Các dạng toán rút gọn ôn thi vào lớp 10 có đáp án

Các dạng toán rút gọn ôn thi vào lớp 10

Các dạng toán rút gọn ôn thi vào lớp 10 được VnDoc sưu tầm và đăng tải xin gửi tới bạn đọc cùng tham khảo. Các dạng toán rút gọn thường hay xuất hiện trong các đề thi Toán vào lớp 10, vì vậy các em học sinh cần nắm vững các dạng bài tập này. Thông qua tài liệu này sẽ giúp các em củng cố kiến thức, làm quen với các dạng đề thi môn Toán. Tài liệu gồm các bài tập từ cơ bản đến nâng cao, mỗi một câu hỏi sẽ kèm theo đáp án để các em tham khảo, so sánh đánh giá kết quả. Sau đây mời các bạn tham khảo chi tiết. 

Để chuẩn bị cho kì thi tuyển sinh vào lớp 10 sắp tới, các em học sinh cần thực hành luyện đề để làm quen với nhiều dạng đề khác nhau cũng như nắm được cấu trúc đề thi. Chuyên mục Đề thi vào lớp 10 trên VnDoc tổng hợp đề thi của tất cả các môn, là tài liệu phong phú và hữu ích cho các em ôn tập và luyện đề. Mời thầy cô và các em tham khảo.

• Các dạng Toán thi vào 10
• Chuyên đề rút gọn biểu thức và bài toán phụ
• Các dạng Toán cơ bản lớp 9 ôn thi vào lớp 10
• Một số bài Toán Thực tế thường gặp trong đề tuyển sinh vào 10
• Các dạng Toán Đại Số thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào 10
• 62 Bài tập Hình học lớp 9 ôn thi vào lớp 10

Câu 1: Cho biểu thức P = \(\left( \frac{1}{x - \sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x} - 1} \right):\frac{\sqrt{x}}{x - 2\sqrt{x} + 1}\)(với x > 0, x \(\neq\)1)

a. Rút gọn biểu thức P.

b. Tìm các giá trị của x để P > \(\frac{1}{2}\).

Hướng dẫn giải

a) Thực hiện rút gọn biểu thức như sau:

\(P = \left( \frac{1}{x - \sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x} - 1} \right):\frac{\sqrt{x}}{x - 2\sqrt{x} + 1}\)

\(= \left( \frac{1}{\sqrt{x}\left( \sqrt{x} - 1 \right)} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left( \sqrt{x} - 1 \right)} \right).\frac{\left( \sqrt{x} - 1 \right)^{2}}{\sqrt{x}}\)

\(= \frac{1 + \sqrt{x}}{\sqrt{x}\left( \sqrt{x} - 1 \right)}.\frac{\left( \sqrt{x} - 1 \right)^{2}}{\sqrt{x}} = \frac{\left( \sqrt{x} + 1 \right)\left( \sqrt{x} - 1 \right)}{\sqrt{x}.\sqrt{x}} = \frac{x - 1}{x}\)

b) Với x > 0, x \(\neq\)1 thì \(\frac{x - 1}{x} > \frac{1}{2} \Leftrightarrow 2(x - 1) > x \Leftrightarrow x\ > \ 2\).

Vậy với x > 2 thì P > \(\frac{1}{2}\).

Câu 2: Rút gọn biểu thức:

A = \(\left( \frac{1}{x - 4} - \frac{1}{x + 4\sqrt{x} + 4} \right).\frac{x + 2\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\) ( với x > 0, x \(\neq\) 4 ).

B = \(\left( \frac{\sqrt{b}}{a - \sqrt{ab}} - \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{ab} - b} \right).\left( a\sqrt{b} - b\sqrt{a} \right)\) ( với a > 0, b > 0, a \(\neq\)b)

Hướng dẫn giải

Thực hiện thu gọn biểu thức

\(A = \left( \frac{1}{x - 4} - \frac{1}{x + 4\sqrt{x} + 4} \right).\frac{x + 2\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\)

\(= \ \left( \frac{1}{\left( \sqrt{x} - 2 \right)\left( \sqrt{x} + 2 \right)} - \frac{1}{(\sqrt{x} + 2)^{2}} \right).\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}\ + \ 2)}{\sqrt{x}}\)

\(= \frac{1}{\sqrt{x} - 2} - \frac{1}{\sqrt{x} + 2} = \frac{\left( \sqrt{x} + 2 \right) - \left( \sqrt{x} - 2 \right)}{x - 4} = \frac{4}{x - 4}\)

Ta có:

\(B = \ \left( \frac{\sqrt{b}}{a - \sqrt{ab}} - \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{ab} - b} \right).\left( a\sqrt{b} - b\sqrt{a} \right)\)

\(= \left( \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}\left( \sqrt{a} - \sqrt{b} \right)} - \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}\left( \sqrt{a} - \sqrt{b} \right)} \right).\sqrt{ab}\left( \sqrt{a} - \sqrt{b} \right)\)

\(= \frac{\sqrt{b}.\sqrt{ab}}{\sqrt{a}} - \frac{\sqrt{a}.\sqrt{ab}}{\sqrt{b}} = b - a.\ (a > 0,\ b > 0,\ a \neq b)\)

Câu 3: Cho biểu thức A = \(\left( \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} - 1} - \frac{\sqrt{a}}{a - \sqrt{a}} \right):\frac{\sqrt{a} + 1}{a - 1}\) với a > 0, a \(\neq\) 1

a) Rút gọn biểu thức A.

b) Tìm các giá trị của a để A < 0.

Hướng dẫn giải

a. Thực hiện thu gọn biểu thức A:

\(\ A = \left( \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} - 1} - \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}(\sqrt{a} - 1)} \right):\frac{\sqrt{a} + 1}{(\sqrt{a} - 1)(\sqrt{a} + 1)}\)

\(= \left( \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} - 1} - \frac{1}{(\sqrt{a} - 1)} \right).\left( \sqrt{a} - 1 \right) = \sqrt{a} - 1\)

b) Ta có: A < 0 \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a > 0,\ a \neq 1 \\ \sqrt{a} < 1 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow 0 < a < 1\).

Câu 4: Rút gọn biểu thức:

A = \(\left( \frac{3\sqrt{x} + 6}{x - 4} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 2} \right):\frac{x - 9}{\sqrt{x} - 3}\) với \(x\ \geq \ 0,\ x\ \neq \ 4,\ x\ \neq \ 9\).

\(\ B = \left( \frac{1 - a\sqrt{a}}{1 - \sqrt{a}}\ + \ \sqrt{a} \right)\left( \frac{1 - \sqrt{a}}{1 - a} \right)^{2}\) với a ≥ 0 và a ≠ 1.

Hướng dẫn giải

Ta có: A \(= \left( \frac{3(\sqrt{x} + 2)}{\left( \sqrt{x} - 2 \right)\left( \sqrt{x} + 2 \right)} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 2} \right):\frac{\left( \sqrt{x} - 3 \right)\left( \sqrt{x} + 3 \right)}{\sqrt{x} - 3}\)

\(= \left( \frac{3 + \sqrt{x}}{\sqrt{x} - 2} \right).\frac{1}{\sqrt{x} + 3} = \frac{1}{\sqrt{x} - 2}\), với \(x \geq 0,\ x \neq 4,\ x \neq 9\).

Ta có: \(\ B\ = \left\lbrack \frac{\left( 1 - \sqrt{a} \right)\ \left( 1 + \sqrt{a} + a \right)}{1 - \sqrt{a}} + \sqrt{a} \right\rbrack\left\lbrack \frac{1 - \sqrt{a}}{\left( 1 - \sqrt{a} \right)\ \left( 1 + \sqrt{a} \right)} \right\rbrack^{2}\)

= \(\left( 1 + 2\sqrt{a} + a \right).\frac{1}{\left( 1 + \sqrt{a} \right)^{2}} = \left( 1 + \sqrt{a} \right)^{2}.\frac{1}{\left( 1 + \sqrt{a} \right)^{2}} = 1.\)

Câu 5: Cho biểu thức: P = \(\left( \frac{a\sqrt{a} - 1}{a - \sqrt{a}} - \frac{a\sqrt{a} + 1}{a + \sqrt{a}} \right):\frac{a + 2}{a - 2}\) với a > 0, a ≠ 1, a ≠ 2.

a) Rút gọn P.

b) Tìm giá trị nguyên của a để P có giá trị nguyên.

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện: a ≥ 0, a ≠ 1, a ≠ 2

Ta có: \(P = \left\lbrack \frac{\left( \sqrt{a} - 1 \right)\ \left( a + \sqrt{a} + 1 \right)}{\sqrt{a}\left( \sqrt{a} - 1 \right)} - \frac{\left( \sqrt{a} + 1 \right)\ \left( a - \sqrt{a} + 1 \right)}{\sqrt{a}\left( \sqrt{a} + 1 \right)} \right\rbrack:\frac{a + 2}{a - 2}\)

\(\ = \frac{a + \sqrt{a} + 1 - a + \sqrt{a} - 1}{\sqrt{a}}:\frac{a + 2}{a - 2} = \frac{2(a - 2)}{a + 2}\)

b) Ta có: P = \(\frac{2a - 4}{a + 2} = \frac{2a + 4 - 8}{a + 2} = 2 - \frac{8}{a + 2}\)

P nhận giá trị nguyên khi và chỉ khi 8 \(\vdots\) (a + 2)

\(\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a + 2 = \pm 1 \\ a + 2 = \pm 2 \\ a + 2 = \pm 4 \\ a + 2 = \pm 8 \\ \end{matrix} \right.\ \ \Leftrightarrow \ \left\lbrack \begin{matrix} a = - \ 1;\ a = - 3 \\ a = 0;\ a = - 4 \\ a = 2;\ a = - 6 \\ a = 6;\ a = - 10 \\ \end{matrix} \right.\)

Câu 6: Cho biểu thức A = \(\frac{1}{x} + \frac{2}{x - 1} + \frac{1}{x^{2} - x}\)

a. Rút gọn biểu thức A.

b. Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để biểu thức A có giá trị nguyên.

Hướng dẫn giải

a. ĐK: x ≠ 0 và x ≠ 1

A=\(\frac{x - 1 + 2x\ + 1}{x(x - 1)}\)=\(\frac{3x}{x(x - 1)} = \frac{3}{x - 1}\) với x ≠ 0 và x ≠ 1

b. Để A có giá trị nguyên khi x – 1 là ước của 3.

\(\left\{ \begin{matrix} x - 1 = - 3 \Rightarrow x = - 2 \\ x–1 = - 1 \Rightarrow \ x = 0(L) \\ x–1 = 1\ \Rightarrow x = 2 \\ \ x–1 = 3\ \Rightarrow x\ = 4 \\ \end{matrix} \right.\)

Vậy biểu thức A có giá trị nguyên khi x = - 2; x = 2 hoặc x = 4

Câu 7: Cho M = \(\left( \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} - \frac{1}{x - \sqrt{x}} \right):\left( \frac{1}{\sqrt{x} + 1} + \frac{2}{x - 1} \right)\) với \(x > 0,\ \ x \neq 1\).

a) Rút gọn M.

b) Tìm x sao cho M > 0.

Hướng dẫn giải

a) M = \(\left( \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} - \frac{1}{x - \sqrt{x}} \right):\left( \frac{1}{\sqrt{x} + 1} + \frac{2}{x - 1} \right)\)

= \(\left\lbrack \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} - \frac{1}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)} \right\rbrack:\left\lbrack \frac{\sqrt{x} - 1}{\left( \sqrt{x} - 1 \right)\left( \sqrt{x} + 1 \right)} + \frac{2}{\left( \sqrt{x} - 1 \right)\left( \sqrt{x} + 1 \right)} \right\rbrack\)

= \(\frac{x - 1}{\sqrt{x}\left( \sqrt{x} - 1 \right)}:\frac{\sqrt{x} + 1}{\left( \sqrt{x} - 1 \right)\left( \sqrt{x} + 1 \right)} = \frac{x - 1}{\sqrt{x}\left( \sqrt{x} - 1 \right)}.\frac{\left( \sqrt{x} - 1 \right)\left( \sqrt{x} + 1 \right)}{\sqrt{x} + 1}\)

= \(\frac{x - 1}{\sqrt{x}}\).

b) M > 0 \(\Leftrightarrow\) x - 1 > 0 (vì x > 0 nên \(\sqrt{x}\) > 0) \(\Leftrightarrow\) x > 1. (thoả mãn)

Câu 8: Cho biểu thức: K = \(\frac{x}{\sqrt{x} - 1} - \frac{2x - \sqrt{x}}{x - \sqrt{x}}\) với x >0 và x\(\neq\)1

Rút gọn biểu thức K

Tìm giá trị của biểu thức K tại x = 4 + 2\(\sqrt{3}\)

Hướng dẫn giải

a) K = \(\frac{x}{\sqrt{x} - 1} - \frac{\sqrt{x}(2\sqrt{x} - 1)}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)}\) = \(\frac{x - 2\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1} = \sqrt{x} - 1\)

b) Khi \(x = 4 + 2\sqrt{3}\), ta có: \(K = \sqrt{4 + 2\sqrt{3}} - 1 = \sqrt{\left( \sqrt{3} + 1 \right)^{2}} - 1 = \sqrt{3} + 1 - 1 = \sqrt{3}\)

Câu 9: Rút gọn biểu thức: B = \(\left( \sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}} \right):\left( \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}} + \frac{1 - \sqrt{x}}{x + \sqrt{x}} \right)\) với \(x > 0,\ \ x \neq 1.\)

Hướng dẫn giải

Ta có: 

\(\begin{matrix} B = \dfrac{{x - 1}}{{\sqrt x }}:\dfrac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right) + 1 - \sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}\hfill \\ = \dfrac{{x - 1}}{{\sqrt x }} \cdot \dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{x - 1 + 1 - \sqrt x }}{\text{ }} \hfill \\ \,\, = \dfrac{{\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}} = \dfrac{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}{{\sqrt x {\text{ }}}} \hfill \\ \end{matrix}\)

Câu 10: Cho biểu thức: P = \(\left( \frac{\sqrt{a}}{2} - \frac{1}{2\sqrt{a}} \right)\left( \frac{a - \sqrt{a}}{\sqrt{a} + 1} - \frac{a + \sqrt{a}}{\sqrt{a} - 1} \right)\)với a > 0, a ≠ 1

a) Rút gọn biểu thức P

b) Tìm a để P > - 2

Hướng dẫn giải

a) P = \(\frac{a - 1}{2\sqrt{a}}.\frac{\left( a - \sqrt{a} \right)\left( \sqrt{a} - 1 \right) - \left( a + \sqrt{a} \right)\left( \sqrt{a} + 1 \right)}{\left( \sqrt{a} + 1 \right)\left( \sqrt{a} - 1 \right)}\)

= \(\frac{(a - 1)\left( a\sqrt{a} - a - a + \sqrt{a} - a\sqrt{a} - a - a - \sqrt{a} \right)}{2\sqrt{a}(a - 1)} = \frac{- 4\sqrt{a}.\sqrt{a}}{2\sqrt{a}} = - 2\sqrt{a}\).

Vậy P = - 2\(\sqrt{a}\).

b) Ta có: P \(\geq - 2\) \(\Leftrightarrow\)- 2\(\sqrt{a}\) > - 2 \(\Leftrightarrow \sqrt{a}\) < 1 \(\Leftrightarrow\) 0 < a < 1

Kết hợp với điều kiện để P có nghĩa, ta có: 0 < a < 1

Vậy \(P > -2 \sqrt{a}\) khi và chỉ khi 0 < a < 1.

Đáp án chi tiết nằm trong file tải, mời bạn đọc tải tài liệu của chúng tôi!

-------------------------------------------------------------

Trên đây VnDoc.com vừa gửi tới bạn đọc bài viết Các dạng toán rút gọn ôn thi vào lớp 10. Hi vọng qua bài viết này bạn đọc có thêm nhiều tài liệu để học tập nhé. Các em có thể tham khảo thêm tài liệu liên quan đến môn Toán: Toán lớp 9, Giải bài tập Toán lớp 9, hoặc các dạng đề Thi vào lớp 10 được cập nhật liên tục trên VnDoc.