Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Bài tập Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn lớp 9

Chuyên đề Toán 9 ôn thi vào 10 (nâng cao)

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 9

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Loại: Tài liệu Lẻ

Mức độ: Khó

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn (nâng cao) - Có đáp án

A. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn
B. Bài tập vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn có hướng dẫn chi tiết
C. Bài tập tự rèn luyện có đáp án

Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn là một trong những chuyên đề quan trọng của chương trình Toán 9, thường xuyên xuất hiện trong các đề thi vào lớp 10. Dạng toán này không chỉ giúp học sinh rèn luyện kỹ năng hình học mà còn phát triển tư duy phân tích, lập luận logic. Tài liệu dưới đây cung cấp hệ thống bài tập nâng cao có lời giải chi tiết, giúp học sinh ôn luyện toàn diện, làm quen với nhiều dạng câu hỏi và nâng cao khả năng xử lý các tình huống phức tạp trong đề thi.

A. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

1.Khi một đường thẳng có hai điểm chung A, B với đường tròn (O) ta nói đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt. Khi đó ta có những kết quả quan trọng sau:

+ $OH\bot AB \Rightarrow OH < R,HA = HB = \sqrt{R^{2} - OH^{2}}$ . Theo định lý Pithagore ta có: OH² = MO² - MH²

Mặt khác ta cũng có: OH² = R² - AH² nên suy ra

$MO^{2} - MH^{2} = R^{2} - AH^{2} \Leftrightarrow MH^{2} - AH^{2} = MO^{2} - R^{2}$ $\Leftrightarrow (MH - AH)(MH + AH) = MO^{2} - R^{2}$

+ Nếu M nằm ngoài đoạn AB thì MA.MB = MO² - R²

+ Nếu M nằm trong đoạn AB thì MA.MB = R²- MO² Mối liên hệ khoảng cách và dây cung: $R^{2} = OH^{2} + \frac{AB^{2}}{4}$

2. Khi một đường thẳng $\Delta$ chỉ có một điểm chung H với đường tròn (O), ta nói đường thẳng tiếp xúc với đường tròn, hay $\Delta$ là tiếp tuyến của đường tròn (O). Điểm H gọi là tiếp điểm của tiếp tuyến với đường tròn (O).

Như vậy nếu $\Delta$ là tiếp tuyến của (O) thì $\Delta$ vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.

Ta có OH = R

Nếu hai tiếp tuyến của đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:

+ Điểm đó cách đều hai tiếp điểm

+ Tia kẻ từ điểm đó đến tâm O là tia phân giác góc tạo bởi 2 tiếp tuyến

+Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm

+ Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó thì vuông góc với đoạn thẳng nối hai tiếp điểm tại trung điểm của đoạn thẳng đó.

3. Khi một đường thẳng $\Delta$ và đường tròn (O) không có điểm chung ta nói đường thẳng $\Delta$ và đường tròn (O) không giao nhau. Khi đó OH > R.

4. Đường tròn tiếp xúc với 3 cạnh tam giác là đường tròn nội tiếp tam giác

Đường tròn nội tiếp có tâm là giao điểm 3 đường phân giác trong của tam giác

5. Đường tròn tiếp xúc với một cạnh của tam giác và phần kéo dài hai cạnh kia gọi là đường tròn bàng tiếp tam giác

Tâm đường tròn bàng tiếp tam giác trong góc A là giao điểm của hai đường phân giác ngoài góc B và góc C.

Mỗi tam giác có 3 đường tròn bàng tiếp.

B. Bài tập vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn có hướng dẫn chi tiết

Ví dụ 1. Cho hình thang vuông ABCD; $(\widehat{A} = \widehat{B} = 90^{0})$ có O là trung điểm của AB và góc $\widehat{COD} = 90^{0}$ . Chứng minh CD là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AB.

Giải:

Hình vẽ minh họa:

Kéo dài OC cắt BD tại E vì $\widehat{COD} = 90^{0}$ suy ra $\widehat{EOD} = 90^{0}$ .

Xét tam giác và $\Delta EOD$ ta có OD chung

$\frac{OC}{OD} = \frac{OA}{OB} = 1 \Rightarrow OC = OD \Rightarrow \Delta COD = \Delta\Delta EOD$ .

Suy ra DC = DE hay tam giác ECD cân tại D.

Kẻ $OH\bot CD$ thì $\Delta OBD = \Delta OHD \Rightarrow OH = OB$ mà OB = OA => OH = OB = OA hay A ; H; B thuộc đường tròn (O).

Do đó CD là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AB.

Ví dụ 2. Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Gọi M, N là hai điểm trên các cạnh AB; AD sao cho chu vi tam giác AMN bằng 2a. Chứng minh đường thẳng MN luôn tiếp xúc với đường tròn cố định.

Giải:

Hình vẽ minh họa

Trên tia đối của BA ta lấy điểm E sao cho BE = ND.

Ta có $\Delta BCE = \Delta DCN \Rightarrow CN = CE$ .

Theo giả thiết ta có:

MN + AM + AN = AB + AD = AM + MB + AN + DN = AM + AN + MB + BE.

Suy ra MN = MB + BE = ME.

Từ đó ta suy ra $\Delta MNC = \Delta MEC \Rightarrow \widehat{CMN} = \widehat{CMB}$ .

Kẻ $CH\bot MN$ => CH = CB + CD = a.

Vậy D; B; H thuộc đường tròn tâm C bán kính CB = a suy ra MN luôn tiếp xúc với đường tròn tâm C bán kính bằng a.

Ví dụ 3. Cho tam giác ABC cân tại A đường cao BH. Trên nửa mặt phẳng chứa C bờ AB vẽ $Bx\bot BA$ cắt đường tròn tâm B bán kính BH tại D. Chứng minh CD là tiếp tuyến của (B).

Giải:

Hình vẽ minh họa

Vì tam giác ABC cân tại A nên ta có: $\widehat{B} = \widehat{C} = \alpha$ .

Vì $Bx\bot BA \Rightarrow \widehat{B_{2}} + \alpha = 90^{0}$ .

Mặt khác ta cũng có $\widehat{B_{1}} + \alpha = 90^{0} \Rightarrow \widehat{B_{1}} = \widehat{B_{2}}$ .

Hai tam giác BHC và tam giác BDC có BC chung, $\widehat{B_{1}} = \widehat{B_{2}}$ ,

Suy ra $\Delta BHC = \Delta BDC(c.g.c)$ suy ra $\widehat{BHC} = \Delta\widehat{BDC} = 90^{0}$ .

Nói cách khác CD là tiếp tuyến của đường tròn (B).

C. Bài tập tự rèn luyện có đáp án

Bài tập 1. Cho tam giác ABC vuông tại A; (AB > AC) đường cao AH. Gọi E là điểm đối xứng với B qua H. Đường tròn tâm O đường kính EC cắt AC tại K. Chứng minh HK là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Bài tập 2. Cho tam giác ABC vuông tại A đường cao AH. Vẽ đường tròn tâm A bán kính AH kẻ các tiếp tuyến BD; CE với (A) (D; E là các tiếp điểm khác H). Chứng minh DE tiếp xúc với đường tròn đường kính BC.

Bài tập 3. Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm I bán kính r. Giả sử (I; r) tiếp xúc với các cạnh AB; BC; CE lần lượt tại D; E; F. Đặt AB = c; BC = a, AC = b, AD == x; BE = y, CF = z.

a. Hãy tính x; y; z theo a; b; c

b. Chứng minh S = p.r (trong đó S là diện tích tam giác p là nữa chu vi tam giác, r là bán kính vòng tròn ngoại tiếp tam giác.

c. Chứng minh: $\frac{1}{r} = \frac{1}{h_{a}} + \frac{1}{h_{b}} + \frac{1}{h_{c}}$ trong đó $(h_{a};h_{b};h_{c})$ lần lượt là đường cao kẻ từ các đỉnh A; B; C của tam giác A; B; C.

Đáp án bài tập tự rèn luyện

Bài tập 1

Vì tam giác có một cạnh là đường kính của nên $\widehat{EKC} = 90^{0}$ . Kẻ $HI\bot AC \Rightarrow BA//HI//EK$ suy ra từ đó ta có tam giác cân tại .

Do đó $\widehat{K_{1}} = \widehat{B}$ (cùng phụ với góc hai góc bằng nhau là $\widehat{BAH},\widehat{IHK}$ ).

Mặt khác ta cũng có: $\widehat{K_{2}} = \widehat{C_{3}}$ (do tam giác cân tại ).

Mà $\widehat{B} + \widehat{C_{3}} = 90^{0} \Rightarrow \widehat{K_{1}} + \widehat{K_{2}} = 90^{0}$ suy ra $\widehat{HKO} = 90^{0}$ hay là tiếp tuyến của .

Bài tập 2.

Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: $\widehat{DAB} = \widehat{HAB},\widehat{CAH} = \widehat{CAE}$ . Suy ra $\widehat{DAB} + \widehat{CAE} = \widehat{HAB} + \widehat{CAH} = \widehat{BAC} = 90^{0}$ hay $\widehat{DAB} + \widehat{CAE} + \widehat{HAB} + \widehat{CAH} = 180^{0} \Rightarrow D,A,E$ thẳng hàng.

Gọi là trung điểm của thì là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác . Mặt khác nên là đường trung bình của hình thang vuông suy ra $OA\bot DE$ tại .

Nói cách khác là tiếp tuyến của đường tròn . Đường kính

Tài liệu quá dài để hiển thị hết — hãy nhấn Tải về để xem trọn bộ!

------------------------------------------------------------

Chinh phục dạng toán vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn sẽ giúp học sinh tự tin hơn trong phần hình học của đề thi vào lớp 10. Hy vọng tài liệu này sẽ là nguồn ôn luyện hữu ích, hỗ trợ bạn rèn luyện tư duy và đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp tới. Đừng quên luyện tập thường xuyên và ghi nhớ các phương pháp giải hiệu quả!

Tải về

Chọn file muốn tải về: