Chứng minh các điểm cùng thuộc một đường tròn

Trong chương trình Toán 9, chuyên đề chứng minh các điểm cùng thuộc một đường tròn đóng vai trò quan trọng trong việc phát triển tư duy hình học và rèn luyện kỹ năng lập luận chặt chẽ. Đây là dạng bài thường gặp trong đề thi vào lớp 10, đặc biệt ở các câu hỏi vận dụng – vận dụng cao. Tài liệu dưới đây giúp học sinh ôn tập chuyên sâu, qua hệ thống bài tập chọn lọc có lời giải chi tiết, bám sát cấu trúc đề thi, hỗ trợ học sinh chinh phục điểm cao môn Toán.

A. Cách chứng minh các điểm cùng nằm trên một đường tròn

Định nghĩa: Đường tròn tâm O bán kính R > 0 là hình gồm các điểm cách điểm O một khoảng R kí hiệu là (O; R) hay (O).

+ Đường tròn đi qua các điểm A₁; A₂; ...; A_n gọi là đường tròn ngoại tiếp đa giác A₁A₂...A_n

+ Đường tròn tiếp xúc với tất cả các cạnh của đa giác A₁A₂...A_n gọi là đường tròn nội tiếp đa giác đó.

Cách xác định tâm đường tròn

+ Trong tam giác vuông trung điểm cạnh huyền là tâm vòng tròn ngoại tiếp

+ Trong tam giác đều, tâm vòng tròn ngoại tiếp là trọng tâm tam giác đó.

+ Trong tam giác thường:

• Tâm vòng tròn ngoại tiếp là giao điểm của 3 đường trung trực của 3 cạnh tam giác đó
• Tâm vòng tròn nội tiếp là giao điểm 3 đường phân giác trong của tam giác đó
• Phương pháp chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên một đường tròn

Cách chứng minh các điểm cùng nằm trên đường tròn

Để chứng minh các điểm A₁; A₂; ...; A_n cùng thuộc một đường tròn ta chứng minh các điểm A₁; A₂; ...; A_n cách đều điểm O cho trước.

B. Bài tập chứng minh các điểm cùng thuộc đường tròn

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Vì tam giác ABC đều nên các trung tuyến đồng thời cũng là đường cao.

Suy ra AM, BN, CP lần lượt vuông góc với BC, AC, AB.

Từ đó ta có các tam giác BPC; BNC là tam giác vuông

Với BC là cạnh huyền, suy ra MP = MN = MB = MC

Hay: Các điểm B, P, N, C cùng thuộc đường tròn

Đường kính BC = a, tâm đường tròn là

Trung điểm M của BC.

Hướng dẫn giải:

Hình vẽ minh họa

Kéo dài AD; CB cắt nhau tại điểm T thì tam giác TCD vuông tại T.

+ Do MN là đường trung bình của tam giác ABD nên NM // AD.

+ MQ là đường trung bình của tam giác ABC nên MQ //BC. Mặt khác AD ⊥ BC => MN ⊥ MQ.

Chứng minh tương tự ta cũng có: MN ⊥ NP ; NP⊥ PQ. Suy ra MNPQ là hình chữ nhật.

Hay các điểm M, N, P, Q thuộc một đường tròn có tâm là giao điểm O của hai đường chéo NQ; MP.

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Vì tam giác ABC cân tại A nên tâm O của vòng tròn ngoại tiếp tam giác nằm trên đường trung trực của BC. Gọi K là giao điểm của AO và BM.

Dưng các đường trung tuyến MN, BP của tam giác ABM cắt nhau tại trọng tâm G.

Do MN //BC => MN ⊥ AO. Gọi K là giao điểm của BM và AO thì K là trọng tâm của tam giác ABC suy ra GK//AC.

Mặt khác ta có OM ⊥ AC suy ra GK ⊥ OM hay K là trực tâm của tam giác OMG => MK ⊥ OG.

Như vậy tam giác BQG vuông tại Q. Do đó tâm vòng tròn ngoại tiếp tam giác GQB là trung điểm I của BG.

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa:

Gọi N là trung điểm của BH thì MN là đường trung bình của tam giác HBC suy ra MN ⊥ AB, mặt khác BH ⊥ AM => N là trực tâm của tam giác ABM suy ra AN ⊥ BM.

Do nên ADMN là hình bình hành suy ra AN // DM.

Từ đó ta có: hay tam giác DBM vuông tại M nên tâm vòng tròn ngoại tiếp tam giác DBM là trung điểm O của BD.

Ta có

.

C. Bài tập tự rèn luyện có đáp án

Bài tập 1. Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. Gọi M, N là trung điểm của CD; DE. AM cắt BN tại I. Chứng minh rằng các điểm M, I, O, N, D nằm trên một đường tròn.

Bài tập 2. Cho hình vuông ABCD. Gọi M là trung điểm BC, N là điểm thuộc đường chéo AC sao cho . Chứng minh 4 điểm M, N, C, D nằm trên cùng một đường tròn.

Bài tập 3. Trong tam giác ABC gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, BC, CA. Các điểm _A1; B₁; C₁ lần lượt là các chân đường cao hạ từ đỉnh A, B, C đến các cạnh đối diện. A₂; B₂; C₂ là trung điểm của HA; HB; HC. Khi đó điểm cùng nằm trên một đường tròn gọi là đường tròn Ơ-le của tam giác.

Bài tập 4. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), AD là đường kính của (O). M là trung điểm của BC, H là trực tâm của tam giác. Gọi X; Y; Z lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm D lên HB; HC; BC. Chứng minh 4 điểm X; Y; Z; M cùng thuộc một đường tròn.

Bài tập 5. Cho tam giác ABC có trực tâm H. Lấy điểm M, N thuộc tia BC sao cho MN = BC và M nằm giữa B, C. Gọi D; E lần lượt là hình chiếu vuông góc của M, N lên AC; AB. Chứng minh các điểm A; D; E; H cùng thuộc một đường tròn.

Bài tập 6. Cho tam giác ABC, P là điểm bất kỳ PA; PB, PC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại A₁; B₁; C₁. Gọi A₂; B₂; C₂ là các điểm đối xứng với A₁; B₁; C₁ qua trung điểm của BC, CA, AB. Chứng minh rằng: A₂; B₂; C₂ và trực tâm H của tam giác ABC cùng thuộc một đường tròn.

Đáp án bài tập tự rèn luyện

Bài tập 1

Hình vẽ minh họa:

Do ABCDEF là lục giác đều nên OM ⊥ XD; ON ⊥DE

=> M, N, C, D nằm trên đường tròn đường kính OD.

Vì tam giác ΔOBN = ΔOAM nên điểm O cách đều AM, BN suy ra OI là phân giác trong của góc .

Kẻ (Do OH là đường trung bình của tam giác )

Kẻ (Do với )

Do suy ra D cách đều AM, BN hay ID là phân giác ngoài của .

Vậy 5 điểm M, I, O, N, D cùng nằm trên một đường tròn đường kính OD.

Bài tập 2.

Ta thấy tứ giác MCDN có nên để chứng minh 4 điểm M, N, C, D cùng nằm trên một đường tròn ta sẽ chứng minh .

Cách 1: Kẻ đường thẳng qua N song song với AB cắt BC, AD tại E; F.

Xét hai tam giác vuông NEM và DFN có:

từ đó suy ra ΔNEM = ΔDFN

Do đó

Hay tam giác MND vuông tại N. Suy ra 4 điểm M, N,C, D cùng nằm trên đường tròn đường kính MD.

Tài liệu quá dài để hiển thị hết — hãy nhấn Tải về để xem trọn bộ!

-------------------------------------

Với những dạng bài chứng minh điểm cùng thuộc một đường tròn điển hình và hướng dẫn giải cụ thể, chuyên đề này sẽ là hành trang vững chắc cho học sinh lớp 9 trong quá trình ôn thi vào lớp 10. Hãy luyện tập đều đặn để nắm vững kỹ năng hình học và tự tin bước vào kỳ thi quan trọng sắp tới.

Mời bạn đọc tham khảo thêm một số tài liệu đặc sắc của chúng tôi:

• Giải bài toán bằng cách lập bất phương trình
• Bất đẳng thức tam giác: Công thức, bổ đề mở rộng và bài tập có đáp án chi tiết
• Bài toán thực tế tam giác vuông – Hệ thức cạnh và góc có lời giải chi tiết
• Bài toán thực tế tính lãi suất