VnDoc.com

Chuyên đề Toán 9 Giải toán bằng cách lập phương trình

Ôn thi vào 10 môn Toán có đáp án

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 9

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Loại File: Word

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Giải bài toán bằng cách lập phương trình Toán 9

A. Hướng dẫn cách giải bài toán bằng cách lập phương trình
B. Các dạng giải toán bằng cách lập phương trình

Giải toán bằng cách lập phương trình là chuyên đề trọng tâm trong Toán 9, thường xuyên xuất hiện trong đề thi vào lớp 10 môn Toán. Dạng toán này yêu cầu học sinh biết phân tích đề, chọn ẩn phù hợp và xây dựng phương trình chính xác. Bài viết dưới đây hệ thống lại phương pháp làm bài khoa học, kèm ví dụ và đáp án giúp luyện tập hiệu quả.

A. Hướng dẫn cách giải bài toán bằng cách lập phương trình

Các bước giải một bài toán bằng cách lập phương trình:

Bước 1: Lập phương trình.

Chọn ẩn số và đặt điểu kiện thích hợp cho ẩn số.
Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.
Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

Bước 2: Giải phương trình.

Bước 3: Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thoả mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không, rồi kết luận.

B. Các dạng giải toán bằng cách lập phương trình

Dạng 1. Toán chuyển động đều

Bài 1. Quãng đường dài 90km, có hai ô tô khởi hành cùng một lúc. Ô tô thứ nhất đi từ A đến B ô tô thứ hai đi từ B đến A. Sau 1 giờ hai xe gặp nhau và tiếp tục đi. Xe ô tô thứ hai tới A trước xe thứ nhất tới B là 27 phút. Tính vận tốc mỗi xe.

Hướng dẫn giải

Ta có: 27 phút $= \frac{9}{{20}}$ (giờ).

Sau 1 giờ hai xe gặp nhau nên tổng vận tốc của hai xe bằng 90(km/h) .

Gọi x là vận tốc cùa thứ nhất (x > 0; tính bằng km/h).

thì vận tốc của xe thứ hai là $90 - x\left( {km/h} \right);(x < 90)$

Thời gian của xe thứ nhất di từ A dến B là $\frac{{90}}{x}$ (giờ).

Thời gian của xe thứ hai là $\frac{{90}}{90-x}$ (giờ).

Ta có phương trình:

$\begin{matrix} \frac{{90}}{x} - \frac{9}{{90 - x}} = \frac{9}{{20}} \hfill \\ \Leftrightarrow {x^2} - 490x + 18000 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 40\;(TM)\;} \\ {x = 450\;(L)\;} \end{array}} \right. \hfill \\ \end{matrix}$

Trả lời: Vận tốc của xe thứ nhất là 40km/h; vận tốc của xe thứ hai là 50km/h.

Bài 2. Một ô tô dự định đi từ A đến B cách nhau 120km trong một thời gian đã định. Sau khi đi 1 giờ, ô tô dừng lại 10 phút. Do đó để dến B dúng như dự kiến, ô tô phải tăng vận tốc thêm . Tính vận tốc ban đầu của ô tô.

Hướng dẫn giải

Gọi là vận tốc ban đầu của ô tô.

Như vậy thời gian dự định để đi từ A đến B là $\frac{{120}}{x}$ (h).

Ta có 10 phút $= \frac{1}{6}$ (giờ).

Sau khi đi 1 giờ, ô tô đi được một đoạn đường là x(km) (như vận tốc của ô tô đã dự định đi 1 giờ được x(km).

Vậy quãng đường còn lại là $120 - x\left( {km} \right)$ .

Ta có phương trình

$\frac{{120 - x}}{{x + 6}} + 1 + \frac{1}{6} = \frac{{120}}{x}$

$\begin{matrix} \Leftrightarrow 6x\left( {120 - x} \right) + 7x\left( {x + 6} \right) = 720\left( {x + 6} \right)\; \hfill \\ \Leftrightarrow {x^2} + 42x - 4320 = 0\left( {{\;^*}} \right) \hfill \\ \Delta = 1;b = 42 \Rightarrow b' = 21;c = - 4320 \hfill \\ \Delta ' = {21^2} + 4320 = 4341 > 0 \Rightarrow \sqrt {\Delta '} = 69 \hfill \\ \end{matrix}$

Ta có: $\left( * \right) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = - 21 - 69} \\ {x = - 21 + 69} \end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = - 90\;(L)\;} \\ {x = 48\;(TM)\;} \end{array}} \right.} \right.$

Trả lời: Vận tốc dự định của ô tô là 48km/h.

Dạng 2. Toán về công việc làm chung

Bài 4. Hai vòi nước cùng chảy vào một bể thì 6 giờ đầy bể. Nếu mở vòi chảy một mình cho đầy bể thì vòi thứ hai cấn nhiều hơn vòi thứ nhất 5 giờ. Tính thời gian để mỗi vòi chảy một mình đầy bể.

Hướng dẫn giải

Gọi thời gian để vòi thứ nhất chảy đầy bể là x (giờ) (x > 0) thì thời gian để vòi thứ hai chảy đầy bể x + 5 (giờ)

Khi đó, mỗi giờ vòi thứ nhất chảy được $\frac{1}{x}$ bể; vòi thứ hai chảy được $\frac{1}{{x + 5}}$ bể và cả hai vòi chảy được $\frac{1}{6}$ bể.

Vậy, ta có phương trình:

$\begin{matrix} \frac{1}{x} + \frac{1}{{x + 5}} = \frac{1}{6} \hfill \\ \Leftrightarrow 6\left( {x + 5} \right) + 6x = x\left( {x + 5} \right) \hfill \\ \Leftrightarrow {x^2} - 7x - 30 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 10\;(nhan)\;} \\ {x = - 3\;(loai)\;} \end{array}} \right. \hfill \\ \end{matrix}$

Trả lời:

Vòi thứ nhất chảy đầy bể trong 10 giờ.

Vòi thứ hai chảy đầy bế trong 15 giờ.

Dạng 3.Tính độ dài, diện tích

Bài 6. Một mảnh đất hình chữ nhật có dộ dài dường chéo là 13m, chiều dài hơn chiều rộng là 7m. Tính diện tích của mảnh đất.

Gợi ý: Áp dụng dịnh lí Pythagore vào tam giác vuông có cạnh huyền là đường chéo hình chữ nhật, hai cạnh góc vuông là hai cạnh hình chữ nhật.

Hướng dẫn giải

Gọi là chiều rộng của hình chữ nhật, thì chiều dài của nó là x + 7(m).

Áp dụng dịnh lí Pythagore vào tam giác vuông ABD, ta có:

$B{D^2} = A{D^2} + A{B^2}$

Vậy ta có phương trình:

$\begin{matrix} {x^2} + {(x + 7)^2} = {13^2} \Leftrightarrow 2{x^2} + 14x - 120 = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow {x^2} + 7x - 60 = 0\left( * \right){\text{ }}\;\left( {a = 1;b = 7;c = - 60} \right) \hfill \\ \Delta = 289 > 0 \Rightarrow \sqrt \Delta = 17 \hfill \\ \end{matrix}$

$\left( * \right) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = \dfrac{{ - 7 - 17}}{2}} \\ {x = \dfrac{{ - 7 + 17}}{2}} \end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = - 12(loai)\;\;} \\ {x = 5} \end{array}} \right.} \right.$

Chiều rộng, chiều dài hình chữ nhật lần lượt là 5(m) và 12(m).

Vây diện tích hình chữ nhật là: 60m².

Dạng 4. Tìm số tự nhiên

Bài 8. Tích của hai số tự nhiên liên tiếp lớn hơn tổng của chúng là 109. Tìm hai số đó.

Gợi ý: Hai số tự nhiên liên tiếp là và (chẳng hạn: 5 và 6).

Hướng dẫn giải

Gọi số tự nhiên là thì $x;\left( {x \in {\mathbb{N}^*}} \right)$ số kề sau nó là .

Theo bài ra, ta có phương trình:

$x(x + 1) - (x + x + 1) = 109 \Leftrightarrow {x^2} + x - x - x - 1 - 109 = 0$

$\begin{matrix} \Leftrightarrow {x^2} - x - 110 = 0\left( * \right) \hfill \\ (a = 1;b = - 1;c = - 110) \hfill \\ \Delta = {\left( { - 1} \right)^2} - 4.1.( - 110) = 441 > 0;{\text{ }} \Rightarrow \sqrt \Delta = 21 \hfill \\ \end{matrix}$

Vậy $(*) \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = \frac{{1 + 21}}{2} \hfill \\ x = \frac{{1 - 21}}{2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 11\left( {tm} \right) \hfill \\ x = - 10\left( {ktm} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Trả lời: Hai số cần tìm là 11 và 12.

Dạng 5. Bài toán về phần trăm

Bài 11. Dân số của một tỉnh sau hai năm tăng từ 2.000.000 người lên 2048288 người. Tính xem hàng năm trung bình dân số tăng bao nhêu phần trăm?

Gợi ý: Tìm số dân tăng từng năm: Sau năm thứ nhất khác với sau năm thứ hai. Ta không thể lấy 2048288 trừ đi 2.000.000 và chia trung bình (chia cho 2).

Hướng dẫn giải

Gọi phần trăm tăng mỗi năm là $x\left( {\text{\% }} \right);x > 0$

Sau năm thứ nhất số dân của tỉnh là:

$2.000.000 + 2.000.000 \cdot \frac{{\text{x}}}{{100}} = 2.000.000 + 20.000.{\text{x}}$

Số dân sau năm thứ hai là:

$\left( {2.000.000 + 20.000x} \right) \cdot \frac{x}{{100}} = 200x\left( {x + 100} \right)$

Theo bài ra, ta có phương trình:

$\begin{matrix} 2000.000 + 20.000x + 200x\left( {x + 100} \right) = 2.048.288 \hfill \\ \Leftrightarrow {x^2} + 200x - 241,44 = 0\left( * \right) \hfill \\ \left( {a = 1;b = 200 \Rightarrow b' = 100;c = - 241,44} \right.\;)\; \hfill \\ \Delta ' = 10000 + 241,44 = 10241,44 > 0 \Rightarrow \sqrt {\Delta '} = 101,2 \hfill \\ \end{matrix}$

$(*) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = - 100 - 101,2} \\ {x = - 100 + 101,2} \end{array} \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = - 201,2(loai) \hfill \\ x = 1,2(tm) \hfill \\ \end{gathered} \right.} \right.$

Trả lời: Hàng năm dân số tỉnh A tăng1,2%.

📄 Do dung lượng nội dung lớn, tài liệu chi tiết được cung cấp dưới dạng file tải về.

-------------------------------------------

Nắm vững phương pháp lập phương trình giúp học sinh xử lý linh hoạt nhiều bài toán thực tế trong Toán 9 và tự tin hơn khi bước vào kỳ thi vào lớp 10 môn Toán. Đây là chuyên đề nền tảng nhưng có tính phân loại cao, cần được rèn luyện thường xuyên để đạt kết quả tốt.

Tải về

Chọn file muốn tải về: