Chuyên đề Vị trí tương đối của hai đường tròn – Có đáp án

Vị trí tương đối của hai đường tròn là một chuyên đề quan trọng trong chương trình Toán 9, thường xuất hiện trong các đề thi vào lớp 10 với nhiều dạng bài đa dạng từ cơ bản đến nâng cao. Việc nắm vững lý thuyết và luyện tập các bài tập chọn lọc giúp học sinh nâng cao khả năng tư duy hình học, phân tích mối quan hệ giữa các yếu tố hình học trong mặt phẳng. Tài liệu này tổng hợp các dạng bài điển hình về vị trí tương đối của hai đường tròn có đáp án và lời giải chi tiết, giúp học sinh ôn tập hiệu quả và sẵn sàng chinh phục kỳ thi vào 10.

A. Hai đường tròn tiếp xúc nhau

Ví dụ: Cho hai đường tròn (O) và (O') tiếp xúc ngoài tại A. Qua A kẻ một cát tuyến cắt (O) tại C, cắt đường tròn (O') tại D.

a. Chứng minh OC // O'D.

b. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài MN, gọi P; Q lần lượt là các điểm đối xứng với MN qua OO'. Chứng minh MNPQ là hình thang cân và MN + PQ = MP + NQ.

c. Tính góc . Gọi K là giao điểm của AM với (O'). Chứng minh N, O', K thẳng hàng.

Giải:

Hình vẽ minh họa

a) Do hai đường tròn (O) và (O') tiếp xúc ngoài tại A nên A nằm trên OO'. Ta có .

Lại có vì các tam giác ΔCOA; ΔDO'A là tam giác cân.

Từ đó suy ra

b) + Vì là hình thang.

Vì M đối xứng với P qua OO', N đối xứng với Q qua OO' và O luôn đối xứng với O qua OO' nên .

Mặt khác cùng phụ với các góc nên suy ra là hình thang cân.

(Chú ý: Từ đây ta cũng suy ra PQ là tiếp tuyến chung của hai đường tròn)

+ Kẻ tiếp tuyến chung qua A của hai đường tròn cắt MN; PQ tại R; S thì ta có: RM = RA = RN; SA = SP = SQ suy ra MN + PQ = 2RS.

Mặt khác cũng là đường trung bình của hình thang nên MP + NQ = 2RS hay MP + N1 = MN + PQ.

c). Từ câu ta có AR = RM = RN nên tam giác MAN vuông tại A, từ đó suy ra là đường kính của (O'), hay N; O'; K thẳng hàng.

B. Hai đường tròn cắt nhau

Ví dụ. Cho hai đường tròn (O₁; R), (O₂; R) cắt nhau tại A; B (O₁; O₂ nằm khác phía so với đường thẳng AB). Một cát tuyến PAQ xoay quanh sao cho nằm giữa P và Q. Hãy xác đinh vị trí của cát tuyến PAQ trong mỗi trường hợp.

a. A là trung điểm của PQ.

b. PQ có độ dài lớn nhất

c. Chu vi tam giác BPQ lớn nhất

d. lớn nhất.

Lời giải:

Hình vẽ minh họa

a) Giả sử đã xác định được vị trí của cát tuyến PAQ sao cho PA = AQ.

Kẻ O₁H vuông góc với dây PA thì .

Kẻ O₂K vuông góc với dây AQ thì .

Nên AH = AK.

Kẻ cắt O, O₂ tại I thì O₁I = IO₂ và Ax ⊥ PQ.

Từ đó suy ra cách xác định vị trí của cát tuyến PAQ đó là cát tuyến PAQ vuông góc với IA tại A với I là trung điểm của đoạn nối tâm O₁O₂.

b) Trên hình, ta thấy PA = HK.

Kẻ thì tứ giác MHKO₂ có ba góc vuông nên là hình chữ nhật do đó HK = MO₂. Lúc đó O₂M là đường vuông góc kẻ từ O₂ đến đường thẳng O₁H; O₂O₁ là đường xiên kẻ từ đến đường thẳng O₁H.

Nên O₂M ≤ 2O₁O₂ hay PQ = 2HK = 2O₂M ≤ 2O₁O₂ (không đổi). dấu đẳng thức xảy ra hay PQ // O₁O₂. Vậy ở vị trí cát tuyến PAQ // O₁O₂ thì PQ có độ dài lớn nhất.

c) Qua A kẻ cát tuyến CAD vuông góc với BA.

Thì tam giác ABC và ABD vuông tại A lần lượt nội tiếp các đường tròn (O₁); (O₂) nên O₁ là trung điểm của BC và là trung điểm của BD.

Lúc đó O₁O₂ là đường trung bình của tam giác BCD nên O₁O₂ // CD suy ra PQ ≤ 2O₁O₂ (1) (theo câu b). Lại có BQ ≤ BD (2), BP ≤ BC (3).

Từ (1), (2), (3) suy ra chu vi tam giác BPQ; C = PQ + BQ + BP ≤ 2(O₁O₂ + R₁ + R₂) (không đổi).

Dấu bằng có khi P ≡ C; Q ≡ D.

Vậy chu vi tam giác BPQ đạt giá trị lớn nhất khi cát tuyến PAQ vuông góc với dây BA tại A.

d) Kẻ BN ⊥ PQ thì BN ≤ BA.

Lúc đó không đổi.

Vậy đạt giá trị lớn nhất khi cát tuyến PAQ vuông góc với dây chung BA tại A.

C. Bài tập tự rèn luyện chủ đề vị trí tương đối của hai đường tròn có đáp án

Bài 1. Cho hai đường tròn (O; R) và (O'; R') tiếp xúc ngoài tại A với (R > R'). Đường nối tâm OO' cắt (O); (O') lần lượt tại B, C. Dây DE của (O) vuông góc với BC tại trung điểm K của BC

a. Chứng minh BDCE là hình thoi

b. Gọi I là giao điểm của EC và (O'). Chứng minh D; A; I thẳng hàng

c. Chứng minh KI là tiếp tuyến của (O').

Bài 2. Chứng minh rằng: Trong một tam giác tâm vòng tròn ngoại tiếp O trọng tâm G trực tâm H nằm trên một đường thẳng và HG = 2GO (Đường thẳng Ơ le). Gọi R; r; d lần lượt là bán kính vòng tròn ngoại tiếp nội tiếp và khoảng cách giữa hai tâm chứng minh d² = R² - r² (Hệ thức Ơ le).

Bài 3. Cho hai đường tròn (O₁; R), (O₂; R) cắt nhau tại đường thẳng O₁H cắt (O₁) tại K; cắt (O₂); tại B, O₂H cắt (O₁) tại C, cắt (O₂) tại D. Chứng minh ba đường thẳng BC; BD; HK đồng quy tại một điểm.

Tài liệu dài, tải về để xem chi tiết và đầy đủ nhé!

----------------------------------------------------

Hy vọng với chuyên đề vị trí tương đối của hai đường tròn được trình bày khoa học và có lời giải cụ thể, học sinh sẽ củng cố kiến thức hình học vững vàng, rèn luyện tư duy logic và đạt điểm cao trong kỳ thi tuyển sinh lớp 10. Hãy kiên trì luyện tập và ứng dụng linh hoạt các phương pháp giải để làm chủ chuyên đề này!