne \frac{b}{{b'}}$

+ Hệ (I) vô nghiệm khi $\frac{a}{{a$ $\frac{a}{{a'}} = \frac{b}{{b'}} \ne \frac{c}{{c'}}$

+ Hệ (I) có vô số nghiệm khi $\frac{a}{{a$ $\frac{a}{{a'}} = \frac{b}{{b'}} = \frac{c}{{c'}}$

B. Một số dạng bài tập hệ phương trình bậc nhất hai ẩn số

I. Dạng 1: Giải hệ phương trình cơ bản và đưa về dạng cơ bản

a, Phương pháp thế

+ Dùng quy tắc thế biến đổi hệ phương trình đã cho thành một hệ mới trong đó có phương trình một ẩn

+ Giải phương trình một ẩn này rồi suy ra nghiệm của hệ

b, Phương pháp cộng đại số

+ Nhân hai vế của mỗi phương trình với một thừa số phụ sao cho giá trị tuyệt đối của hệ số của một ẩn nào đó trong hai phương trình bằng nhau

+ Dùng quy tắc cộng đại số để được một hệ mới trong đó có một phương trình một ẩn

+ Giải phương trình một ẩn này rồi suy ra nghiệm của hệ

c, Một số ví dụ về giải hệ phương trình bằng phương pháp thế và phương pháp cộng đại số

Bài 1: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

$\left\{ \begin{array}{l} 3x - 2y = 4\\ 2x + y = 5 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3x - 2\left( {5 - 2x} \right) = 4\\ y = 5 - 2x \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3x - 10 + 4x = 4\\ y = 5 - 2x \end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l} 3x - 2y = 4\\ 2x + y = 5 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3x - 2\left( {5 - 2x} \right) = 4\\ y = 5 - 2x \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3x - 10 + 4x = 4\\ y = 5 - 2x \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l} 7x = 14\\ y = 5 - 2x \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 2\\ y = 5 - 2.2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 2\\ y = 1 \end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l} 7x = 14\\ y = 5 - 2x \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 2\\ y = 5 - 2.2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 2\\ y = 1 \end{array} \right.$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (x;y) = (2;1)

Bài 2: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

$\left\{ \begin{array}{l} 3x - 2y = 4\\ 2x + y = 5 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3x - 2y = 4\\ 4x + 2y = 10 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 7x = 14\\ 2x + y = 5 \end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l} 3x - 2y = 4\\ 2x + y = 5 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3x - 2y = 4\\ 4x + 2y = 10 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 7x = 14\\ 2x + y = 5 \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l} x = 2\\ 2.2 + y = 5 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 2\\ y = 1 \end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l} x = 2\\ 2.2 + y = 5 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 2\\ y = 1 \end{array} \right.$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (x;y) = (2;1)

II. Dạng 2. Giải các hệ phương trình sau bằng cách đặt ẩn số phụ

a, Cách giải hệ phương trình bằng cách đặt ẩn phụ

+ Bước 1: Đặt điều kiện để hệ có nghĩa

+ Bước 2: Đặt ẩn phụ và điều kiện của ẩn phụ

+ Bước 3: Giải hệ theo các ẩn phụ đã đặt (sử dụng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số)

+ Bước 4: Trở lại ẩn ban đầu để tìm nghiệm của hệ

b, Ví dụ về bài toán giải hệ phương trình bằng cách đặt ẩn phụ

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{2}{{x + 2y}} + \dfrac{1}{{y + 2x}} = 3\\\dfrac{4}{{x + 2y}} - \dfrac{3}{{y + 2x}} = 1\end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{2}{{x + 2y}} + \dfrac{1}{{y + 2x}} = 3\\\dfrac{4}{{x + 2y}} - \dfrac{3}{{y + 2x}} = 1\end{array} \right.$

Lời giải:

Điều kiện $\left\{ \begin{array}{l} x + 2y \ne 0\\ y + 2x \ne 0 \end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l} x + 2y \ne 0\\ y + 2x \ne 0 \end{array} \right.$

Đặt $a = \frac{1}{{x + 2y}};b = \frac{1}{{y + 2x}}$ $a = \frac{1}{{x + 2y}};b = \frac{1}{{y + 2x}}$

Hệ phương trình đã cho trở thành:

$\left\{ \begin{array}{l} 2a + b = 3\\ 4a - 3b = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 6a + 3b = 9\\ 4a - 3b = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 10a = 10\\ 4a - 3b = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 1\\ b = 1 \end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l} 2a + b = 3\\ 4a - 3b = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 6a + 3b = 9\\ 4a - 3b = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 10a = 10\\ 4a - 3b = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 1\\ b = 1 \end{array} \right.$

Với a = 1 ⇒ $\frac{1}{{x + 2y}} = 1 \Leftrightarrow x + 2y = 1$ $\frac{1}{{x + 2y}} = 1 \Leftrightarrow x + 2y = 1$ (1)

Với b = 1 ⇒ $\frac{1}{{y + 2x}} = 1 \Leftrightarrow y + 2x = 1$ $\frac{1}{{y + 2x}} = 1 \Leftrightarrow y + 2x = 1$ (2)

Từ (1) và (2) ⇒ x = 1 và y = 1 (thỏa mãn)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (x;y) = (1;1)

Ví dụ 2:

Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{gathered} 2\sqrt {x - 1} - \sqrt {y - 1} = 1 \hfill \\ \sqrt {x - 1} + \sqrt {y - 1} = 2 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ $\left\{ \begin{gathered} 2\sqrt {x - 1} - \sqrt {y - 1} = 1 \hfill \\ \sqrt {x - 1} + \sqrt {y - 1} = 2 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Lời giải:

Điều kiện: $\left\{ \begin{gathered} x - 1 \geqslant 0 \hfill \\ y - 1 \geqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x \geqslant 1 \hfill \\ y \geqslant 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ $\left\{ \begin{gathered} x - 1 \geqslant 0 \hfill \\ y - 1 \geqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x \geqslant 1 \hfill \\ y \geqslant 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Đặt $a = \sqrt {x - 1} ;\,\,b = \sqrt {y - 1}$ $a = \sqrt {x - 1} ;\,\,b = \sqrt {y - 1}$

Hệ phương trình đã cho trở thành:

$\left\{ \begin{gathered} 2a - b = 1 \hfill \\ a + b = 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 2a - \left( {2 - a} \right) = 1 \hfill \\ a + b = 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 3a = 3 \hfill \\ a + b = 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a = 1 \hfill \\ b = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ $\left\{ \begin{gathered} 2a - b = 1 \hfill \\ a + b = 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 2a - \left( {2 - a} \right) = 1 \hfill \\ a + b = 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 3a = 3 \hfill \\ a + b = 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a = 1 \hfill \\ b = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

III. Dạng 3. Giải và biện luận hệ phương trình

a, Phương pháp giải:

+ Từ một phương trình của hệ tìm y theo x rồi thế vào phương trình thứ hai để được phương trình bậc nhất đối với x

+ Giả sử phương trình bậc nhất đối với x có dạng: ax = b (1)

+ Biện luận phương trình (1) ta sẽ có sự biện luận của hệ

- Nếu a = 0: (1) trở thành 0x = b

Nếu b = 0 thì hệ có vô số nghiệm

Nếu b $\ne$ $\ne$ 0 thì hệ vô nghiệm

- Nếu a $\ne$ $\ne$ 0 thì (1) $\Rightarrow$ $\Rightarrow$ x = $\frac{b}{a}$ $\frac{b}{a}$, Thay vào biểu thức của x ta tìm y, lúc đó hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

b, Ví dụ về giải và biện luận hệ phương trình:

Giải và biện luận hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l} mx - y = 2m(1)\\ 4x - my = m + 6(2) \end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l} mx - y = 2m(1)\\ 4x - my = m + 6(2) \end{array} \right.$

Từ (1) $\Rightarrow$ $\Rightarrow$ y = mx – 2m, thay vào (2) ta được:

4x – m(mx – 2m) = m + 6 (m² – 4)x = (2m + 3)(m – 2) (3)

+ Nếu m² – 4 $\ne$ $\ne$ 0 hay m $\ne$ $\ne$ $\pm$ $\pm$2 thì x = $\frac{{(2m + 3)(m - 2)}}{{{m^2} - 4}} = \frac{{2m + 3}}{{m + 2}}$ $\frac{{(2m + 3)(m - 2)}}{{{m^2} - 4}} = \frac{{2m + 3}}{{m + 2}}$

Khi đó y = - $\frac{m}{{m + 2}}$ $\frac{m}{{m + 2}}$. Hệ có nghiệm duy nhất: ( $\frac{{2m + 3}}{{m + 2}}$ $\frac{{2m + 3}}{{m + 2}}$ ;- $\frac{m}{{m + 2}}$ $\frac{m}{{m + 2}}$)

+ Nếu m = 2 thì (3) thỏa mãn với mọi x, khi đó y = mx -2m = 2x – 4

Hệ có vô số nghiệm (x, 2x-4) với mọi x thuộc R

+ Nếu m = -2 thì (3) trở thành 0x = 4 . Hệ vô nghiệm

IV. Dạng 4: Xác định giá trị của tham số để hệ có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước

a, Phương pháp giải:

+ Giải hệ phương trình theo tham số

+ Viết x, y của hệ về dạng: n + $\frac{k}{{f(m)}}$ $\frac{k}{{f(m)}}$ với n, k nguyên

+ Tìm m nguyên để f(m) là ước của k

b, Một số ví dụ về bài toán

Ví dụ: Tìm m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên: $\left\{ \begin{array}{l} mx + 2y = m + 1\\ 2x + my = 2m - 1 \end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l} mx + 2y = m + 1\\ 2x + my = 2m - 1 \end{array} \right.$

Lời giải:

$\left\{ \begin{array}{l} mx + 2y = m + 1\\ 2x + my = 2m - 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2mx + 4y = 2m + 2\\ 2mx + {m^2}y = 2{m^2} - m \end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l} mx + 2y = m + 1\\ 2x + my = 2m - 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2mx + 4y = 2m + 2\\ 2mx + {m^2}y = 2{m^2} - m \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l} \left( {{m^2} - 4} \right)y = 2{m^2} - 3m - 2 = \left( {m - 2} \right)\left( {2m + 1} \right)\\ 2x + my = 2m - 1 \end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l} \left( {{m^2} - 4} \right)y = 2{m^2} - 3m - 2 = \left( {m - 2} \right)\left( {2m + 1} \right)\\ 2x + my = 2m - 1 \end{array} \right.$

để hệ có nghiệm duy nhất thì m² – 4 $\ne$ $\ne$ 0 hay m $\ne\pm 2$ $\ne\pm 2$

Vậy với m $\ne\pm 2$ $\ne\pm 2$ hệ phương trình có nghiệm duy nhất

$\left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{{(m - 2)(2m + 1)}}{{{m^2} - 4}} = \dfrac{{2m + 1}}{{m + 2}} = 2 - \dfrac{3}{{m + 2}}\\x = \dfrac{{m - 1}}{{m + 2}} = 1 - \dfrac{3}{{m + 2}}\end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{{(m - 2)(2m + 1)}}{{{m^2} - 4}} = \dfrac{{2m + 1}}{{m + 2}} = 2 - \dfrac{3}{{m + 2}}\\x = \dfrac{{m - 1}}{{m + 2}} = 1 - \dfrac{3}{{m + 2}}\end{array} \right.$

Để x, y là những số nguyên thì m + 2 thuộc Ư(3) = $\left\{ {1; - 1;3; - 3} \right\}$ $\left\{ {1; - 1;3; - 3} \right\}$

Vậy $m \in \left\{ { - 5; - 3; - 1;1} \right\}$ $m \in \left\{ { - 5; - 3; - 1;1} \right\}$

V. Dạng 5: Tìm mối liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào tham số m

Ví dụ: Cho hệ phương trình: $\left\{ \begin{gathered} 2y - x = m + 1 \hfill \\ 2x - y = m - 2 \hfill \\ \end{gathered} \right.\left( I \right)$ $\left\{ \begin{gathered} 2y - x = m + 1 \hfill \\ 2x - y = m - 2 \hfill \\ \end{gathered} \right.\left( I \right)$.Tìm một hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.

Lời giải:

$\left\{ \begin{gathered} 2y - x = m + 1 \hfill \\ 2x - y = m - 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 4y - 2x = 2m + 2 \hfill \\ 2x - y = m - 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 3y = 3m \hfill \\ 2x - y = m - 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} y = m \hfill \\ x = m - 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ $\left\{ \begin{gathered} 2y - x = m + 1 \hfill \\ 2x - y = m - 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 4y - 2x = 2m + 2 \hfill \\ 2x - y = m - 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 3y = 3m \hfill \\ 2x - y = m - 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} y = m \hfill \\ x = m - 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Có x - y = m - 1 - m = -1

Vậy hệ thức x - y là một hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.

Để luyện thêm các dạng bài tập về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, mời các bạn học sinh tải tài liệu về!

Ngoài ra, VnDoc.com đã thành lập group chia sẻ tài liệu học tập THCS miễn phí trên Facebook: Tài liệu học tập lớp 9. Mời các bạn học sinh tham gia nhóm, để có thể nhận được những tài liệu mới nhất.

Chuyên đề Hệ phương trình ôn thi vào lớp 10 được vnDoc chia sẻ trên đây. Chắc hẳn qua bài viết bạn đọc đã nắm được những ý chính cũng như trau dồi được nội dung kiến thức của bài viết rồi đúng không ạ? Bài viết cho chúng ta thấy được các nội dung kiến thức của chuyên đề hệ phương trình ôn thi vào lớp 10. Hy vọng thông qua tài liệu này sẽ giúp ích cho các em có thêm tài liệu luyện tập, nắm chắc kiến thức chuẩn bị tốt cho kì thi quan trọng và đặc biệt là kì thi vào lớp 10 sắp tới. Chúc các em ôn tập tốt, nếu thấy tài liệu hay, hãy chia sẻ cho các bạn cùng tham khảo nhé

-----------------

Ngoài chuyên đề giải hệ phương trình Toán 9, để giúp các bạn có thêm nhiều tài liệu học tập hơn nữa, VnDo.ccom mời các bạn học sinh cùng tham khảo thêm tài liệu học tập các môn đề thi học kì 2 các môn Toán, Văn, Anh, Lý, Hóa, ... và các đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán mà chúng tôi đã sưu tầm và chọn lọc. Với bài tập về chuyên đề này giúp các bạn rèn luyện thêm kỹ năng giải đề và làm bài tốt hơn. Chúc các bạn học tập tốt!

	Đặt câu hỏi về học tập, giáo dục, giải bài tập của bạn tại chuyên mục Hỏi đáp của VnDoc
Hỏi - Đáp	Truy cập ngay: Hỏi - Đáp học tập