Chuyên đề Hệ phương trình ôn thi vào lớp 10

Chuyên đề Hệ phương trình ôn thi vào lớp 10

Chuyên đề Hệ phương trình ôn thi vào lớp 10 là tài liệu được VnDoc sưu tầm để ôn thi vào lớp 10 môn Toán theo chuyên đề, giúp các bạn học sinh lớp 9 tổng hợp lại kiến thức về hệ phương trình để chuẩn bị cho kì thi vào lớp 10 sắp tới. Tài liệu này hướng dẫn các bạn phương pháp giải các dạng hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. Chúc các bạn ôn tập tốt và đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp tới.

Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn số

A. Kiến thức cần nhớ về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn số

1. Định nghĩa về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn số

+ Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng \left\{ \begin{array}{l} ax + by = c\\ a'x + b'y = c' \end{array} \right.\left( I \right)

Trong đó a, b, a’ và b’ không đồng thời bằng 0

2. Biện luận số nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn số

Với a’, b’, c’ khác 0 thì:

+ Hệ (I) có nghiệm duy nhất khi \frac{a}{{a'}} \ne \frac{b}{{b'}}

+ Hệ (I) vô nghiệm khi \frac{a}{{a'}} = \frac{b}{{b'}} \ne \frac{c}{{c'}}

+ Hệ (I) có vô số nghiệm khi \frac{a}{{a'}} = \frac{b}{{b'}} = \frac{c}{{c'}}

B. Một số dạng bài tập hệ phương trình bậc nhất hai ẩn số

I. Dạng 1: Giải hệ phương trình có bản và đưa về dạng cơ bản

a, Phương pháp thế

+ Dùng quy tắc thế biến đổi hệ phương trình đã cho thành một hệ mới trong đó có phương trình một ẩn

+ Giải phương trình một ẩn này rồi duy ra nghiệm của hệ

b, Phương pháp cộng đại số

+ Nhân hai vế của mỗi phương trình với một thừa số phụ sao cho giá trị tuyệt đối của hệ số của một ẩn nào đó trong hai phương trình bằng nhau

+ Dùng quy tắc cộng đại số để được một hệ mới trong đó có một phương trình một ẩn

+ Giải phương trình một ẩn này rồi suy ra nghiệm của hệ

c, Một số ví dụ về giải hệ phương trình bằng phương pháp thế và phương pháp cộng đại số

Bài 1: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

\left\{ \begin{array}{l} 3x - 2y = 4\\ 2x + y = 5 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3x - 2\left( {5 - 2x} \right) = 4\\ y = 5 - 2x \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3x - 10 + 4x = 4\\ y = 5 - 2x \end{array} \right.

\left\{ \begin{array}{l} 7x = 14\\ y = 5 - 2x \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 2\\ y = 5 - 2.2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 2\\ y = 1 \end{array} \right.

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (x;y) = (2;1)

Bài 2: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

\left\{ \begin{array}{l} 3x - 2y = 4\\ 2x + y = 5 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3x - 2y = 4\\ 4x + 2y = 10 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 7x = 14\\ 2x + y = 5 \end{array} \right.

\left\{ \begin{array}{l} x = 2\\ 2.2 + y = 5 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 2\\ y = 1 \end{array} \right.

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (x;y) = (2;1)

II. Dạng 2. Giải các hệ phương trình sau bằng cách đặt ẩn số phụ

a, Cách giải hệ phương trình bằng cách đặt ẩn phụ

+ Bước 1: Đặt điều kiện để hệ có nghĩa

+ Bước 2: Đặt ẩn phụ và điều kiện của ẩn phụ

+ Bước 3: Giải hệ theo các ẩn phụ đã đặt (sử dụng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số)

+ Bước 4: Trở lại ẩn ban đầu để tìm nghiệm của hệ

b, Ví dụ về bài toán giải hệ phương trình bằng cách đặt ẩn phụ

Giải hệ phương trình: \left\{ \begin{array}{l} \frac{2}{{x + 2y}} + \frac{1}{{y + 2x}} = 3\\ \frac{4}{{x + 2y}} - \frac{3}{{y + 2x}} = 1 \end{array} \right.

Điều kiện \left\{ \begin{array}{l} x + 2y \ne 0\\ y + 2x \ne 0 \end{array} \right.

Đặt a = \frac{1}{{x + 2y}};b = \frac{1}{{y + 2x}}

Hệ phương trình đã cho trở thành:

\left\{ \begin{array}{l} 2a + b = 3\\ 4a - 3b = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 6a + 3b = 9\\ 4a - 3b = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 10a = 10\\ 4a - 3b = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 1\\ b = 1 \end{array} \right.

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (x;y) = (1;1)

III. Dạng 3. Giải và biện luận hệ phương trình

a, Phương pháp giải:

+ Từ một phương trình của hệ tìm y theo x rồi thế vào phương trình thứ hai để được phương trình bậc nhất đối với x

+ Giả sử phương trình bậc nhất đối với x có dạng: ax = b (1)

+ Biện luận phương trình (1) ta sẽ có sự biện luận của hệ

- Nếu a = 0: (1) trở thành 0x = b

Nếu b = 0 thì hệ có vô số nghiệm

Nếu b \ne 0 thì hệ vô nghiệm

- Nếu a \ne 0 thì (1) \Rightarrow x = \frac{b}{a}, Thay vào biểu thức của x ta tìm y, lúc đó hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

b, Ví dụ về giải và biện luận hệ phương trình: 

Giải và biện luận hệ phương trình: \left\{ \begin{array}{l} mx - y = 2m(1)\\ 4x - my = m + 6(2) \end{array} \right.

Từ (1) \Rightarrow y = mx – 2m, thay vào (2) ta được:

4x – m(mx – 2m) = m + 6 (m2 – 4)x = (2m + 3)(m – 2) (3)

+ Nếu m2 – 4 \ne 0 hay m \ne \pm2 thì x = \frac{{(2m + 3)(m - 2)}}{{{m^2} - 4}} = \frac{{2m + 3}}{{m + 2}}

Khi đó y = - \frac{m}{{m + 2}}. Hệ có nghiệm duy nhất: (\frac{{2m + 3}}{{m + 2}} ;- \frac{m}{{m + 2}})

+ Nếu m = 2 thì (3) thỏa mãn với mọi x, khi đó y = mx -2m = 2x – 4

Hệ có vô số nghiệm (x, 2x-4) với mọi x thuộc R

+ Nếu m = -2 thì (3) trở thành 0x = 4 . Hệ vô nghiệm

IV. Dạng 4: Xác định giá trị của tham số để hệ có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước

a, Phương pháp giải:

+ Giải hệ phương trình theo tham số

+ Viết x, y của hệ về dạng: n + \frac{k}{{f(m)}} với n, k nguyên

+ Tìm m nguyên để f(m) là ước của k

b, Một số ví dụ về bài toán

Tìm m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên: \left\{ \begin{array}{l} mx + 2y = m + 1\\ 2x + my = 2m - 1 \end{array} \right.

\left\{ \begin{array}{l} mx + 2y = m + 1\\ 2x + my = 2m - 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2mx + 4y = 2m + 2\\ 2mx + {m^2}y = 2{m^2} - m \end{array} \right.

\left\{ \begin{array}{l} \left( {{m^2} - 4} \right)y = 2{m^2} - 3m - 2 = \left( {m - 2} \right)\left( {2m + 1} \right)\\ 2x + my = 2m - 1 \end{array} \right.

để hệ có nghiệm duy nhất thì m2 – 4 \ne 0 hay m \ne\pm 2

Vậy với m \ne\pm 2 hệ phương trình có nghiệm duy nhất

\left\{ \begin{array}{l} y = \frac{{(m - 2)(2m + 1)}}{{{m^2} - 4}} = \frac{{2m + 1}}{{m + 2}} = 2 - \frac{3}{{m + 2}}\\ x = \frac{{m - 1}}{{m + 2}} = 1 - \frac{3}{{m + 2}} \end{array} \right.

Để x, y là những số nguyên thì m + 2 thuộc Ư(3) = \left\{ {1; - 1;3; - 3} \right\}

Vậy m \in \left\{ { - 5; - 3; - 1;1} \right\}

Để luyện thêm các dạng bài tập về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, mời các bạn học sinh tải tài liệu về!

-----------------

Ngoài chuyên đề giải hệ phương trình Toán 9, mời các bạn học sinh tham khảo thêm các đề thi học kì 2 các môn Toán, Văn, Anh, Lý, Hóa, ... và các đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán mà chúng tôi đã sưu tầm và chọn lọc. Với bài tập về chuyên đề này giúp các bạn rèn luyện thêm kỹ năng giải đề và làm bài tốt hơn. Chúc các bạn học tập tốt!

Đánh giá bài viết
174 151.075
1 Bình luận
Sắp xếp theo
  • Tài Liệu Miễn Phí
    Tài Liệu Miễn Phí Có bài tập giải bài toán bằng cách lập phương trình không ak?
    Thích Phản hồi 10:55 08/07
Luyện thi Xem thêm