VnDoc.com

Giải phương trình bậc hai – Có đáp án

Bài tập Phương trình bậc hai Toán 9

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 9

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Loại: Tài liệu Lẻ

Mức độ: Trung bình

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Cách giải phương trình bậc 2

A. Các cách giải phương trình bậc hai
B. Bài tập minh họa giải phương trình bậc hai
C. Bài tập vận dụng tự rèn luyện có hướng dẫn đáp án

Phương trình bậc hai là dạng toán trọng tâm trong chương trình Toán 9, thường xuyên xuất hiện trong các bài kiểm tra và đề thi. Việc nắm chắc cách giải phương trình bậc hai kèm đáp án chi tiết giúp học sinh hiểu bản chất, tránh sai sót và làm bài hiệu quả hơn. Bài viết dưới đây tổng hợp phương pháp giải rõ ràng, dễ áp dụng cho mọi dạng bài.

A. Các cách giải phương trình bậc hai

1. Cách giải phương trình bậc hai một ẩn có dạng đặc biệt

$ax^{2} + bx = 0;ax^{2} + c = 0.$

Dùng phương pháp đặt nhân tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức để đưa vế trái về một bình phương.

Lưu ý:

• Nếu $A \cdot B = 0$ thì hoặc .

• Nếu $A^{2} = B(B \geq 0)$ thì $A = \sqrt{B}$ hoặc $A = - \sqrt{B}$ .

2. Công thức nghiệm của phương trình bậc hai

Xét phương trình bậc hai một ẩn $ax^{2} + bx + c = 0(a \neq 0)$ .

Tính biệt thức $\Delta = b^{2} - 4ac$ .

Nếu $\Delta > 0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: $x_{1} = \frac{- b + \sqrt{\Delta}}{2a},x_{2} = \frac{- b - \sqrt{\Delta}}{2a}.$
Nếu $\Delta = 0$ thì phương trình có nghiệm kép: $x_{1} = x_{2} = - \frac{b}{2a}$ .
Nếu $\Delta < 0$ thì phương trình vô nghiệm.

3. Công thức nghiệm thu gọn giải phương trình bậc hai

Xét phương trình bậc hai $ax^{2} + bx + c = 0(a \neq 0)$ , với b =
2b' và $\Delta' = {b'}^{2} - ac$ .

Nếu $\Delta' > 0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: $x_{1} = \frac{- b' + \sqrt{\Delta'}}{a},x_{2} = \frac{- b' - \sqrt{\Delta'}}{a}.$
Nếu $\Delta' = 0$ thì phương trình có nghiệm kép: $x_{1} = x_{2} = - \frac{b'}{a}$ .
Nếu $\Delta' < 0$ thì phương trình vô nghiệm.

B. Bài tập minh họa giải phương trình bậc hai

Ví dụ 1. Giải phương trình sau:

a) $2x^{2} - \sqrt{2}x = 0$ b) $x^{2} - 4 = 0$

c) $3x^{2} = 27$ d) $x^{2} + 1 = 0$

Gợi ý: Rút gọn vế dạng . Phân tích thành nhân tử.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: (1) $\Leftrightarrow x\left( 2x - \sqrt{2} \right) = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ 2x - \sqrt{2} = 0 \end{matrix} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = \frac{\sqrt{2}}{2} \end{matrix} \right.\ \right.$

b) Ta có: $x^{2} - 4 = 0$

$\Leftrightarrow (x - 2)(x + 2) = 0$ $\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x - 2 = 0 \\ x + 2 = 0 \end{matrix} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 2 \\ x = - 2 \end{matrix} \right.\ \right.$

Chú ý: Có thể viết gọn: $x = \pm 2$ , nhưng ta phải hiểu hoặc ; không phải và . (Ở trên, bạn chú ý đến dấu ngoặc vuông)

Cách khác: Ta có: (2) $\Leftrightarrow x^{2} = 4$ $\Leftrightarrow \sqrt{x^{2}} = \sqrt{4} \Leftrightarrow |x| = 2$ $\Leftrightarrow x = \pm 2$

c) Ta có: (3) $\Leftrightarrow x^{2} = 9 \Leftrightarrow \sqrt{x^{2}} = \sqrt{9}$ $\Leftrightarrow |x| = 3 \Leftrightarrow x = \pm 3$

Cách khác: (3) $\Leftrightarrow x^{2} - 9 = 0$

$\Leftrightarrow (x - 3)(x + 3) = 0$ $\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x - 3 = 0 \\ x + 3 = 0 \end{matrix} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 3 \\ x = - 3 \end{matrix} \right.\ \right.$

d) Vì $x^{2} > 0,\forall x \Rightarrow x^{2} + 1 > 0$ . Vậy phương trình (4) vô nghiệm.

Ví dụ 2. Cho phương trình $x^{2} + mx - 35 = 0$ .

a) Tìm biết rằng phương trình có một nghiệm bằng 7.

b) Giải phương trình với vừa tìm được.

Gợi ý: là nghiệm của phương trình $x^{2} + mx - 35 = 0$ nên thay vào phương trình, ta dược: $7^{2} + m.7 - 35 = 0$ . Từ đó tìm được .

Hướng dẫn giải

a) Vì là một nghiệm của phương trình đã cho, nên thay vào phương trình, ta được $7^{2} + m.7 - 35 = 0$

$\Leftrightarrow 49 + 7\ m - 35 = 0$ $\Leftrightarrow 7\ m = - 14 \Leftrightarrow m = - 2$

b) Theo kết quả trên, với , phương trình đã cho trở thành:

$x^{2} - 2x - 35 = 0$ (*) $\Leftrightarrow x^{2} - 2x + 1 - 36 = 0$

$\Leftrightarrow (x - 1)^{2} = 6^{2}$ $\Leftrightarrow \sqrt{(x - 1)^{2}} = \sqrt{6^{2}} \Leftrightarrow |x - 1| = 6$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x - 1 = 6 \\ x - 1 = - 6 \end{matrix} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 7 \\ x = - 5 \end{matrix} \right.\ \right.$

Cách khác:

a có: (*) $\ \Leftrightarrow x^{2} - 2x + 1 - 36 = 0$

$\Leftrightarrow (x - 1)^{2} - 6^{2} = 0$ $\Leftrightarrow (x - 1 - 6)(x - 1 + 6) = 0$

$\Leftrightarrow (x - 7)(x + 5) = 0$ $\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x - 7 = 0 \\ x + 5 - 0 \end{matrix} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 7 \\ x = - 5 \end{matrix} \right.\ \right.$

Ta cūng có thể biến đổi như sau: (*)

$\Leftrightarrow x^{2} + 5x - 7x - 35 = 0$ $\Leftrightarrow x(x + 5) - 7(x + 5) = 0$

$\Leftrightarrow (x + 5)(x - 7) = 0$ (tiếp tục như trên).

Ví dụ 3. Giải phương trình:

a) $2x^{2} - 5x + 2 = 0$ b) $x^{2} - \left( 1 + \sqrt{2} \right)x + \sqrt{2} = 0$

c) $2x^{2} - 7x + 2 = 0$

Gợi ý: Xác định các hệ số ; sau đó tính $\Delta$ $\left( \Delta = b^{2} - 4ac \right)$ .

Hướng dẫn giải

a) Ta có .

$\Delta = b^{2} - 4ac = ( - 5)^{2} - 4.2.2 = 25 - 16 = 9 > 0$ $\Rightarrow \sqrt{\Delta} = \sqrt{9} = 3$

Phương trình có hai nghiệm: $x_{1} = \frac{- ( - 5) + 3}{2.2} = 2;x_{2} = \frac{- ( - 5) - 3}{2.2} = \frac{1}{2}$

b) Ta có: $a = 1;b = - \left( 1 + \sqrt{2} \right);c = \sqrt{2}$

$\Delta = b^{2} - 4ac = \left\lbrack - \left( 1 + \sqrt{2} \right) \right\rbrack^{2} - 4.1.\sqrt{2}$

$= 1 + 2\sqrt{2} + 2 - 4\sqrt{2}$

$= 1 - 2\sqrt{2} + 2 = (1 - \sqrt{2})^{2} > 0$

$\sqrt{\Delta} = \sqrt{(1 - \sqrt{2})^{2}} = \left| 1 - \sqrt{2} \right| = \sqrt{2} - 1$

Phương trình có hai nghiệm:

$x_{1} = \frac{\left( 1 + \sqrt{2} \right) + \left( \sqrt{2} - 1 \right)}{2.1} = \sqrt{2}$ ; $x_{2} = \frac{\left( 1 + \sqrt{2} \right) - \left( \sqrt{2} - 1 \right)}{2.1} = 1$

Cách khác: $x^{2} - \left( 1 + \sqrt{2} \right)x + \sqrt{2} = 0$

$\Leftrightarrow x^{2} - x - \sqrt{2}x + \sqrt{2} = 0$ $\Leftrightarrow \ \ x(x - 1) - \sqrt{2}(x - 1) = 0$

$\Leftrightarrow \ \ (x - 1)\left( x - \sqrt{2} \right) = 0$ $\Leftrightarrow \ \ \left\lbrack \begin{matrix} x - 1 = 0 \\ x - \sqrt{2} = 0 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \ \ \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = \sqrt{2} \end{matrix} \right.$

c) Ta có: $a = 2;\ \ b = - 7;\ \ c = 2$

$\Delta = ( - 7)^{2} - 4.2.2 = 49 - 16 = 33 > 0 \Rightarrow \ \ \sqrt{\Delta} = \sqrt{33}$

Phương trình có hai nghiệm: $x_{1} = \frac{7 + \sqrt{33}}{4};\ \ x_{2} = \frac{7 - \sqrt{33}}{4}$ .

Ví dụ 4. Tìm tọa độ giao điểm của các đồ thị hàm số sau: $y = 4x^{2};y = 4x + 3$ .

Gợi ý: Lập phương trình hoành độ giao điểm.

Hướng dẫn giải

Phương trình hoành độ giao điểm (nếu có) của hai đồ thị

$4x^{2} = 4x + 3 \Leftrightarrow 4x^{2} - 4x = 3$

$\Leftrightarrow 4x^{2} - 4x + 1 = 4 \Leftrightarrow (2x - 1)^{2} = 4$

$\Leftrightarrow \sqrt{(2x - 1)^{2}} = \sqrt{4} \Leftrightarrow |2x - 1| = 2$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 2x - 1 = 2 \\ 2x - 1 = - 2 \end{matrix} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = \frac{3}{2} \\ x = - \frac{1}{2} \end{matrix} \right.\ \right.$

Với $x = \frac{3}{2}$ , ta tìm được .

Với $x = - \frac{1}{2}$ , ta tìm được .

Vậy tọa độ giao điểm của hai đồ thị là: $A\left( \frac{3}{2};9 \right);B\left( - \frac{1}{2};1 \right)$ .

C. Bài tập vận dụng tự rèn luyện có hướng dẫn đáp án

Bài tập 1. Cho phương trình $x^{2} + px + q = 0$ . Tìm biết rằng phương trình có hai nghiệm và .

Bài tập 2. Giải phương trình:

a) $9x^{2} - 30x + 225 = 0$ b) $(2x - 3)^{2} = 11x - 19$

c) $3\left( x^{2} - 1 \right) = 8x$ d) $9x^{2} - 30x + 25 = 0$

e) $5x^{2} - 2\sqrt{5}x + 1 = 0$

Gợi ý: Xác định các hệ số $a,\ \ b,\ \ c$ sau đó tính $\Delta\ \ \left( \Delta = b^{2} - 4ac \right).$

Bài tập 3. Giải phương trình:

a) $(2x + 1)^{2} = 8x$ (1) b) (2)

c) $2x^{2} + 3x - (x - 1)(x - 2) = 0$ (3)

Gợi ý: Rút gọn và đưa về dạng $ax^{2} + bx + c = 0$ .

Bài tập 4. Giải phương trình.

a) $x^{2} - 5x - 6 = 0$ b) $x^{2} + 3x - 4 = 0$

✨ Bài viết chỉ trích dẫn một phần nội dung, mời bạn tải tài liệu đầy đủ để nắm trọn kiến thức.

--------------------------------------------------

Thông qua hệ thống bài tập giải phương trình bậc hai có đáp án, học sinh có thể củng cố kiến thức nền tảng và nâng cao kỹ năng giải toán. Đây là chuyên đề quan trọng trong Toán 9, giúp chuẩn bị vững vàng cho các bài kiểm tra và kỳ thi chuyển cấp.

Xem thử Tải về

Chọn file muốn tải về: