VnDoc.com

Giải phương trình nghiệm nguyên bằng cách sử dụng tính chất chia hết

Ôn thi vào lớp 10 Môn Toán

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 9

Môn: Toán

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Chuyên đề Toán 9: Phương trình nghiệm nguyên

1. Phương trình nghiệm nguyên là gì?
2. Cách giải phương trình nghiệm nguyên bằng cách sử dụng tính chất chia hết
3. Bài tập ví dụ minh họa giải phương trình nghiệm nguyên sử dụng tính chất chia hết
4. Bài tập tự rèn luyện giải phương trình nghiệm nguyên

Tài liệu Các cách giải phương trình nghiệm nguyên cung cấp cho các em lý thuyết kèm các dạng bài giải phương trình nhiều biến nâng cao giúp các em dễ dàng vận dụng khi làm các bài tập liên quan. Sau đây mời các bạn tham khảo chi tiết.

1. Phương trình nghiệm nguyên là gì?

Giải phương trình chứa các ẩn với nghiệm nguyên là tìm tất cả các bộ số nguyên thỏa mãn phương trình nghiệm nguyên.

2. Cách giải phương trình nghiệm nguyên bằng cách sử dụng tính chất chia hết

Phương pháp giải

- Sử dụng tính chất chia hết để chứng minh phương trình vô nghiệm hoặc tìm nghiệm của phương trình.

- Hai vế của phương trình nghiệm nguyên khi chia cho cùng một số có số dư khác nhau thì phương trình đó không có nghiệm nguyên.

- Trong rất nhiều bài toán phương trình nghiệm nguyên ta tách phương trình ban đầu thành các phần có giá trị nguyên để dễ dàng đánh giá tìm ra nghiệm, đa số các bài toán sử dụng phương pháp này thường rút một ẩn (có bậc nhất) theo ẩn còn lại.

3. Bài tập ví dụ minh họa giải phương trình nghiệm nguyên sử dụng tính chất chia hết

Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $xy + x - 2y = 3\ \ \ (3)$ .

Hướng dẫn giải

Ta có (3) tương đương .

Vì không thỏa mãn phương trình nên (3) tương đương với: $y = \frac{- x + 3}{x - 2}$ $\Leftrightarrow y = - 1 + \frac{1}{x + 2}$

Ta thấy: y là số nguyên nên x - 2 là ước của 1 hay x - 2 = 1 hoặc x - 2 = -1 $\Leftrightarrow$ Với x = 1 hoặc x = 3.

Từ đó ta có nghiệm nguyên (x ; y) là (1 ; -2) và (3 ; 0).

Chú ý: Có thể dùng phương pháp 1 để giải bài toán này, nhờ đưa phương trình (3) về dạng: tương đương .

Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $3x + 17y = 159\ \ \ \ (1)$ ?

Hướng dẫn giải

Giả sử x ; y là các số nguyên thỏa mãn phương trình (1). Ta thấy 159 và 3x đều chia hết cho 3 nên $17y \vdots 3 \Rightarrow y \vdots 3$ (do 17 và 3 nguyên tố cùng nhau).

Đặt $y = 3t;\left( t\mathbb{\in Z} \right)$ thay vào phương trình ta được $3x + 17.3t = 159 \Leftrightarrow x + 17t = 53$

Do đó $\left\{ \begin{matrix} x = 53 - 17t \\ y = 3t \\ \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in Z} \right)$ . Thử lại thấy thỏa mãn phương trình đã cho.

Vậy phương trình có nghiệm với t là số nguyên tùy ý.

Ví dụ 3. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình ?

Hướng dẫn giải

Ta có: $xy - 2x - 3y + 1 = 0 \Rightarrow y(x - 3) = 2x - 1$

Ta thấy không là nghiệm nên $x \neq 3$ do đó $y = \frac{2x - 1}{x - 3}$

Tách ra ở phân thức $\frac{2x - 1}{x - 3}$ thành các giá trị nguyên:

$y = \frac{2x - 1}{x - 3} = \frac{2(x - 3) + 5}{x - 3} = 2 + \frac{5}{x - 3}$

Do y là số nguyên nên $\frac{5}{x - 3}$ cũng là số nguyên, do đó $(x - 3) \in U(5)$

$x - 3 = 1 \Rightarrow x = 4 \Rightarrow y = 2 + 5 = 7$

$x - 3 = - 1 \Rightarrow x = 2 \Rightarrow y = 2 - 5 = - 3(L)$

$x - 3 = 5 \Rightarrow x = 8 \Rightarrow y = 2 + 1 = 3$

$x - 3 = - 5 \Rightarrow x = - 2(L)$

Vậy nghiệm là: và .

Ví dụ 4. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình $x^{2} + xy - 2y - x - 5 = 0$ ?

Hướng dẫn giải

Nhận xét: Trong phương trình này ẩn y có bậc nhất nên rút y theo x.

Ta có:

$x^{2} + xy - 2y - x - 5 = 0 \Rightarrow y(x - 2) = - x^{2} + x + 5(*)$

Ta thấy không là nghiệm nên $x \neq 2$ do đó $y = \frac{- x^{2} + x + 5}{x - 2}$

Tách ra ở phân thức $\frac{- x^{2} + x + 5}{x - 2}$ thành các giá trị nguyên:

$y = \frac{- x^{2} + x + 5}{x - 2} = \frac{- x^{2} + x + 2}{x - 2} + \frac{3}{x - 2} = - x - 1 + \frac{3}{x - 2}$

Để $y\mathbb{\in Z}$ thì $3 \vdots (x - 2)$ , Vậy $(x - 2) \in U(3)$ do đó:

$(x - 2) \in \left\{ - 3; - 1;1;3 \right\} \Rightarrow x \in \left\{ - 1;1;3;5 \right\}$

Vậy nghiệm là:

4. Bài tập tự rèn luyện giải phương trình nghiệm nguyên

Bài tập 1: Chứng minh rằng không có các số nguyên x, y, z thỏa mãn : $4x^{2} + 4x = 8y^{3} - 2z^{2} + 4$ .

Bài tập 2: Giải phương trình nghiệm nguyên : .

Bài tập 3: Có tồn tại hay không các số tự nhiên m, n sao cho: $m^{2} - n^{2} = 101010$ .

Bài tập 4: Có tồn tại hay không hai số nguyên x, y thỏa mãn: $x^{3} + y^{3} + z^{3} = x + y + z + 2006$ .

Bài tập 5: Giải phương trình nghiệm nguyên: $x\left( 1 + x + x^{2} \right) = 4y(y + 1)$ .

Bài tập 6: Tìm các cặp số tự nhiên thỏa mãn: $x^{2} + 3^{y} = 3026$ .

Bài tập 7: Giải phương trình nghiệm nguyên : $x^{2} + 2y^{2} = 5$ .

Bài tập 8: Chứng minh phương trình sau không có nghiệm nguyên: $x^{2} - 2^{y} = 2005$ .

Bài tập 9: Tìm x, y nguyên sao cho: $2^{x} + 3 = y^{2}$ .

Bài tập 10: Tìm x, y nguyên sao cho: .

Bài tập 11: Tìm các số nguyên tố x, y, z thỏa mãn: $x^{y} + 1 = z$ .

Bài tập 12: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: $3^{x} - 2^{y} = 1$ .

Đáp án bài tập tự rèn luyện giải phương trình nghiệm nguyên

Bài tập 1.

Ta có $2z^{2} \vdots 4 = > z \vdots 2$

Ta có : $\left\lbrack 4x(x + 1) - 8y^{3} + 2z^{2} \right\rbrack \vdots 8$ mà 4 không chia hết cho 8

Vậy không tồn tại x, y, z

Bài tập 2.

Nhân với 4 ta có:

=> $36x + 21 = 4y^{2} + 4y + 1 = (2y + 1)^{2}$

Do $36x + 21 \vdots 3 = > 2y + 1 \vdots 3 = > (2y + 1)^{2} \vdots 9$ , mà không chia hết cho 9

=> Vô lý

Vậy không tồn tại x, y nguyên

Bài tập 3.

Giả sử tồn tại m, n là số tự nhiên thỏa mãn: $m^{2} - n^{2} = 101010$ (1)

Từ (1) => m, n cùng tính chẵn lẻ $= > m^{2} - n^{2} = (m - n)(m + n) \vdots 4$ ,

Nhưng 10101 không chia hết cho 4. Vậy không có m, n nào thỏa mãn.

Bài tập 4.

Ta có: $x^{3} - x = x\left( x^{2} - 1 \right) = (x - 1)x(x + 1) \vdots 3$

Tương tự ta có: $y^{3} - y \vdots 3,z^{3} - z \vdots 3$ ,

Biến đổi phương trình thành: $\left( x^{3} - x \right) + \left( y^{3} - y \right) + \left( z^{3} - z \right) = 2006$ .

Mà 2006 không chia hết cho 3. Vậy không tồn tại x, y, z

Bài tập 5.

Phương trình <=> $1 + x + x^{2} + x^{3} = 4y^{2} + 4y + 1$

$= > (x + 1)\left( x^{2} + 1 \right) = (2y + 1)^{2}$

Vì VP là 1 số lẻ => $(x + 1),\left( x^{2} + 1 \right)$ là số lẻ.

Giả sử : $\left( x + 1;x^{2} + 1 \right) = d$ => d lẻ.

Mà : $\left\{ \begin{matrix} 1 + x \vdots d \\ 1 + x^{2} \vdots d \end{matrix} \right.\ = > \left\{ \begin{matrix} 1 - x^{2} \vdots d \\ 1 + x^{2} \vdots d \end{matrix} \right.$

$= > (1 + x)\left( 1 + x^{2} \right)$ là số chính phương => $x + 1 = x^{2} + 1 = > x = 0$

📚 Phần tiếp theo của tài liệu đã được tổng hợp trong file đính kèm, mời bạn tải về để đọc tiếp.

-------------------------------------------------------------------

Tóm lại, phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bằng cách sử dụng tính chất chia hết đóng vai trò quan trọng trong chương trình Toán 9 và là dạng toán xuất hiện thường xuyên trong các đề ôn thi vào lớp 10 môn Toán. Việc vận dụng linh hoạt các quy tắc chia hết giúp học sinh nhanh chóng khoanh vùng nghiệm, rút gọn bài toán và tránh những phép thử không cần thiết. Thông qua bài viết này, người học đã nắm được cách nhận diện dạng toán, quy trình giải chuẩn cùng những lưu ý quan trọng khi xử lý phương trình nghiệm nguyên.

Để đạt hiệu quả cao trong kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10, học sinh nên luyện tập đa dạng các bài toán vận dụng tính chất chia hết, kết hợp với kỹ năng biến đổi đại số cơ bản. Hãy tiếp tục theo dõi và khai thác thêm các chuyên đề ôn tập Toán 9, nhằm củng cố kiến thức nền tảng và nâng cao khả năng giải nhanh, chính xác các bài toán nghiệm nguyên trong đề thi vào lớp 10.

Xem thử Tải về

Chọn file muốn tải về: