Giải phương trình nghiệm nguyên bằng cách sử dụng tính chất chia hết

Tài liệu Các cách giải phương trình nghiệm nguyên cung cấp cho các em lý thuyết kèm các dạng bài giải phương trình nhiều biến nâng cao giúp các em dễ dàng vận dụng khi làm các bài tập liên quan. Sau đây mời các bạn tham khảo chi tiết. 

1. Phương trình nghiệm nguyên là gì?

Giải phương trình \(f(x;y;z;...) = 0\) chứa các ẩn \(x;y;z;...\) với nghiệm nguyên là tìm tất cả các bộ số nguyên \((x;y;z;...)\) thỏa mãn phương trình nghiệm nguyên.

2. Cách giải phương trình nghiệm nguyên bằng cách sử dụng tính chất chia hết

Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: \(xy + x - 2y = 3\ \ \ (3)\)

Hướng dẫn giải

Ta có (3) tương đương \(y(x - 2) = - x + 3\).

Vì \(x = 2\) không thỏa mãn phương trình nên (3) tương đương với: \(y = \frac{- x + 3}{x - 2}\) \(\Leftrightarrow y = - 1 + \frac{1}{x + 2}\)

Ta thấy: y là số nguyên nên x - 2 là ước của 1 hay x - 2 = 1 hoặc x - 2 = -1 \(\Leftrightarrow\) Với x = 1 hoặc x = 3.

Từ đó ta có nghiệm nguyên (x ; y) là (1 ; -2) và (3 ; 0).

Chú ý: Có thể dùng phương pháp 1 để giải bài toán này, nhờ đưa phương trình (3) về dạng: \(x(y + 1) - 2(y + 1) = 1\) tương đương \((x - 2)(y + 1) = 1\).

Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: \(3x + 17y = 159\ \ \ \ (1)\) ?

Hướng dẫn giải

Giả sử x ; y là các số nguyên thỏa mãn phương trình (1). Ta thấy 159 và 3x đều chia hết cho 3 nên \(17y \vdots 3 \Rightarrow y \vdots 3\) (do 17 và 3 nguyên tố cùng nhau).

Đặt \(y = 3t;\left( t\mathbb{\in Z} \right)\) thay vào phương trình ta được \(3x + 17.3t = 159 \Leftrightarrow x + 17t = 53\)

Do đó \(\left\{ \begin{matrix} x = 53 - 17t \\ y = 3t \\ \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in Z} \right)\). Thử lại thấy thỏa mãn phương trình đã cho.

Vậy phương trình có nghiệm \((x;y) = (53 - 17t;3t)\) với t là số nguyên tùy ý.

Ví dụ 3. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình \(xy - 2x - 3y + 1 = 0\)?

Hướng dẫn giải

Ta có: \(xy - 2x - 3y + 1 = 0 \Rightarrow y(x - 3) = 2x - 1\)

Ta thấy \(x = 3\) không là nghiệm nên \(x \neq 3\) do đó \(y = \frac{2x - 1}{x - 3}\)

Tách ra ở phân thức \(\frac{2x - 1}{x - 3}\) thành các giá trị nguyên:

\(y = \frac{2x - 1}{x - 3} = \frac{2(x - 3) + 5}{x - 3} = 2 + \frac{5}{x - 3}\)

Do y là số nguyên nên \(\frac{5}{x - 3}\) cũng là số nguyên, do đó \((x - 3) \in U(5)\)

\(x - 3 = 1 \Rightarrow x = 4 \Rightarrow y = 2 + 5 = 7\)

\(x - 3 = - 1 \Rightarrow x = 2 \Rightarrow y = 2 - 5 = - 3(L)\)

\(x - 3 = 5 \Rightarrow x = 8 \Rightarrow y = 2 + 1 = 3\)

\(x - 3 = - 5 \Rightarrow x = - 2(L)\)

Vậy nghiệm \((x;y)\) là: \((4;7)\) và \((8;3)\).

Ví dụ 4. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình \(x^{2} + xy - 2y - x - 5 = 0\)?

Hướng dẫn giải

Nhận xét: Trong phương trình này ẩn y có bậc nhất nên rút y theo x.

Ta có:

\(x^{2} + xy - 2y - x - 5 = 0 \Rightarrow y(x - 2) = - x^{2} + x + 5(*)\)

Ta thấy \(x = 2\) không là nghiệm nên \(x \neq 2\) do đó \(y = \frac{- x^{2} + x + 5}{x - 2}\)

Tách ra ở phân thức \(\frac{- x^{2} + x + 5}{x - 2}\) thành các giá trị nguyên:

\(y = \frac{- x^{2} + x + 5}{x - 2} = \frac{- x^{2} + x + 2}{x - 2} + \frac{3}{x - 2} = - x - 1 + \frac{3}{x - 2}\)

Để \(y\mathbb{\in Z}\) thì \(3 \vdots (x - 2)\), Vậy \((x - 2) \in U(3)\) do đó:

\((x - 2) \in \left\{ - 3; - 1;1;3 \right\} \Rightarrow x \in \left\{ - 1;1;3;5 \right\}\)

Vậy nghiệm \((x;y)\) là: \((3; - 1),(5; - 5),(1; - 5),( - 1; - 1)\)

3. Bài tập giải phương trình nghiệm nguyên

Bài tập 1. Tìm các số nguyên dương \((x;y)\) sao cho \(6x + 5y + 18 = 2xy\).

Bài tập 2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình \(2y^{2}x + x + y + 1 = x^{2} + 2y^{2} + xy\).

Bài tập 3. Tìm nghiệm nguyên của phương trình \(2xy - x + y = 3\).

Bài tập 4. Giải phương trình nghiệm nguyên \(5x - 3y = 2xy - 11\).

Bài tập 5. Giải phương trình nghiệm nguyên \(11x + 18y = 120\).