Giải phương trình nghiệm nguyên bằng cách xét số dư 2 vế
Giải phương trình nghiệm nguyên
Chuyên đề Phương trình nghiệm nguyên cung cấp cho các em lý thuyết kèm các dạng bài giải phương trình nhiều biến nâng cao giúp các em dễ dàng vận dụng khi làm các bài tập liên quan. Sau đây mời các bạn tham khảo chi tiết.
Ví dụ 1: Cho phương trình 
\(x^{2} - y^{2} =
1998\). Chứng minh rằng phương trình đã cho không có nghiệm nguyên.
Hướng dẫn giải
Do \(x\mathbb{\in Z}\) là số nguyên nên \(x = 2k\) hoặc \(x = 2k + 1;\left( k\mathbb{\in Z}
\right)\)
Do đó \(\left\lbrack \begin{matrix}
x^{2} = 4k^{2} \\
x^{2} = 4k^{2} + 4k + 1 \\
\end{matrix} \right.\). Vì thế \(x^{2}\) chia cho \(4\) dư 1 hoặc \(0\). Tương tự ta cũng có \(y^{2}\) chia cho \(4\) dư \(1\) hoặc \(0\).
Suy ra \(x^{2} - y^{2}\) chia cho \(4\) luôn dư 1 hoặc \(0\)hoặc \(3\). Mà \(1998\) chia cho \(4\) dư \(2\) do đó phương trình đã cho không có nghiệm nguyên.
Ví dụ 2: Xác định các số tự nhiên \(x;y\) thỏa mãn \(x^{2} + 3^{y} = 3026\)?
Hướng dẫn giải
Xét \(y = 0 \Rightarrow x^{2} + 3^{0} =
3026 \Rightarrow x^{2} = 3025\)
Mà \(x\mathbb{\in N \Rightarrow}x =
55\)
Xét \(y > 0\) suy ra \(3^{y}\) chia hết cho \(3\), \(x^{2}\) chia hết cho \(3\) dư \(0\) hoặc \(1\)
Suy ra \(x^{2} + 3^{y}\) chia cho 3 dư 0 hoặc 1 mà \(3026\) chia cho 3 dư 2 (loại)
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \((x;y)
= (55;0)\)
Ví dụ 3: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: \(x^{2} - 5y^{2} = 27\)?
Hướng dẫn giải
Do x là số nguyên nên ta có thể biểu diễn x dưới dạng \(x = 5k\) hoặc \(x
= 5k \pm 1\) hoặc \(x = 5k \pm
2\) với \(k\mathbb{\in Z}\)
Xét \(x = 5k\) thì \(x^{2} - 5y^{2} = 27 \Leftrightarrow (5k)^{2} -
5y^{2} = 27\)
\(\Leftrightarrow 5\left( 5k^{2} - y^{2}
\right) = 27\)
Điều này vô lí vì vế trái chia hết cho 5 với mọi k và y nguyên còn vế phải không chia hết cho 5.
Xét \(x = 5k \pm 1\) thì \(x^{2} - 5y^{2} = 27 \Leftrightarrow (5k \pm 1)^{2}
- 5y^{2} = 27\)
\(\Leftrightarrow 25k^{2} \pm 10k + 1 -
5y^{2} = 27\)
\(\Leftrightarrow 5\left( 5k^{2} \pm 2k -
y^{2} \right) = 26\)
Điều này cũng vô lí vì vế trái chia hết cho 5 với mọi k và y nguyên, còn vế phải không chia hết cho 5
Xét \(x = 5k \pm 2\) thì \(x^{2} - 5y^{2} = 27 \Leftrightarrow (5k \pm 2)^{2}
- 5y^{2} = 27\)
\(\Leftrightarrow 25k^{2} \pm 20k + 4 -
5y^{2} = 27\)
\(\Leftrightarrow 5\left( 5k^{2} \pm 4k -
y^{2} \right) = 23\)
Điều này cũng vô lí vì vế trái chia hết cho 5 với mọi k và y nguyên, còn vế phải không chia hết cho 5.
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Ví dụ 4: Chứng minh rằng phương trình \(x^{3} - 7y = 51\) không có nghiệm nguyên?
Hướng dẫn giải
Xét \(x = 7k;\left( k\mathbb{\in Z} \right)
\Rightarrow x^{3} \vdots 7\)
Xét \(x = 7k \pm 1;\left( k\mathbb{\in Z}
\right) \Rightarrow x^{3}\) chia cho dư 1 hoặc 6.
Xét \(x = 7k \pm 2;\left( k\mathbb{\in Z}
\right) \Rightarrow x^{3}\) chia cho dư 1 hoặc 6.
Xét \(x = 7k \pm 3;\left( k\mathbb{\in Z}
\right) \Rightarrow x^{3}\) chia cho dư 1 hoặc 6.
Do đó vế trái của phương trình chia cho 7 dư không hoặc 1 hoặc 6 còn vế phải phương trình chia 7 dư 2.
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Ví dụ 5: Tìm nghiệm nguyên của phương trình \(9x + 2 = y^{2} + y\)?
Hướng dẫn giải
Ta có: \(9x + 2 = y^{2} + y \Rightarrow 9x
+ 2 = y(y + 1)\)
Ta thấy vế trái phương trình là số chia cho 3 dư 2 nên \(y(y + 1)\) chia cho 3 dư 2.
Từ đó chỉ có thể \(y = 3k + 1\) và \(y = 3k + 2;\left( k\mathbb{\in Z}
\right)\)
Khi đó \(9x + 2 = (3k + 1)(3k +
2)\)
\(\Leftrightarrow 9x = 9k^{2} + 9k
\Leftrightarrow x = k(k + 1)\)
Thử lại \(x = k(k + 1);y = 3k + 1\) thỏa mãn phương trình đã cho.
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là \((x;y) = \left( k(k + 1);3k + 1 \right);\left(
k\mathbb{\in Z} \right)\).
