Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Bài tập Công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc 2

Công thức nghiệm phương trình bậc hai

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 9

Môn: Toán

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai

A. Công thức nghiệm thu gọn
B. Bài tập giải phương trình bậc hai bằng công thức nghiệm thu gọn

Trong các dạng toán phương trình bậc hai, việc áp dụng công thức nghiệm thu gọn giúp rút ngắn thời gian tính toán và hạn chế sai sót. Đặc biệt, với những bài tập có hệ số phù hợp, công thức thu gọn mang lại hiệu quả vượt trội so với cách giải thông thường. Bài viết này tổng hợp bài tập công thức nghiệm thu gọn được chọn lọc, giúp học sinh nắm chắc cách sử dụng và vận dụng linh hoạt.

A. Công thức nghiệm thu gọn

Xét phương trình bậc hai $ax^{2} + bx + c = 0(a \neq 0)$ , với b =
2b' và $\Delta' = {b'}^{2} - ac$ .

Nếu $\Delta' > 0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: $x_{1} = \frac{- b' + \sqrt{\Delta'}}{a},x_{2} = \frac{- b' - \sqrt{\Delta'}}{a}.$
Nếu $\Delta' = 0$ thì phương trình có nghiệm kép: $x_{1} = x_{2} = - \frac{b'}{a}$ .
Nếu $\Delta' < 0$ thì phương trình vô nghiệm.

Các công thức ở trên gọi là công thức nghiệm thu gọn.

B. Bài tập giải phương trình bậc hai bằng công thức nghiệm thu gọn

Bài tập 1. Giải phương trình bằng công thức nghiệm thu gọn.

a) $5x^{2} + 2x - 16 = 0$ (1) b) $x^{2} - 2\sqrt{3}x - 6 = 0$ (2)

c) $x^{2} - 2\sqrt{2}x + 2\sqrt{2} - 1 = 0$ (3) d) $\sqrt{2}x^{2} - 2(\sqrt{2} - 1)x + \sqrt{2} - 2 = 0$ (4)

Gợi ý: Nhận xét về hệ số , tính $b' = \frac{b}{2}\ \ và\ \ \Delta' = b'^{2} - ac$

Hướng dẫn giải

a) Xét phương trình: $5x^{2} + 2x - 16 = 0$ (1)

Ta có: $a = 5;\ \ b = 2 \Rightarrow b' = 1;\ \ c = - 16$

$\Delta' = 1^{2} - 5.( - 16) = 81 > 0 \Rightarrow \sqrt{\Delta'} = \sqrt{81} = 9$

Vậy phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt:

$x_{1} = \frac{- 1 - 9}{5} = - 2;\ \ \ x_{2} = \frac{- 1 + 9}{5} = \frac{8}{5}$

b) Xét phương trình: $x^{2} - 2\sqrt{3}x - 6 = 0$ (2)

Ta có: $a = 1;\ \ b = - 2\sqrt{3} \Rightarrow b' = - \sqrt{3};\ \ c = - 6$

$\Delta' = ( - \sqrt{3})^{2} - 1.( - 6) = 9 > 0 \Rightarrow \sqrt{\Delta'} = \sqrt{9} = 3$

Vậy phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt:

$x_{1} = \frac{- ( - \sqrt{3}) - 3}{1} = \sqrt{3} - 3;\ \ \ x_{2} = \frac{- ( - \sqrt{3}) + 3}{1} = \sqrt{3} + 3$

c) Xét phương trình: $x^{2} - 2\sqrt{2}x + 2\sqrt{2} - 1 = 0$ (3)

Ta có: $a = 1;\ \ b = - 2\sqrt{2}$

$\Rightarrow b' = - \sqrt{2};\ \ c = 2\sqrt{2} - 1$

$\Delta' = ( - \sqrt{2})^{2} - 1.(2\sqrt{2} - 1) = 2 - 2\sqrt{2} + 1 = (\sqrt{2} - 1)^{2} > 0$

$\Rightarrow \Delta' = \sqrt{(\sqrt{2} - 1)^{2}} = \sqrt{2} - 1 > 0$

Vậy phương trình (3) có hai nghiệm phân biệt:

$x_{1} = \sqrt{2} - (\sqrt{2} - 1) = 1;\ \ \ x_{2} = \sqrt{2} + (\sqrt{2} - 1) = 2\sqrt{2} - 1$

d) Xét phương trình $\sqrt{2}x^{2} - 2(\sqrt{2} - 1)x + \sqrt{2} - 2 = 0$ (4)

Ta có: $a = \sqrt{2};\ \ b = - 2\left( \sqrt{2} - 1 \right)$

$\Rightarrow b' = - (\sqrt{2} - 1);\ \ c = \sqrt{2} - 2$

$\Delta' = \left\lbrack - \left( \sqrt{2} - 1 \right) \right\rbrack^{2} - \sqrt{2}\left( \sqrt{2} - 1 \right) = 1 > 0$

$\Rightarrow \sqrt{\Delta'} = \sqrt{1} = 1$

Vậy phương trình (4) có hai nghiệm phân biệt:

$x_{1} = \frac{(\sqrt{2} - 1) - 1}{\sqrt{2}} = 1 - \sqrt{2};\ \ \ x_{2} = \frac{(\sqrt{2} - 1) + 1}{\sqrt{2}} = 1$

Bài tập 2. Với giá trị nào của phương trình sau đây vô nghiệm.

a) $3x^{2} - 2x + m = 0$ (1) b) $5x^{2} - 18x + m = 0$ (2)

Gợi ý: Phương trình $ax^{2} + bx + c = 0$ vô nghiệm $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a \neq 0 \\ \Delta' < 0 \end{matrix} \right.$

Hướng dẫn giải

a) Xét phương trình $3x^{2} - 2x + m = 0$ (1)

Ta có: $a = 3;\ \ b = - 2 \Rightarrow b' = - 1;\ \ c = m$

$\Delta' = ( - 1)^{2} - 3m = 1 - 3m$

Phương trình (1) vô nghiệm $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 3 \neq 0 \\ 1 - 3m < 0 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow m > \frac{1}{3}$

b) Xét phương trình $5x^{2} - 18x + m = 0$ (2)

Ta có: $a = 5;\ \ b = 18 \Rightarrow b' = 9;\ \ c = m$

$\Delta' = 9^{2} - 5m = 81 - 5m$

Phương trình (2) vô nghiệm $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 5 \neq 0 \\ 81 - 5m < 0 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow m > \frac{81}{5}$

Bài tập 3. Tìm để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt.

a) $(m + 1)x^{2} + 4mx + 4m - 1 = 0$ (1) b) $x^{2} - 2(m + 3)x + m^{2} + 3 = 0$ (2)

c) $x^{2} - 2(m - 1)x + m^{2} = 0$ (3) d) $x^{2} - 2(m + 1)x + m^{2} + m - 1 = 0$ (4)

Gợi ý: Phương trình $ax^{2} + bx + c = 0$ có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a \neq 0 \\ \Delta' > 0 \end{matrix} \right.$

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

$a = m + 1;b = 4m \Rightarrow b' = 2m;c = 4m - 1$ .

$\Delta' = (2m)^{2} - (m + 1)(4m - 1)$ $= 4m^{2} - 4m^{2} + m - 4m + 1 = - 3m + 1$

Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a \neq 0 \\ \Delta' > 0 \end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m + 1 \neq 0 \\ - 3m + 1 > 0 \end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \neq - 1 \\ m < \frac{1}{3} \end{matrix} \right.\ \right.\ \right.$

b) Ta có: $\Rightarrow b' = - (m + 3);c = m^{2} + 3$ .

$\Delta' = \lbrack - (m + 3)\rbrack^{2} - \left( m^{2} + 3 \right)$ $= m^{2} + 6m + 9 - m^{2} - 3 = 6m + 6$

Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a \neq 0 \\ \Delta' > 0 \end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 1 > 0 \\ 6m + 6 > 0 \end{matrix} \Leftrightarrow m > - 1 \right.\ \right.$

c) Ta có:

$\Rightarrow b' = - (m - 1) = 1 - m;c = m^{2}$ .

$\Delta' = (1 - m)^{2} - m^{2} = 1 - 2m + m^{2} - m^{2} = 1 - 2m$

Phương trình (3) có hai nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a \neq 0 \\ \Delta' > 0 \end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 1 \neq 0 \\ 1 - 2m > 0 \end{matrix} \Leftrightarrow m < \frac{1}{2} \right.\ \right.$

d) Ta có: $\Rightarrow b' = - (m + 1);c = m^{2} + m - 1$

$\Delta' = \lbrack - (m + 1)\rbrack^{2} - \left( m^{2} + m - 1 \right)$ $= m^{2} + 2m + 1 - m^{2} - m + 1 = m + 2$

Phương trình (4) có hai nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a \neq 0 \\ \Delta' > 0 \end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 1 \neq 0 \\ m + 2 > 0 \end{matrix} \Leftrightarrow m > - 2 \right.\ \right.$

---------------------------------------

Thông qua hệ thống bài tập áp dụng công thức nghiệm thu gọn, người học có thể rèn luyện kỹ năng giải nhanh phương trình bậc hai và nhận diện đúng dạng toán cần sử dụng. Đây là công cụ quan trọng giúp nâng cao hiệu quả làm bài và đạt kết quả tốt trong các bài kiểm tra.

Xem thử Tải về

Chọn file muốn tải về: