Viết phương trình đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước

Viết phương trình đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước cung cấp kiến thức cơ bản cần nhớ khi viết phương trình đường thẳng; các bài tập ví dụ về viết phương trình đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước.... giúp các em nắm vững các dạng bài tập ôn thi vào lớp 10 môn Toán.

I. Kiến thức cơ bản cần nhớ khi viết phương trình đường thẳng

1. Xác định hàm số y = ax + b biết hệ số góc a và đồ thị của nó đi qua điểm A(m; n)

+ Thay hệ số góc vào hàm số

+ Vì đồ thị của nó đi qua A(m; n) nên thay x = m và y = n vào hàm số ta sẽ tìm được b

2. Đồ thị của hàm số y = ax + b song song với đường thẳng y = a’x + b’ và đi qua A(m; n)

+ Đồ thị hàm số y = ax + b song song với đường thẳng y = a’x + b’ nên a = a’

+ Thay a = a’ vào hàm số

+ Vì đồ thị của nó đi qua A(m; n) nên thay x = m và y = n vào hàm số ta sẽ tìm được b

3. Đồ thị của hàm số y = ax + b vuông góc với đường thẳng y = a’x + b’ và đi qua A(m; n)

+ Đồ thị hàm số y = ax + b vuông góc với đường thẳng y = a’x + b’ nên a.a’ = -1 sau đó thay a vừa tìm được vào hàm số

+ Vì đồ thị của nó đi qua A(m; n) nên thay x = m và y = n vào hàm số ta sẽ tìm được b

4. Đồ thị của hàm số y = ax + b đi qua hai điểm A(m; n) và B(p; q)

+ Vì đồ thị của nó đi qua A(m; n) nên thay x = m và y = n vào hàm số ta được phương trình thứ nhất

+ Vì đồ thị của nó đi qua B(p; q) nên thay x = p và y = q vào hàm số ta được phương trình thứ hai

+ Giải hệ phương trình gồm hai phương trình trên ta sẽ tìm được a và b

5. Đồ thị của hàm số y = ax + b đi qua A(m; n) và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng c

+ Đồ thị hàm số y = ax + b cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng c nên nó đi qua điểm B(0; c)

+ Bài toán trở thành viết phương trình đường thẳng biết đồ thị hàm số đi qua hai điểm A(m; n) và B(0; c)

6. Đồ thị của hàm số y = ax + b đi qua A(m; n) và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng c

+ Đồ thị hàm số y = ax + b cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng c nên nó đi qua điểm B(c; 0)

+ Bài toán trở thành viết phương trình đường thẳng biết đồ thị hàm số đi qua hai điểm A(m; n) và B(c; )

II. Bài tập ví dụ về viết phương trình đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước

Ví dụ 1: Viết phương trình đường thẳng (d) của hàm số y = ax + b biết:

a, Hàm số có hệ số góc là 2 và đường thẳng (d) đi qua điểm A(1; -1)

b, Đường thẳng (d) song song với đường thẳng y = x + 1 và đi qua điểm A(1; 2)

c, Đường thẳng (d) vuông góc với đường thẳng y = 3x + 2 và đi qua điểm A(-1; -1)

d, Đường thẳng (d) đi qua hai điểm A(1; 1) và B(3; -2)

e, Đường thẳng (d) đi qua điểm A(3; 1) và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng -2

f, Đường thẳng (d) đi qua điểm A(1; 1) và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3

Lời giải:

a, Đồ thị hàm số y = ax + b có hệ số góc là 2 nên a = 2. Khi đó đồ thị hàm số có dạng y = 2x + b

Đường thẳng (d) có hàm số y = 2x + b đi qua điểm A(1; 1) nên khi thay tọa độ điểm A vào phương trình đường thẳng ta được:

1 = 2 + b hay b = -1

Vậy phương trình đường thẳng (d) cần tìm là: y = 2x – 1

b, Đường thẳng (d) song song với đường thẳng y = x + 1 nên phương trình của đường thẳng (d) có dạng y = x + b

Đường thẳng (d) đi qua điểm A(1;2) nên khi thay tọa độ điểm A vào phương trình đường thẳng ta được:

2 = 1 + b hay b = 1

Vậy phương trình đường thẳng (d) cần tìm là: y = x + 1

c, Đường thẳng (d) vuông góc với đường thẳng y = 3x + 2 nên phương trình của đường thẳng (d) có dạng \(y = \frac{{ - 1}}{3}x + b\)

Đường thẳng (d) đi qua điểm A(-1; -1) nên khi thay tọa độ điểm A vào phương trình đường thẳng ta được: \(- 1 = \frac{1}{3} + b \Leftrightarrow b = \frac{{ - 4}}{3}\)

Vậy phương trình đường thẳng (d) cần tìm là: \(y = \frac{{ - 1}}{3}x - \frac{4}{3}\)

d, Gọi phương trình đường thẳng (d) có dạng y = ax + b

Đường thẳng (d) đi qua điểm A(1; 1) nên khi thay tọa độ điểm A vào phương trình đường thẳng ta được phương trình a + b = 1 (1)

Đường thẳng (d) đi qua điểm B(3; -2) nên khi thay tọa độ điểm B vào phương trình đường thẳng ta được phương trình 3a + b = -2 (2)

Từ (1) và (2) ta giải ra được \(a = \frac{{ - 3}}{2};b = \frac{5}{2}\)

Vậy phương trình đường thẳng (d) cần tìm là: \(y = \frac{{ - 3}}{2}x + \frac{5}{2}\)

e, Đường thẳng (d) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng -2 nên đường thẳng (d) đi qua điểm B(-2; 0)

Gọi phương trình đường thẳng (d) có dạng y = ax + b

Đường thẳng (d) đi qua điểm A(3; 1) nên khi thay tọa độ điểm A vào phương trình đường thẳng ta được phương trình 3a + b = 1 (1)

Đường thẳng (d) đi qua điểm B(-2; 0) nên khi thay tọa độ điểm B vào phương trình đường thẳng ta được phương trình -2a + b = 0 (2)

Từ (1) và (2) ta giải ra được

Vậy phương trình đường thẳng (d) cần tìm là:

f, Đường thẳng (d) cắt trục hoành tại điểm có tung độ bằng 3 nên đường thẳng (d) đi qua điểm B(0; 3)

Gọi phương trình đường thẳng (d) có dạng y = ax + b

Đường thẳng (d) đi qua điểm A(1; 1) nên khi thay tọa độ điểm A vào phương trình đường thẳng ta được phương trình a + b = 1 (1)

Đường thẳng (d) đi qua điểm B(0; 3) nên khi thay tọa độ điểm B vào phương trình đường thẳng ta được phương trình b = 3 (2)

Từ (1) và (2) ta giải ra được a = -2 và b = 3

Vậy phương trình đường thẳng (d) cần tìm là: y = -2x + 3

Ví dụ 2.

Cho tam giác ABC có M; N và P lần lượt là trung điểm của AB; AC và BC. Biết M( 2; -1); N( - 2; -1) và P ( 0; 3).Viết phương trình đường trung trực d của đoạn thẳng BC?

A. x = 0
B. x + y - 3 = 0
C. 2x - y + 3 = 0
D. y - 3 = 0

Trả lời

Đáp án: C

+ Do M và N là trung điểm của AB và AC nên MN là đường trung bình của tam giác ABC và MN// BC ( 1).

Mà d là đường trung trực của BC nên d vuông góc BC (2).

Từ (1) và (2) suy ra: MN vuông góc d.

+ Đường thẳng d:

⇒ Phương trình d: 0(x - 0) + 1( y - 3) = 0 hay y - 3 = 0

III. Bài tập tự luyện về viết phương trình đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước

Bài 1: Viết phương trình đường thẳng y = ax + b biết đường thẳng đi qua hai đi qua hai điểm A(4; 3) và B(2; -1)

Bài 2: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M(-2; 0) và cắt trục tung tại điểm có tung độ là 3

Bài 3: Viết phương trình đường thẳng (d) song song với đường thẳng y = 3x + 1 và cắt trục tung tại hai điểm có tung độ là 4

Bài 4: Viết phương trình đường thẳng (d) song song với đường thẳng (d’): y = -2x và đi qua điểm A(2; 7)

Bài 5: Viết phương trình đường thẳng (d) có hệ số góc là -1 và đi qua gốc tọa độ

Bài 6: Hãy xác định hàm số bậc nhất y = ax + b trong mỗi trường hợp sau:

a, Có hệ số góc là 3 và đi qua điểm A(1; 0)

b, Song song với đường thẳng y = x – 2 và cắt trục tung có tung độ bằng 2

Bài 7: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm M(1; -2) và song song với đường thẳng (d’): x + 2y = 1

Bài 8: Viết phương trình đường thẳng (d) cắt đường thẳng (d’): x – y + 1 = 0 tại điểm có tung độ bằng 2 và vuông góc với đường thẳng (d”): y = 3 – x

Bài 9: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua gốc tọa độ và đi qua giao điểm của hai đường thẳng (d’): y = 4x – 3 và (d”): y = -x + 3

Bài 10: Viết phương trình trình đường thẳng (d) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 5 và đi qua điểm M(2; 3)