Giải phương trình nghiệm nguyên bằng cách đưa về phương trình ước số

Tài liệu Phương trình nghiệm nguyên cung cấp cho các em lý thuyết kèm các dạng bài giải phương trình nhiều biến nâng cao giúp các em dễ dàng vận dụng khi làm các bài tập liên quan. Sau đây mời các bạn tham khảo chi tiết. 

1. Phương trình nghiệm nguyên

Giải phương trình $f(x;y;z;...)=0$ chứa các ẩn $x;y;z;...$ với nghiệm nguyên là tìm tất cả các bộ số nguyên $(x;y;z;...)$ thỏa mãn phương trình nghiệm nguyên

a. Phương trình $a{x}^2+bx+c=0$

• Nếu có nghiệm nguyên là $x_0$ thì $c⋮x_0$
• Phương trình có nghiệm nguyên khi $\mathrm{\Delta };({\mathrm{\Delta }}^{\prime })$ là số chính phương, hoặc $\mathrm{\Delta };({\mathrm{\Delta }}^{\prime })$k không âm.

b. Phương trình được đưa về dạng $f(x).g(x)=k$ 

• Với $f(x)$ và $g(x)$ là các đa thức hệ số nguyên. Ta phân tích $k$ ra thừa số nguyên tố rồi giải các hệ phương trình.

$\{\begin{array}{c}f(x)=m\\ g(x)=m\end{array};(m.n=k)$

2. Cách giải phương trình nghiệm nguyên bằng cách đưa về phương trình ước số

Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: $2(x+y)+5=3xy$?

Hướng dẫn giải

Ta có:

$2(x+y)+5=3xy\iff 3xy-2x-2y=5$

$\iff y(3x-2)-\frac{2}{3}(3x-2)=5+\frac{4}{3}$

$\iff (3x-2)(y-\frac{2}{3})=19$

Do $x;y$ nguyên dương nên $\{\begin{array}{c}3x-2\ge 1\\ 3y-2\ge 1\end{array}$ mà 19 = 1.19 = 19.1 nên ta có các khả năng sau: $\{\begin{array}{c}3x-2=1\\ 3y-2=19\end{array}(I)$ ; $\{\begin{array}{c}3x-2=19\\ 3y-2=1\end{array}(II)$

Giải các hệ phương trình trên, ta được 2 nghiêm nguyên của phương trình là

$(x;y)\in \{(1;7),(7;1)\}$

Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $x^2+x+6=y^2$?

Hướng dẫn giải

Ta có:

$x^2+x+6=y^2$

$\iff 4x^2+4x+24=4y^2$

$\iff (2x+1{)}^2-4y^2=-23$

$\iff (2x-2y+1)(2x+2y+1)=-23$

Suy ra $\{\begin{array}{c}2x-2y+1=-1\\ 2x+2y+1=23\end{array}$ hoặc $\{\begin{array}{c}2x-2y+1=23\\ 2x+2y+1=-1\end{array}$ hoặc $\{\begin{array}{c}2x-2y+1=1\\ 2x+2y+1=-23\end{array}$ hoặc $\{\begin{array}{c}2x-2y+1=-23\\ 2x+2y+1=1\end{array}$

Giải các trường hợp trên và kết hợp với điều kiện x, y nguyên ta được các nghiệm nguyên (x, y) là $(5;6);(5;-6);(-6;-6);(-6;6)$

Ví dụ 3: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $x^4+4x^3+6x^2+4x=y^2$ ?

Hướng dẫn giải

Ta có:

$x^4+4x^3+6x^2+4x=y^2$

$\iff x^4+4x^3+6x^2+4x+1-y^2=1$

$\iff (x+1{)}^4-y^2=1$

$\iff [(x+1{)}^2-y][(x+1{)}^2+y]=1$

$\iff [\begin{array}{c}\{\begin{array}{c}(x+1{)}^2-y=-1\\ (x+1{)}^2+y=-1\end{array}\\ \{\begin{array}{c}(x+1{)}^2-y=1\\ (x+1{)}^2+y=1\end{array}\end{array}\iff [\begin{array}{c}-1+y=-1-y\\ 1+y=1-y\end{array}$

$\Rightarrow y=0\Rightarrow (x+1{)}^2=1\iff [\begin{array}{c}x+1=1\\ x+1=-1\end{array}\iff [\begin{array}{c}x=0\\ x=-2\end{array}$

Thử lai các giá trị tương ứng của x và y ta thấy đều thỏa mãn phương trình đã cho.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm nguyên là $(x,y)\{(0,0);(-2,0)\}$

Ví dụ 4: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $y^3-x^3=91(1)$

Hướng dẫn giải

Ta có (1) tương đương với $(y-x)(x^2+xy+y^2)=91(\ast )$

Vì $x^2+xy+y^2>0$ với mọi x, y nên từ (*)$\Rightarrow y-x>0$

Mặt khác 91 = 1 . 91 = 7 . 13 và y - x ; x² + xy + y² đều có giá trị nguyên dương nên ta có bốn khả năng sau:

y - x = 91 và x² + xy + y² = 1 (I)

y - x = 1 và x² + xy + y² = 91 (II)

y - x = 3 và x² + xy + y² = 7 (III)

y - x = 7 và x² + xy + y² = 13 (IV)

Đến đây, bài toán coi như được giải quyết.

3. Bài tập giải phương trình nghiệm nguyên

Bài tập 1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình $5x-3y=2xy-11$?

Bài tập 2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình $x^2-2xy+3y-5x+7=0$?

Bài tập 3. Tìm nghiệm nguyên của phương trình $x^2+12x=y^2$?