VnDoc.com

Giải phương trình nghiệm nguyên bằng cách đưa về phương trình ước số

Ôn thi vào lớp 10 Môn Toán

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 9

Môn: Toán

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Chuyên đề Phương trình nghiệm nguyên

1. Phương trình nghiệm nguyên
2. Cách giải phương trình nghiệm nguyên bằng cách đưa về phương trình ước số
3. Bài tập ví dụ minh họa giải phương trình nghiệm nguyên bằng cách đưa về dạng tích
3. Bài tập tự rèn luyện giải phương trình nghiệm nguyên

Tài liệu Phương trình nghiệm nguyên cung cấp cho các em lý thuyết kèm các dạng bài giải phương trình nhiều biến nâng cao giúp các em dễ dàng vận dụng khi làm các bài tập liên quan. Sau đây mời các bạn tham khảo chi tiết.

1. Phương trình nghiệm nguyên

Giải phương trình chứa các ẩn với nghiệm nguyên là tìm tất cả các bộ số nguyên thỏa mãn phương trình nghiệm nguyên

a. Phương trình $ax^{2} + bx + c = 0$

Nếu có nghiệm nguyên là $x_{0}$ thì $c \vdots x_{0}$
Phương trình có nghiệm nguyên khi $\Delta;(\Delta')$ là số chính phương, hoặc $\Delta;(\Delta')$ k không âm.

b. Phương trình được đưa về dạng

Với và là các đa thức hệ số nguyên. Ta phân tích ra thừa số nguyên tố rồi giải các hệ phương trình.

$\left\{ \begin{matrix} f(x) = m \\ g(x) = m \\ \end{matrix} \right.\ ;(m.n = k)$

2. Cách giải phương trình nghiệm nguyên bằng cách đưa về phương trình ước số

Phương pháp đưa về phương trình ước số

Biến đổi phương trình về dạng: Vế trái là tích của của các đa thức chứa ẩn, vế phải là tích của các số nguyên.
Thực chất là biến đổi phương trình về dạng trong đó là các biểu thức nguyên, là một số nguyên.

3. Bài tập ví dụ minh họa giải phương trình nghiệm nguyên bằng cách đưa về dạng tích

Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: ?

Hướng dẫn giải

Ta có:

$2(x + y) + 5 = 3xy \Leftrightarrow 3xy - 2x - 2y = 5$

$\Leftrightarrow y(3x - 2) - \frac{2}{3}(3x - 2) = 5 + \frac{4}{3}$

$\Leftrightarrow (3x - 2)\left( y - \frac{2}{3} \right) = 19$

Do nguyên dương nên $\left\{ \begin{matrix} 3x - 2 \geq 1 \\ 3y - 2 \geq 1 \\ \end{matrix} \right.$ mà 19 = 1.19 = 19.1 nên ta có các khả năng sau: $\left\{ \begin{matrix} 3x - 2 = 1 \\ 3y - 2 = 19 \\ \end{matrix} \right.\ (I)$ ; $\left\{ \begin{matrix} 3x - 2 = 19 \\ 3y - 2 = 1 \\ \end{matrix} \right.\ (II)$

Giải các hệ phương trình trên, ta được 2 nghiêm nguyên của phương trình là

$(x;y) \in \left\{ (1;7),(7;1) \right\}$

Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $x^{2} + x + 6 = y^{2}$ ?

Hướng dẫn giải

Ta có:

$x^{2} + x + 6 = y^{2}$

$\Leftrightarrow 4x^{2} + 4x + 24 = 4y^{2}$

$\Leftrightarrow (2x + 1)^{2} - 4y^{2}\ = - 23$

$\Leftrightarrow (2x - 2y + 1)(2x + 2y + 1) = - 23$

Suy ra $\left\{ \begin{matrix} 2x - 2y + 1 = - 1 \\ 2x + 2y + 1 = 23 \\ \end{matrix} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{matrix} 2x - 2y + 1 = 23 \\ 2x + 2y + 1 = - 1 \\ \end{matrix} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{matrix} 2x - 2y + 1 = 1 \\ 2x + 2y + 1 = - 23 \\ \end{matrix} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{matrix} 2x - 2y + 1 = - 23 \\ 2x + 2y + 1 = 1 \\ \end{matrix} \right.$

Giải các trường hợp trên và kết hợp với điều kiện x, y nguyên ta được các nghiệm nguyên (x, y) là

Ví dụ 3: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $x^{4} + 4x^{3} + 6x^{2} + 4x = y^{2}$ ?

Hướng dẫn giải

Ta có:

$x^{4} + 4x^{3} + 6x^{2} + 4x = y^{2}$

$\Leftrightarrow x^{4} + 4x^{3} + 6x^{2} + 4x + 1 - y^{2} = 1$

$\Leftrightarrow (x + 1)^{4} - y^{2} = 1$

$\Leftrightarrow \left\lbrack (x + 1)^{2} - y \right\rbrack\left\lbrack (x + 1)^{2} + y \right\rbrack = 1$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} (x + 1)^{2} - y = - 1 \\ (x + 1)^{2} + y = - 1 \\ \end{matrix} \right.\ \\ \left\{ \begin{matrix} (x + 1)^{2} - y = 1 \\ (x + 1)^{2} + y = 1 \\ \end{matrix} \right.\ \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} - 1 + y = - 1 - y \\ 1 + y = 1 - y \\ \end{matrix} \right.$

$\Rightarrow y = 0 \Rightarrow (x + 1)^{2} = 1 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x + 1 = 1 \\ x + 1 = - 1 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = - 2 \\ \end{matrix} \right.$

Thử lai các giá trị tương ứng của x và y ta thấy đều thỏa mãn phương trình đã cho.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm nguyên là $(\ x,y)\left\{ (\ 0,0);( - 2,0) \right\}$

Ví dụ 4: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $y^{3} - \ x^{3} = \ 91\ \ \ (1)$

Hướng dẫn giải

Ta có (1) tương đương với $(y - x)\left( x^{2} + xy + y^{2} \right) = 91(*)$

Vì $x^{2} + xy + y^{2} > 0$ với mọi x, y nên từ (*) $\Rightarrow y - x > 0$

Mặt khác 91 = 1 . 91 = 7 . 13 và y - x ; x² + xy + y² đều có giá trị nguyên dương nên ta có bốn khả năng sau:

y - x = 91 và x² + xy + y² = 1 (I)

y - x = 1 và x² + xy + y² = 91 (II)

y - x = 3 và x² + xy + y² = 7 (III)

y - x = 7 và x² + xy + y² = 13 (IV)

Đến đây, bài toán coi như được giải quyết.

3. Bài tập tự rèn luyện giải phương trình nghiệm nguyên

Bài tập 1: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $x^{2} + 2y^{2} + 3xy + 3x + 3y = 15$ .

Bài tập 2: Giải phương trình nghiệm nguyên : $x^{2} + 4x - y^{2} = 1$ .

Bài tập 3: Giải phương trình nghiệm nguyên: .

Bài tập 4: Giải phương trình nghiệm nguyên: $x^{2} + xy + 3y = 11$ .

Bài tập 5: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: .

Bài tập 6: Giải phương trình nghiệm nguyên: $x^{2} - 25 = y(y + 6)$ .

Bài tập 7: Giải phương trình nghiệm nguyên: $x(x + 1)(x + 2)(x + 3) = y^{2}$ .

Bài tập 8: Giải phương trình nghiệm nguyên: $x^{2} - y^{2} = 1999$ .

Bài tập 9: Giải phương trình nghiệm nguyên: $x^{2} + 2y = xy$ .

Bài tập 10: Giải phương trình nghiệm nguyên:.

Bài tập 11: Giải phương trình nghiệm nguyên: $x^{2} + y^{2} = 2x^{2}y^{2}$ .

Bài tập 12: Giải phương trình nghiệm nguyên: .

Bài tập 13: Giải phương trình nghiệm nguyên: $x(x - 1)(x - 7)(x - 8) = y^{2}$ .

Bài tập 14: Giải phương trình nghiệm nguyên: $y^{2} = x(x + 1)(x + 7)(x + 8)$ .

Đáp án bài tập giải phương trình nghiệm nguyên

Bài tập 1.

Biến đổi phương trình thành phương trình ẩn x và tham số y: $x^{2} + 3x(y + 1) + 2y^{2} + 5y = 15$

Tìm m để phương trình: $x^{2} + 3x(y + 1) + 2y^{2} + 5y + m = 15 + m$ có $\Delta$ là số chính phương (1)

Ta có: $\Delta = 9(y + 1)^{2} - 4\left( 2y^{2} + 5y + m \right) = y^{2} - 2y + 9 - 4m$

Chọn $m = 2 = > \Delta = (y - 1)^{2}$

Khi đó (1) trở thành:

$x^{2} + 3x(y + 1) + 2y^{2} + 5y + 2 = 17$

$\Leftrightarrow (x + y + 2)(x + 2y + 1) = 17$

Bài tập 2.

Ta có:

$\left( x^{2} + 4x + 4 \right) - y^{2} = 5$

$\Leftrightarrow (x + 2)^{2} - y^{2} = 5(x + 2 + y)(x + 2 - y) = 5$

Bài tập 3.

Ta có:

$< = > x(1 + 2y) - y - \frac{1}{2} = \frac{11}{2}$

Bài tập 4.

Ta có :

$\left( x^{2} + 2x.\frac{y}{2} + \frac{y^{2}}{4} \right) - \left( \frac{y^{2}}{4} - 3y \right) = 11$

$= > \left( \frac{2x + y}{2} \right)^{2} - \left( \frac{y - 3}{2} \right)^{2} = 2$

$(2x + y)^{2} - (y - 3)^{2} = 8$

Bài tập 5.

Biến đổi phương trình đã cho về dạng:

Vì $x,y \in Z \Rightarrow (x + 1),(y + 1)\mathbb{\in Z}$

$\Rightarrow x + 1 \in \left\{ \pm 1; \pm 2: \pm 5: \pm 10 \right\}$ , Thay vào tìm được y.

✨ Bài viết chỉ trích dẫn một phần nội dung, mời bạn tải tài liệu đầy đủ để nắm trọn kiến thức.

-------------------------------------------------

Như vậy, phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bằng cách đưa về phương trình ước số là một hướng tiếp cận hiệu quả, ngắn gọn và rất thường xuyên xuất hiện trong các dạng bài ôn thi vào lớp 10 môn Toán. Việc khai thác mối quan hệ giữa các ước số không chỉ giúp học sinh tìm nhanh nghiệm nguyên mà còn hạn chế sai sót khi xử lý các biểu thức đại số phức tạp.

Qua bài viết, bạn đọc đã được hệ thống lại quy trình giải, các lưu ý quan trọng và dạng bài tiêu biểu liên quan đến phương trình nghiệm nguyên lớp 9. Để đạt kết quả cao trong kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10, học sinh nên luyện tập thêm nhiều bài toán vận dụng, kết hợp linh hoạt phương pháp ước số với các kỹ thuật biến đổi đại số quen thuộc. Đừng quên theo dõi các bài viết tiếp theo để tiếp tục củng cố kiến thức Toán 9, nâng cao tư duy giải toán và tự tin chinh phục các bài toán khó trong đề thi vào lớp 10.

Xem thử Tải về

Chọn file muốn tải về: