Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Điều kiện phương trình có nghiệm và số nghiệm của phương trình

Phương trình bậc hai chứa tham số m

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 9

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Mức độ: Trung bình

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Bài toán xét nghiệm phương trình theo tham số m

A. Phương trình bậc hai có nghiệm khi và chỉ khi
B. Bài tập minh họa tìm điều kiện để phương trình có nghiệm
C. Bài tập vận dụng tự rèn luyện có hướng dẫn

Trong chương trình Toán 9, dạng toán xét điều kiện phương trình có nghiệm và số nghiệm của phương trình bậc hai chứa tham số m xuất hiện thường xuyên trong kiểm tra và thi học kỳ. Việc nắm vững cách biện luận theo tham số không chỉ giúp học sinh làm bài nhanh, chính xác mà còn tránh sai sót khi áp dụng công thức. Bài viết sau sẽ hệ thống hóa phương pháp giải dễ hiểu, kèm phân tích chi tiết từng trường hợp.

A. Phương trình bậc hai có nghiệm khi và chỉ khi

Xét phương trình bậc hai một ẩn $ax^{2} + bx + c = 0(a \neq 0)$ $ax^{2} + bx + c = 0(a \neq 0)$. Tính biệt thức $\Delta = b^{2} - 4ac$ $\Delta = b^{2} - 4ac$.

Nếu $\Delta > 0$ $\Delta > 0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: $x_{1} = \frac{- b + \sqrt{\Delta}}{2a},x_{2} = \frac{- b - \sqrt{\Delta}}{2a}.$ $x_{1} = \frac{- b + \sqrt{\Delta}}{2a},x_{2} = \frac{- b - \sqrt{\Delta}}{2a}.$
Nếu $\Delta = 0$ $\Delta = 0$ thì phương trình có nghiệm kép: $x_{1} = x_{2} = - \frac{b}{2a}$ $x_{1} = x_{2} = - \frac{b}{2a}$.

Chú ý:

Xét phương trình bậc hai $ax^{2} + bx + c = 0(a \neq 0)$ $ax^{2} + bx + c = 0(a \neq 0)$, với $b = 2b'$ và $\Delta$ $\Delta' = {b'}^{2} - ac$.

Nếu $\Delta$ $\Delta' > 0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: $x_{1} = \frac{- b$ $x_{1} = \frac{- b' + \sqrt{\Delta'}}{a},x_{2} = \frac{- b' - \sqrt{\Delta'}}{a}.$
Nếu $\Delta$ $\Delta' = 0$ thì phương trình có nghiệm kép: $x_{1} = x_{2} = - \frac{b$ $x_{1} = x_{2} = - \frac{b'}{a}$.

B. Bài tập minh họa tìm điều kiện để phương trình có nghiệm

Ví dụ 1. Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt:

$x^{2} + 2x + m - 2 = 0$ $x^{2} + 2x + m - 2 = 0$

Gợi ý: Phương trình $ax^{2} + bx + c = 0$ $ax^{2} + bx + c = 0$ có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $\left\{ \begin{matrix} \Delta > 0 \\ a \neq 0 \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} \Delta > 0 \\ a \neq 0 \end{matrix} \right.$

Hướng dẫn giải

Ta có: $a = 1;\ \ b = 2;\ \ c = m - 2$ $a = 1;\ \ b = 2;\ \ c = m - 2$

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

$\left\{ \begin{matrix} \Delta > 0 \\ a \neq 0 \end{matrix} \right.\ \ \ \Leftrightarrow \ \ \left\{ \begin{matrix} 2^{2} - 4.1.(m - 2) > 0 \\ 1 \neq 0 \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} \Delta > 0 \\ a \neq 0 \end{matrix} \right.\ \ \ \Leftrightarrow \ \ \left\{ \begin{matrix} 2^{2} - 4.1.(m - 2) > 0 \\ 1 \neq 0 \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \ \ 4 - 4m + 8 > 0\ \ \Leftrightarrow \ \ 12 - 4m > 0\ \ \Leftrightarrow \ \ m < 3$ $\Leftrightarrow \ \ 4 - 4m + 8 > 0\ \ \Leftrightarrow \ \ 12 - 4m > 0\ \ \Leftrightarrow \ \ m < 3$.

Chú ý: Hệ số $c = m - 2$, chứ không phải $c = - 2.$

Ví dụ 2. Tìm m để phương trình $mx^{2} + (2m - 1)x + m + 2 = 0$ $mx^{2} + (2m - 1)x + m + 2 = 0$ có nghiệm.

Gợi ý: Xét trường hợp $a = 0;\ \ a \neq 0$ $a = 0;\ \ a \neq 0$ và xem chú ý ở bài toán 14.

Hướng dẫn giải

Ta có: $a = m;\ \ b = 2m - 1;\ \ m + 2$ $a = m;\ \ b = 2m - 1;\ \ m + 2$

+ Nếu $a \neq 0\ \ \Leftrightarrow \ \ m \neq 0$ $a \neq 0\ \ \Leftrightarrow \ \ m \neq 0$.

Phương trình đã cho có nghiệm $\Leftrightarrow \ \ \left\{ \begin{matrix} \Delta \geq 0 \\ a \neq 0 \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \ \ \left\{ \begin{matrix} \Delta \geq 0 \\ a \neq 0 \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \ \ \left\{ \begin{matrix} (2m - 1)^{2} - 4.m.(m + 2) \geq 0 \\ m \neq 0 \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \ \ \left\{ \begin{matrix} (2m - 1)^{2} - 4.m.(m + 2) \geq 0 \\ m \neq 0 \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \ \ \left\{ \begin{matrix} 4m^{2} - 4m + 1 - 4m^{2} - 8m \geq 0 \\ m \neq 0 \end{matrix} \right.\ \ \ \Leftrightarrow \ \ \left\{ \begin{matrix} - 12m + 1 \geq 0 \\ m \neq 0 \end{matrix} \right.\ \ \ \Leftrightarrow \ \ \left\{ \begin{matrix} m \leq \frac{1}{12} \\ m \neq 0 \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \ \ \left\{ \begin{matrix} 4m^{2} - 4m + 1 - 4m^{2} - 8m \geq 0 \\ m \neq 0 \end{matrix} \right.\ \ \ \Leftrightarrow \ \ \left\{ \begin{matrix} - 12m + 1 \geq 0 \\ m \neq 0 \end{matrix} \right.\ \ \ \Leftrightarrow \ \ \left\{ \begin{matrix} m \leq \frac{1}{12} \\ m \neq 0 \end{matrix} \right.$

+ Nếu $a = 0\ \ \Leftrightarrow \ \ m = 0$ $a = 0\ \ \Leftrightarrow \ \ m = 0$

Ta có phương trình: $- x + 2 = 0\ \ \Leftrightarrow \ \ x = 2$ $- x + 2 = 0\ \ \Leftrightarrow \ \ x = 2$

Vậy với $m = 0$, phương trình có nghiệm khi và chỉ khi $m \leq \frac{1}{12}.$ $m \leq \frac{1}{12}.$

Chú ý:

+ Bạn thường quên xét trường hợp $a = 0.$

+ Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt

(Đáp số: $m < \frac{1}{12}$ $m < \frac{1}{12}$ và $m \neq 0$ $m \neq 0$ ).

C. Bài tập vận dụng tự rèn luyện có hướng dẫn

Bài tập 1. Tìm m để phương trình $(m - 1)x^{2} + (m + 4)x + m + 7 = 0$ $(m - 1)x^{2} + (m + 4)x + m + 7 = 0$ có nghiệm duy nhất.

Hướng dẫn: Xét hai trường hợp: $a = 0$ và $a \neq 0$ $a \neq 0$. (Nếu $a \neq 0$ $a \neq 0$. Phương trình bậc hai có nghiệm kép).

Bài tập 2. Tìm m để phương trình $mx^{2} - 2(m - 1)x + 2 = 0$ $mx^{2} - 2(m - 1)x + 2 = 0$ có nghiệm kép.

Hướng dẫn: Phương trình bậc hai có nghiệm kép $\Leftrightarrow \ \ \left\{ \begin{matrix} a \neq 0 \\ \Delta = 0 \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \ \ \left\{ \begin{matrix} a \neq 0 \\ \Delta = 0 \end{matrix} \right.$

Bài tập 3. Tìm m để phương trình $x^{2} + (2m + 1)x + m^{2} = 0$ $x^{2} + (2m + 1)x + m^{2} = 0$ có nghiệm kép và tính nghiệm kép với m vừa tìm được.

Bài tập 4. Chứng minh rằng phương trình $2x^{2} + (2m - 1)x + m - 1 = 0$ $2x^{2} + (2m - 1)x + m - 1 = 0$ luôn luôn có nghiệm với mọi $m$.

Hướng dẫn: Chứng tỏ $\Delta \geq 0,\ \ \forall m.$ $\Delta \geq 0,\ \ \forall m.$

Bài tập 5. Chứng tỏ phương trình $ax^{2} + bx + c = 0$ $ax^{2} + bx + c = 0$ có các hệ số $a$ và $c$ trái dấu thì luôn có nghiệm.

Bài tập 6: Không tính $\Delta$ $\Delta$ hãy giải thích vì sao phương trình sau có hai nghiệm phân biệt.

1) $x^{2} - (2m + 1)x - 1 = 0$ $x^{2} - (2m + 1)x - 1 = 0$ 2) $x^{2} - mx - m^{2} - 1 = 0$ $x^{2} - mx - m^{2} - 1 = 0$

📖 Toàn bộ nội dung, bài tập và lời giải đã được tổng hợp trong tài liệu tải về.

----------------------------------------------

Thông qua việc phân tích điều kiện của tham số m, học sinh có thể dễ dàng xác định số nghiệm của phương trình bậc hai trong mọi trường hợp. Đây là dạng toán nền tảng nhưng mang tính phân loại cao, rất quan trọng trong chương trình Toán 9. Luyện tập thường xuyên sẽ giúp nâng cao tư duy biện luận và đạt điểm tối đa ở các bài toán chứa tham số.

Xem thử Tải về

Chọn file muốn tải về: