Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn bất phương trình

Ôn thi vào 10 môn Toán - Có đáp án

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 9

Môn: Toán

Loại File: Word

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Bài tập Toán 9: Phương trình bậc hai chứa tham số m

Trong các đề ôn thi vào lớp 10 môn Toán, dạng bài tìm m để phương trình có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn bất phương trình thường được dùng để phân loại học sinh. Dạng toán này yêu cầu kết hợp điều kiện có nghiệm với kỹ năng xử lý bất phương trình một cách logic. Bài viết dưới đây sẽ hướng dẫn cách làm hiệu quả, giúp học sinh tránh sai sót và đạt điểm cao.

A. Một số công thức cần nhớ

Cho phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\;\left( {a \ne 0} \right)$ .

Hai nghiệm trái dấu: $\left( {{x_1} < 0 < {x_2}} \right) \Leftrightarrow ac < 0$ .

Hai nghiệm phân biệt dương $\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \Delta > 0 \hfill \\ P = \frac{c}{a} > 0 \hfill \\ S = - \frac{b}{a} > 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Hai nghiệm phân biệt dương $\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \Delta > 0 \hfill \\ P = \frac{c}{a} > 0 \hfill \\ S = - \frac{b}{a} < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

B. Bài tập minh họa tìm m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện

Ví dụ 1. Tìm m để phương trình ${x^2} - 3x + m - 1 = 0$ có hai nghiệm ${x_1};{x_2}$ và thỏa mãn ${x_1} < 1 < {x_2}$

Gợi ý: ${x_1} < 1 < {x_2} \Leftrightarrow {x_1} - 1 < 1 - 1 < {x_2} - 1$ $\Leftrightarrow {x_1} - 1 < 0 < {x_2} - 1$

Vậy ${x_1} - 1$ và ${x_2} -1$ trái dấu.

Hướng dẫn giải

Ta có $a = 1{\kern 1pt} {\kern 1pt} ;\,b = - 3{\kern 1pt} ;\,c = m - 1$

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn ${x_1} - 1$ và ${x_2} -1$ trái dấu khi và chỉ khi.

$\left\{ \begin{gathered} \Delta > 0 \hfill \\ \left( {{x_1} - 1} \right)\left( {{x_2} - 1} \right) < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 9 - 4\left( {m - 1} \right) > 0{\text{ }}\left( 1 \right) \hfill \\ {x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1 < 0{\text{ }}\left( 2 \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Ta có: $\left( 1 \right) \Leftrightarrow m < \frac{{13}}{4}$ . Với điều kiện $m < \frac{{13}}{4}$ , phương trình có hai nghiệm ${x_1};{x_2}$ phân biệt

${x_1} + {x_2} = 3;{x_1}{x_2} = m - 1$

Ta có: $\left( 2 \right) \Leftrightarrow \left( {m - 1} \right) - 3 + 1 < 0 \Leftrightarrow m < 3$

Kết hợp m < 3 và $m < \frac{{13}}{4} \Rightarrow m < 3$

Cách khác: Đặt $t = x - 1 \Rightarrow x = t + 1$ thế vào phương trình đã cho, ta có:

${\left( {t + 1} \right)^2} - 3\left( {t + 1} \right) + m - 1 = 0 \Leftrightarrow {t^2} - t + m - 3 = 0\left( * \right)$

Điều kiện ${x_1} < 1 < {x_2} \Leftrightarrow {x_1} - 1 < 0 < {x_2} - 1$ .

Khi đó, gọi ${t_1} = {x_1} - 1{\kern 1pt} ;\,{t_2} = {x_2} - 1$ là hai nghiệm của phương trình .

Vậy ${t_1} < 0 < {t_2} \Leftrightarrow m - 3 < 0 \Leftrightarrow m < 3$

Ví dụ 2. Tìm để phương trình ${x^2} + \left( {2 - m} \right)x + 1 = 0$ có nghiệm ${x_1};{x_2}$ thỏa mãn điều kiện $- 1 < {x_1} < {x_2}$ .

Hướng dẫn giải

Đặt $t = x + 1 \Rightarrow x = t - 1$ . Thế vào phương trình đã cho, ta được:

${\left( {t - 1} \right)^2} + \left( {2 - m} \right)\left( {t - 1} \right) + 1 = 0$ hay ${t^2} - mt + m = 0\;\,\,\left( * \right)$

Ta có

Điều kiện $- 1 < {x_1} < {x_2}$ hay $0 < {x_1} + 1 < {x_2} + 1$

Đặt ${t_1} = {x_1} + 1;{t_2} = {x_2} + 1$ ta đưa về bài toán. Tìm m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn:

$0 < {t_1} < {t_2} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\Delta > 0} \\ {P = \frac{c}{a} > 0} \\ {S = - \frac{b}{a} > 0} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{m^2} - 4m > 0} \\ {m > 0} \\ {m > 0} \end{array}} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m\left( {m - 4} \right) > 0} \\ {m > 0} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m > 0} \\ {m > 4} \end{array}} \right. \Leftrightarrow m > 4$

Cách khác:

$- 1 < {x_1} < {x_2} \Leftrightarrow 0 < {x_1} + 1 < {x_2} + 1 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\Delta > 0} \\ {\left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right) > 0} \\ {{x_1} + 1 + {x_2} + 1 > 0} \end{array}} \right.$

Bài toán tương tự với điều kiện ${x_1} < - 1 < {x_2};{x_1} < {x_2} < - 1$

Ví dụ 3. Tìm m để phương trình ${x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + 5m + 1 = 0$ có hai nghiệm ${x_1};{x_2}$ thỏa mãn điều kiện: ${x_1} \leqslant {x_2} < 3$ .

Hướng dẫn giải

Cách 1.

Đặt . Thế x vào phương trình đã cho, ta được:

$\begin{matrix} {\left( {t + 3} \right)^2} - 2\left( {m - 1} \right)\left( {t + 3} \right) + 5\;m + 1 = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow {t^2} + 2\left( {2 - m} \right)t + 4 - m = 0\left( * \right) \hfill \\ \end{matrix}$

Gọi t1; t2 là hai nghiệm của phương trình (*).

Điểu kiện ${x_1} \leqslant {x_2} < 3 \Leftrightarrow {x_1} - 3 \leqslant {x_2} - 3 < 0 \Leftrightarrow {t_1} \leqslant {t_2} < 0$

$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\text{\Delta '}} \geqslant 0} \\ {P = \frac{c}{a} > 0} \\ {S = - \frac{b}{a} < 0} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{m^2} - 3m \geqslant 0} \\ {4 - m > 0} \\ {2 - m > 0} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m\left( {m - 3} \right) \geqslant 0} \\ {m < 4} \\ {m < 2} \end{array}} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m \geqslant 3{\text{\;}}} \\ {m < 2} \end{array}} \right.$ hoặc $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m \leqslant 0} \\ {m < 2} \end{array}} \right. \Leftrightarrow m \leqslant 0$

Với $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m \geqslant 3{\text{\;}}} \\ {m < 2} \end{array}} \right.$ (vô nghiệm).

Với $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m \leqslant 0} \\ {m < 2} \end{array}} \right. \Leftrightarrow m \leqslant 0$

Vậy $m \leqslant 0$ .

📘 Nội dung tài liệu còn tiếp tục, mời bạn tải bản đầy đủ để tham khảo chi tiết hơn.

------------------------------------

Việc thành thạo dạng toán tìm m để nghiệm thỏa mãn bất phương trình giúp học sinh xử lý tốt các câu hỏi vận dụng cao trong đề thi vào 10 môn Toán. Đây là chuyên đề quan trọng, cần luyện tập thường xuyên để nâng cao tư duy và độ chính xác khi làm bài.

Tải về

Chọn file muốn tải về: