Giải phương trình nghiệm nguyên bằng delta
Toán 9: Phương trình nghiệm nguyên
Phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bằng cách sử dụng tính chất phương trình bậc hai cung cấp cho các em lý thuyết kèm các dạng bài Phương trình nghiệm nguyên, giúp các em dễ dàng vận dụng khi làm các bài tập liên quan. Sau đây mời các bạn tham khảo chi tiết.
A. Cách giải phương trình nghiệm nguyên bằng Delta
Biến đổi phương trình về dạng phương trình bậc 2 của một ẩn coi các ẩn khác là tham số, sử dụng các tính chất về nghiệm của phương trình bậc 2 để xác định giá trị của tham số.
Ngoài điều kiện 
\(\Delta \geq 0\) để phương trình có nghiệm nguyên thì \(\Delta\)phải là số chính phương. Vận dụng điều này ta có thể giải được bài toán.
Chú ý: \(\Delta\) là số chính phương chỉ là điều kiện cần nhưng chưa đủ để phương trình có nghiệm nguyên, do đó sau khi tìm được giá trị đó cần thử lại vào phương trình ban đầu.
B. Bài tập giải phương trình nghiệm nguyên bằng delta
Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: \(x^{2}–(y + 5).x + 5y + 2 = 0\)
Hướng dẫn giải
Ta có: \(x^{2}–(y + 5).x + 5y + 2 =
0\)0 coi y là tham số ta có phương trình bậc 2 ẩn x.
Giả sử phương trình bậc 2 có 2 nghiệm x1, x2
Theo định lý Viet, ta có : \(\left\{
\begin{matrix}
x_{1} + x_{2} = y + 5 \\
x_{1}.x_{2} = 5y + 2 \\
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
5x_{1} + 5x_{2} = 5y + 25 \\
x_{1}.x_{2} = 5y + 2 \\
\end{matrix} \right.\)
\(\Rightarrow 5x_{1} + 5x_{2} - x_{1}x_{2}
= 23\)
\(\Rightarrow \left( x_{1} - 5
\right)\left( x_{2} - 5 \right) = 2\) mà \(2 = 1.2 = ( - 1).( - 2)\)
\(\left\lbrack \begin{matrix}
x_{1} + x_{2} = 13 \\
x_{1} + x_{2} = 7 \\
\end{matrix} \right.\ \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
y = 8 \\
y = 2 \\
\end{matrix} \right.\)
Thay vào phương trình ta tìm được các cặp số (7; 8); (6; 8); (4; 2); (3; 2) là các nghiệm nguyên của phương trình.
Ví dụ 2: Giải phương trình nghiệm nguyên \(x^{2}y^{2} - xy = x^{2} + 2y^{2}\ \ \ \
(*)\).
Hướng dẫn giải
Phương trình đã cho viết lại như sau :
\(\left( x^{2} - 2 \right)y^{2} - xy -
x^{2} = 0\ \ (2)\)
Do x nguyên nên \(\left( x^{2} - 2 \right)
\neq 0\) coi phương tròn (2) là phương trình ẩn y tham số x ta có:
\(\Delta = x^{2} + 4x^{2}\left( x^{2} - 2
\right) = x^{2}\left( 4x^{2} - 7 \right)\)
Để phương trình có nghiệm nguyên thì \(\Delta\) phải là số chính phương.
Xét \(x = 0\) thì từ (1) suy ra y = 0
Xét \(x \neq 0\) thì \(\left( 4x^{2} - 7 \right)\) phải là số chính phương do đó \(4x^{2} - 7 =
m^{2}\) với m là số nguyên, ta có:
\((2x - m)(2x + m) = 7\) ta tìm được x = 2 hoặc x = -2
Với x = 2 thay vào (2) ta được \(y^{2} + y
+ 2 = 0 \Rightarrow y \in \left\{ 1; - 2 \right\}\)
Với x = -2 thay vào (2) ta được: \(y^{2} -
y - 2 = 0 \Rightarrow y \in \left\{ - 1;2 \right\}\)
Nghiệm nguyên của phương trình là: \((x;y)
= (2;1),(2; - 2),( - 2; - 1),( - 2;2)\)
C. Bài tập vận dụng giải phương trình nghiệm nguyên
Bài 1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình \(x^{2} - y^{2} = xy + 8\).
Bài 2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình \(x^{2} - 2y(x - y) = 2(x + 1)\).
Bài 3. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương \((x;y)\) thỏa mãn \(2x^{2} + 5y^{2} = 41 + 2xy\).
Bài 4. Tìm nghiệm nguyên của phương trình \(x^{2} - xy + y^{2} = 2x - 3y - 2\).
---------------------------------------------
Mời bạn đọc tải tài liệu tham khảo đầy đủ của chúng tôi!
