VnDoc.com

Giải hệ phương trình bằng cách đặt ẩn phụ nâng cao

Bài tập Toán 9 Có đáp án chi tiết

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 9

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Mức độ: Khó

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Cách đặt ẩn phụ giải hệ phương trình

A. Bài tập minh họa cách giải hệ phương trình bằng cách đặt ẩn phụ
B. Bài tập rèn luyện giải hệ phương trình bằng cách đặt ẩn phụ
C. Đáp án bài tập rèn luyện

Phương pháp đặt ẩn phụ là kỹ thuật quan trọng trong việc giải các hệ phương trình nâng cao, đặc biệt là những bài toán có chứa biểu thức phức tạp hoặc đối xứng. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn cách giải hệ phương trình bằng đặt ẩn phụ nâng cao một cách dễ hiểu, đi kèm với ví dụ minh họa và lời giải chi tiết. Đây là tài liệu lý tưởng dành cho học sinh đang ôn luyện cho các kỳ thi học sinh giỏi, thi vào 10 hoặc cần nâng cao kỹ năng giải toán. Cùng tìm hiểu ngay!

A. Bài tập minh họa cách giải hệ phương trình bằng cách đặt ẩn phụ

Bài 1. Giải hệ phương trình : $\left\{ \begin{matrix} x + 2\sqrt{(x - y)(y + 1)} = 4y + 3 \\ 3\sqrt{y + 1} = 3x - 5y \\ \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} x + 2\sqrt{(x - y)(y + 1)} = 4y + 3 \\ 3\sqrt{y + 1} = 3x - 5y \\ \end{matrix} \right.$

Hướng dẫn giải

Điều kiện: $\left\{ \begin{matrix} x \geq y \\ y \geq - 1 \\ \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} x \geq y \\ y \geq - 1 \\ \end{matrix} \right.$

Đặt $u = \sqrt{x - y},v = \sqrt{y + 1},u \geq 0,v \geq 0$ $u = \sqrt{x - y},v = \sqrt{y + 1},u \geq 0,v \geq 0$

$(1)$ Hệ trở thành $u^{2} + 2uv - 3v^2 = 0 \Leftrightarrow u =v$ $u^{2} + 2uv - 3v^2 = 0 \Leftrightarrow u =v$ (vì $u = - 3v$ loại)

$\Rightarrow x = 2y + 1$ $\Rightarrow x = 2y + 1$ thay vào $(2)$ $3\sqrt{y + 1} = y + 1 \Leftrightarrow y = 8$ $3\sqrt{y + 1} = y + 1 \Leftrightarrow y = 8$ ($y = - 1$ không thỏa mãn)

Vậy hệ có một nghiệm $(17;8)$

Bài 2. Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{matrix} 1 + x^2y^2 + 5xy = 7x^{2} \\ 1 + xy + 3y = 5x \\ \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} 1 + x^2y^2 + 5xy = 7x^{2} \\ 1 + xy + 3y = 5x \\ \end{matrix} \right.$

Hướng dẫn giải

Thay x = 0 vào hệ ta thấy không thỏa hệ.

Với $x \neq 0$ $x \neq 0$ hệ $\begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} \dfrac{1}{x^2} + y^{2} + \dfrac{5y}{x} = 7 \\ \dfrac{1}{x} + y + 3\dfrac{y}{x} = 5 \\ \end{matrix} \right.\ \\ \\ \end{matrix}$ $\begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} \dfrac{1}{x^2} + y^{2} + \dfrac{5y}{x} = 7 \\ \dfrac{1}{x} + y + 3\dfrac{y}{x} = 5 \\ \end{matrix} \right.\ \\ \\ \end{matrix}$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \left( \dfrac{1}{x} + y \right)^{2} - 2.\dfrac{1}{x}.y + \dfrac{5y}{x} = 7 \\ \dfrac{1}{x} + y + 3\dfrac{y}{x} = 5 \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \left( \dfrac{1}{x} + y \right)^{2} - 2.\dfrac{1}{x}.y + \dfrac{5y}{x} = 7 \\ \dfrac{1}{x} + y + 3\dfrac{y}{x} = 5 \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \left( \dfrac{1}{x} + y \right)^{2} + 3\dfrac{y}{x} = 7 \\ \dfrac{1}{x} + y + 3\dfrac{y}{x} = 5 \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \left( \dfrac{1}{x} + y \right)^{2} + 3\dfrac{y}{x} = 7 \\ \dfrac{1}{x} + y + 3\dfrac{y}{x} = 5 \\ \end{matrix} \right.$

Đặt $\left\{ \begin{matrix} u = \dfrac{1}{x} + y \\ v = \dfrac{y}{x} \\ \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} u = \dfrac{1}{x} + y \\ v = \dfrac{y}{x} \\ \end{matrix} \right.$

Hệ trở thành $\left\{ \begin{matrix} u^{2} + 3v = 7\ \ \ (1) \\ u + 3v = 5\ \ \ \ \ (2) \\ \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} u^{2} + 3v = 7\ \ \ (1) \\ u + 3v = 5\ \ \ \ \ (2) \\ \end{matrix} \right.$

Giải được $\left\lbrack \begin{matrix} u = - 1;v = 2 \\ u = 2;v = 1 \\ \end{matrix} \right.$ $\left\lbrack \begin{matrix} u = - 1;v = 2 \\ u = 2;v = 1 \\ \end{matrix} \right.$

Với $u = - 1 \Rightarrow v =2$ $u = - 1 \Rightarrow v =2$

Ta có $\left\{ \begin{matrix} \dfrac{1}{x} + y = - 1 \\ \dfrac{y}{x} = 2 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \dfrac{1}{x} + 2x = - 1 \\ y = 2x \\ \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} \dfrac{1}{x} + y = - 1 \\ \dfrac{y}{x} = 2 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \dfrac{1}{x} + 2x = - 1 \\ y = 2x \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2x^{2} + x + 1 = 0\ \ \ (VN) \\ y = 2x \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2x^{2} + x + 1 = 0\ \ \ (VN) \\ y = 2x \\ \end{matrix} \right.$

Với $u = 2 \Rightarrow v= 1$ $u = 2 \Rightarrow v= 1$ ta có

Ta có $\left\{ \begin{matrix} \frac{1}{x} + y = 2 \\ \frac{y}{x} = 1 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \frac{1}{x} + x = 2 \\ y = x \\ \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} \frac{1}{x} + y = 2 \\ \frac{y}{x} = 1 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \frac{1}{x} + x = 2 \\ y = x \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x^{2} - 2x + 1 = 0\ \\ y = x \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 1\ \\ y = 1 \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x^{2} - 2x + 1 = 0\ \\ y = x \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 1\ \\ y = 1 \\ \end{matrix} \right.$

Bài 3. Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{matrix} x^{2} + x^{3}y - xy^{2} + xy - y = 1 \\ x^{4} + y^{2} - xy(2x - 1) = 1 \\ \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} x^{2} + x^{3}y - xy^{2} + xy - y = 1 \\ x^{4} + y^{2} - xy(2x - 1) = 1 \\ \end{matrix} \right.$

Hướng dẫn giải

Phương trình $\Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow$ $\left\{ \begin{matrix} (x^{2} - 2)^{2} + (y - 3)^{2} = 4^{} \\ x^{2}(y + 1) + 2y - 22 = 0 \\ \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} (x^{2} - 2)^{2} + (y - 3)^{2} = 4^{} \\ x^{2}(y + 1) + 2y - 22 = 0 \\ \end{matrix} \right.$

Đặt $\left\{ \begin{matrix} u = x^{2} - 2 \\ v = y - 3 \\ \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} u = x^{2} - 2 \\ v = y - 3 \\ \end{matrix} \right.$ lúc đó hệ trở thành: $\left\{ \begin{matrix} u^{2} + v^{2} = 4 \\ uv + 4(u + v) - 8 = 0 \\ \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} u^{2} + v^{2} = 4 \\ uv + 4(u + v) - 8 = 0 \\ \end{matrix} \right.$

Đặt S=u+v; P=uv; $S^{2} \geq 4P$ $S^{2} \geq 4P$

Hệ trở thành: $\left\{ \begin{matrix} S^2- 2P = 4 \\ P + 4S - 8 = 0 \\ \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} S^2- 2P = 4 \\ P + 4S - 8 = 0 \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} S^{2} + 8S - 20 = 0 \\ P = 8 - 4S \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} S^{2} + 8S - 20 = 0 \\ P = 8 - 4S \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow$ $\left\lbrack \begin{matrix} S = - 10;P = 48 \\ S = 2;P = 0(KTM) \\ \end{matrix} \right.$ $\left\lbrack \begin{matrix} S = - 10;P = 48 \\ S = 2;P = 0(KTM) \\ \end{matrix} \right.$

Lúc đó, $\left\lbrack \begin{matrix} u = 0;v = 2 \\ u = 2;v = 0 \\ \end{matrix} \right.$ $\left\lbrack \begin{matrix} u = 0;v = 2 \\ u = 2;v = 0 \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = \pm \sqrt{2};y = 5 \\ x = \pm 2;y = 3 \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = \pm \sqrt{2};y = 5 \\ x = \pm 2;y = 3 \\ \end{matrix} \right.$

Vậy nghiệm của hệ: $\left( \pm \sqrt{2};5 \right);( \pm 2;3)$ $\left( \pm \sqrt{2};5 \right);( \pm 2;3)$.

Bài 4. Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix} x^{2} + xy + 2y = 2y^{2} + 2x \\ y\sqrt{x - y + 1} + x = 2 \\ \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} x^{2} + xy + 2y = 2y^{2} + 2x \\ y\sqrt{x - y + 1} + x = 2 \\ \end{matrix} \right.$

Hướng dẫn giải

Điều kiện: $x - y + 1 \geq 0$ $x - y + 1 \geq 0$

Hệ phương trình $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} (x - y)(x + 2y - 2) = 0 \\ y\sqrt{x - y + 1} + x = 2 \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} (x - y)(x + 2y - 2) = 0 \\ y\sqrt{x - y + 1} + x = 2 \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} x = y \\ 2y = 2 \\ \end{matrix} \right.\ \\ \left\{ \begin{matrix} x = 2 - 2y \\ y(\sqrt{3 - 3y} - 2) = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} x = y \\ 2y = 2 \\ \end{matrix} \right.\ \\ \left\{ \begin{matrix} x = 2 - 2y \\ y(\sqrt{3 - 3y} - 2) = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = y = 1 \\ \left\{ \begin{matrix} x = 2 \\ y = 0 \\ \end{matrix} \vee \left\{ \begin{matrix} x = \frac{8}{3} \\ y = - \frac{1}{3} \\ \end{matrix} \right.\ \right.\ \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = y = 1 \\ \left\{ \begin{matrix} x = 2 \\ y = 0 \\ \end{matrix} \vee \left\{ \begin{matrix} x = \frac{8}{3} \\ y = - \frac{1}{3} \\ \end{matrix} \right.\ \right.\ \\ \end{matrix} \right.$

Kết luận nghiệm của hệ phương trình

B. Bài tập rèn luyện giải hệ phương trình bằng cách đặt ẩn phụ

Bài 1. Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{matrix} 2x^{2} + 4xy + 5y^{2} = 5 \\ (x + 1)^{2} - 2y^{2} + y = 0 \\ \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} 2x^{2} + 4xy + 5y^{2} = 5 \\ (x + 1)^{2} - 2y^{2} + y = 0 \\ \end{matrix} \right.$.

Bài 2. Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{matrix} x^{2} + y^{2} + \dfrac{8xy}{x + y} = 16 \\ \sqrt{x + y} = x^{2} - y \\ \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} x^{2} + y^{2} + \dfrac{8xy}{x + y} = 16 \\ \sqrt{x + y} = x^{2} - y \\ \end{matrix} \right.$.

Bài 3. Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{matrix} x^{3} - 6x^{2}y + 9xy^{2} - 4y^{3} = 0 \\ \sqrt{x - y} + \sqrt{x + y} = 2 \\ \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} x^{3} - 6x^{2}y + 9xy^{2} - 4y^{3} = 0 \\ \sqrt{x - y} + \sqrt{x + y} = 2 \\ \end{matrix} \right.$

C. Đáp án bài tập rèn luyện

Bài 1.

Hệ tương đương với $\left\{ \begin{matrix} (2x + y)^{2} - 2\left( x^{2} - 2y^{2} \right) = 5 \\ (2x + y) + \left( x^{2} - 2y^{2} \right) = - 1 \\ \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} (2x + y)^{2} - 2\left( x^{2} - 2y^{2} \right) = 5 \\ (2x + y) + \left( x^{2} - 2y^{2} \right) = - 1 \\ \end{matrix} \right.$

Đặt $\left\{ \begin{matrix} u = 2x + y \\ v = x^{2} - 2y^{2} \\ \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} u = 2x + y \\ v = x^{2} - 2y^{2} \\ \end{matrix} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} u - 2v = 5 \\ u + v = - 1 \\ \end{matrix} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} u - 2v = 5 \\ u + v = - 1 \\ \end{matrix} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} u = 1 \\ v = - 2 \\ \end{matrix} \right.\ \vee \left\{ \begin{matrix} u = - 3 \\ v = 2 \\ \end{matrix} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} u = 1 \\ v = - 2 \\ \end{matrix} \right.\ \vee \left\{ \begin{matrix} u = - 3 \\ v = 2 \\ \end{matrix} \right.$

Với $\left\{ \begin{matrix} u = 1 \\ v = - 2 \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow (0;1) \vee \left( \frac{8}{7};\frac{- 9}{7} \right)$ $\left\{ \begin{matrix} u = 1 \\ v = - 2 \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow (0;1) \vee \left( \frac{8}{7};\frac{- 9}{7} \right)$

Với $\left\{ \begin{matrix} u = - 3 \\ v = 2 \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow ( - 2;1) \vee \left( \frac{- 10}{7};\frac{- 1}{7} \right)$ $\left\{ \begin{matrix} u = - 3 \\ v = 2 \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow ( - 2;1) \vee \left( \frac{- 10}{7};\frac{- 1}{7} \right)$

Tài liệu dài, tải về để xem chi tiết và đầy đủ nhé!

------------------------------------

Hy vọng bài viết đã giúp bạn hiểu rõ cách giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ nâng cao và biết vận dụng linh hoạt vào các dạng toán khó. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập để thành thạo kỹ năng và nâng cao tư duy giải toán. Nếu thấy bài viết hữu ích, đừng quên chia sẻ với bạn bè và lưu lại làm tài liệu ôn tập nhé!

Tải về

Chọn file muốn tải về: