Viết phương trình đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước

Trong chương trình Toán 9, việc viết phương trình đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước là một dạng toán quan trọng trong chủ đề hình học giải tích trên mặt phẳng tọa độ. Dạng toán này thường xuất hiện trong các đề kiểm tra, đề học kỳ và đặc biệt là trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10. Học sinh cần nắm vững các kiến thức về hệ số góc, điều kiện song song, vuông góc, đi qua một điểm, hoặc đi qua hai điểm để xác định nhanh và chính xác phương trình đường thẳng. Bài viết này sẽ giúp bạn hệ thống công thức, phương pháp giải, đồng thời cung cấp các ví dụ minh họa có lời giải chi tiết nhằm rèn luyện kỹ năng và tư duy logic.

I. Kiến thức cơ bản cần nhớ khi viết phương trình đường thẳng

1. Xác định hàm số y = ax + b biết hệ số góc a và đồ thị của nó đi qua điểm A(m; n)

+ Thay hệ số góc vào hàm số.

+ Vì đồ thị của nó đi qua A(m; n) nên thay x = m và y = n vào hàm số ta sẽ tìm được b.

2. Đồ thị của hàm số y = ax + b song song với đường thẳng y = a’x + b’ và đi qua A(m; n)

+ Đồ thị hàm số y = ax + b song song với đường thẳng y = a’x + b’ nên a = a’.

+ Thay a = a’ vào hàm số.

+ Vì đồ thị của nó đi qua A(m; n) nên thay x = m và y = n vào hàm số ta sẽ tìm được b.

3. Đồ thị của hàm số y = ax + b vuông góc với đường thẳng y = a’x + b’ và đi qua A(m; n)

+ Đồ thị hàm số y = ax + b vuông góc với đường thẳng y = a’x + b’ nên a.a’ = -1 sau đó thay a vừa tìm được vào hàm số.

+ Vì đồ thị của nó đi qua A(m; n) nên thay x = m và y = n vào hàm số ta sẽ tìm được b.

4. Đồ thị của hàm số y = ax + b đi qua hai điểm A(m; n) và B(p; q)

+ Vì đồ thị của nó đi qua A(m; n) nên thay x = m và y = n vào hàm số ta được phương trình thứ nhất.

+ Vì đồ thị của nó đi qua B(p; q) nên thay x = p và y = q vào hàm số ta được phương trình thứ hai.

+ Giải hệ phương trình gồm hai phương trình trên ta sẽ tìm được a và b.

5. Đồ thị của hàm số y = ax + b đi qua A(m; n) và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng c

+ Đồ thị hàm số y = ax + b cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng c nên nó đi qua điểm B(0; c).

+ Bài toán trở thành viết phương trình đường thẳng biết đồ thị hàm số đi qua hai điểm A(m; n) và B(0; c).

6. Đồ thị của hàm số y = ax + b đi qua A(m; n) và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng c

+ Đồ thị hàm số y = ax + b cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng c nên nó đi qua điểm B(c; 0).

+ Bài toán trở thành viết phương trình đường thẳng biết đồ thị hàm số đi qua hai điểm A(m; n) và B(c; ).

II. Bài tập ví dụ về viết phương trình đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước

Hướng dẫn giải

a, Đồ thị hàm số y = ax + b có hệ số góc là 2 nên a = 2. Khi đó đồ thị hàm số có dạng y = 2x + b

Đường thẳng (d) có hàm số y = 2x + b đi qua điểm A(1; 1) nên khi thay tọa độ điểm A vào phương trình đường thẳng ta được:

1 = 2 + b hay b = -1

Vậy phương trình đường thẳng (d) cần tìm là: y = 2x – 1.

b, Đường thẳng (d) song song với đường thẳng y = x + 1 nên phương trình của đường thẳng (d) có dạng y = x + b.

Đường thẳng (d) đi qua điểm A(1;2) nên khi thay tọa độ điểm A vào phương trình đường thẳng ta được:

2 = 1 + b hay b = 1

Vậy phương trình đường thẳng (d) cần tìm là: y = x + 1

c, Đường thẳng (d) vuông góc với đường thẳng y = 3x + 2 nên phương trình của đường thẳng (d) có dạng \(y = \frac{{ - 1}}{3}x + b\).

Đường thẳng (d) đi qua điểm A(-1; -1) nên khi thay tọa độ điểm A vào phương trình đường thẳng ta được: \(- 1 = \frac{1}{3} + b \Leftrightarrow b = \frac{{ - 4}}{3}\)

Vậy phương trình đường thẳng (d) cần tìm là: \(y = \frac{{ - 1}}{3}x - \frac{4}{3}\)

d, Gọi phương trình đường thẳng (d) có dạng y = ax + b.

Đường thẳng (d) đi qua điểm A(1; 1) nên khi thay tọa độ điểm A vào phương trình đường thẳng ta được phương trình a + b = 1 (1)

Đường thẳng (d) đi qua điểm B(3; -2) nên khi thay tọa độ điểm B vào phương trình đường thẳng ta được phương trình 3a + b = -2 (2)

Từ (1) và (2) ta giải ra được \(a = \frac{{ - 3}}{2};b = \frac{5}{2}\)

Vậy phương trình đường thẳng (d) cần tìm là: \(y = \frac{{ - 3}}{2}x + \frac{5}{2}\).

e, Đường thẳng (d) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng -2 nên đường thẳng (d) đi qua điểm B(-2; 0)

Gọi phương trình đường thẳng (d) có dạng y = ax + b

Đường thẳng (d) đi qua điểm A(3; 1) nên khi thay tọa độ điểm A vào phương trình đường thẳng ta được phương trình 3a + b = 1 (1)

Đường thẳng (d) đi qua điểm B(-2; 0) nên khi thay tọa độ điểm B vào phương trình đường thẳng ta được phương trình -2a + b = 0 (2)

Từ (1) và (2) ta giải ra được: \(\left\{ \begin{gathered} a = \frac{1}{5} \hfill \\ b = \frac{2}{5} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow y = \frac{1}{5}x + \frac{2}{5}\)

Vậy phương trình đường thẳng (d) cần tìm là: 

f, Đường thẳng (d) cắt trục hoành tại điểm có tung độ bằng 3 nên đường thẳng (d) đi qua điểm B(0; 3).

Gọi phương trình đường thẳng (d) có dạng y = ax + b.

Đường thẳng (d) đi qua điểm A(1; 1) nên khi thay tọa độ điểm A vào phương trình đường thẳng ta được phương trình a + b = 1 (1).

Đường thẳng (d) đi qua điểm B(0; 3) nên khi thay tọa độ điểm B vào phương trình đường thẳng ta được phương trình b = 3 (2).

Từ (1) và (2) ta giải ra được a = -2 và b = 3.

Vậy phương trình đường thẳng (d) cần tìm là: y = -2x + 3.

Hướng dẫn giải

Giả sử đường thẳng có dạng y = ax + b

a. Đường thẳng đi qua điểm \(A(1,2),B(3, - 1)\) ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{matrix}a + b = 2 \\3a + b = - 1 \\\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = \dfrac{- 3}{2} \\b = \dfrac{7}{2} \\\end{matrix} \right.\)\(\Rightarrow y = \dfrac{- 3}{2}x +\frac{7}{2}\)

b. Đường thẳng đi qua điểm \(A( - 1,3) \Leftrightarrow - a + b = 3\) (1)

Đường thẳng song song với đường thẳng \(3x - 4y - 1 = 0 \Leftrightarrow y = \frac{3}{4}x - \frac{1}{4}\)

\(\Rightarrow a = \frac{3}{4}\) (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{matrix}- a + b = 3 \\a = \frac{3}{4} \\\end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = \frac{3}{4} \\b = \frac{15}{4} \\\end{matrix} \right.\ \right.\)\(\Rightarrow y = \frac{3}{4}x +\frac{15}{4}\)

c. Đường thẳng đi qua \(A(2,3) \Rightarrow 2a + b = 3\) (1)

Đường thẳng vuông góc với đường thẳng \(- 2x - 3 = y\)

\(\Rightarrow a.( - 2) = - 1 \Rightarrow a = \frac{1}{2}\) (2)

Từ (1) và (2) ta có: \(\left\{\begin{matrix}2a + b = 3 \\a = \frac{1}{2} \\\end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = \frac{1}{2} \\b = 2 \\\end{matrix} \right.\ \right.\)\(\Rightarrow y = \frac{1}{2}x +2\)

Hướng dẫn giải:

Ta có: \(x - 4y = 10 \Rightarrow y = \frac{x}{4} - \frac{5}{2}\)

Hàm số bậc nhất cần tìm có dạng \(y = ax + b;(a \neq 0)(*)\)

Đồ thị hàm số \((*)\) song song với đồ thị hàm số \(y = \frac{x}{4} - \frac{5}{2}\) khi đó: \(a = \frac{1}{4}\)

\(\Rightarrow y = \frac{1}{4}x + b;(**)\)

Đồ thị hàm số (*) đi qua điểm \(C(0;5)\) nên

\(\Rightarrow 5 = \frac{1}{4}.0 + b \Rightarrow b = 5\)

Vậy hàm số cần tìm là \(y = \frac{1}{4}x + 5\).

Hướng dẫn giải:

Hình vẽ minh họa

Dựa vào đồ thị ta có giao điểm A có tọa độ \(A( - 2;2)\)

Qua điểm (0; 2) vẽ đường thẳng song song với trục hoành, cắt hai đường thẳng tại hai điểm B; C.

Tọa độ hai giao điểm \(B(0;2);C(2;2)\). Độ dài BC là 2

Kẻ \(AH\bot BC\) khi đó ta có: AH = 4

Diện tích tam giác \(ABC\) là: \(S_{ABC} = \frac{1}{2}.AH.BC = \frac{1}{2}.2.4 = 4(dvdt)\).

III. Bài tập tự luyện về viết phương trình đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước

Bài 1: Viết phương trình đường thẳng y = ax + b biết đường thẳng đi qua hai đi qua hai điểm A(4; 3) và B(2; -1).

Bài 2: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M(-2; 0) và cắt trục tung tại điểm có tung độ là 3.

Bài 3: Viết phương trình đường thẳng (d) song song với đường thẳng y = 3x + 1 và cắt trục tung tại hai điểm có tung độ là 4.

Bài 4: Viết phương trình đường thẳng (d) song song với đường thẳng (d’): y = -2x và đi qua điểm A(2; 7).

Bài 5: Viết phương trình đường thẳng (d) có hệ số góc là -1 và đi qua gốc tọa độ

Bài 6: Hãy xác định hàm số bậc nhất y = ax + b trong mỗi trường hợp sau:

a, Có hệ số góc là 3 và đi qua điểm A(1; 0).

b, Song song với đường thẳng y = x – 2 và cắt trục tung có tung độ bằng 2.

Bài 7: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm M(1; -2) và song song với đường thẳng (d’): x + 2y = 1.

Bài 8: Viết phương trình đường thẳng (d) cắt đường thẳng (d’): x – y + 1 = 0 tại điểm có tung độ bằng 2 và vuông góc với đường thẳng (d”): y = 3 – x.

Bài 9: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua gốc tọa độ và đi qua giao điểm của hai đường thẳng (d’): y = 4x – 3 và (d”): y = -x + 3.

Bài 10: Viết phương trình trình đường thẳng (d) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 5 và đi qua điểm M(2; 3).

Bài 11. a. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(-10; 2), B(4; 2).

b. Viết phương trình đường thẳng có hệ số góc a = 3 và đi qua điểm B(1; -1).

c. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A(-1; 2) song song với đường thẳng y = 2x - 1.

d. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M(3; 2) và vuông góc với đường thẳng y = -x + 2.

Mời bạn đọc tải tài liệu tham khảo đầy đủ của chúng tôi!

--------------------------------

Dạng toán viết phương trình đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước không chỉ giúp học sinh rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức về tọa độ và phương trình bậc nhất hai ẩn mà còn đóng vai trò quan trọng trong việc phát triển tư duy hình học và đại số. Thông qua việc luyện tập thường xuyên, học sinh sẽ:

• Thành thạo các bước xác định phương trình đường thẳng theo từng điều kiện cụ thể (song song, vuông góc, đi qua điểm…).

• Hiểu rõ mối liên hệ giữa hình học phẳng và đại số giải tích.

• Rèn kỹ năng trình bày bài toán một cách ngắn gọn, rõ ràng, chính xác.

• Chuẩn bị nền tảng vững chắc cho hình học tọa độ ở bậc THPT.

Việc nắm chắc phương pháp giải dạng toán này sẽ giúp bạn tự tin hơn trong các kỳ thi quan trọng, đặc biệt là kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán. Hãy kết hợp học lý thuyết, luyện tập đa dạng các dạng bài tập và rút ra phương pháp riêng để chinh phục thành công mọi đề toán liên quan đến phương trình đường thẳng.