Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Biểu thức không đối xứng giữa các nghiệm phương trình bậc hai

Biểu thức nghiệm phương trình bậc 2

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 9

Môn: Toán

Loại: Tài liệu Lẻ

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Cách biến đổi biểu thức nghiệm không đối xứng

Bên cạnh các dạng biểu thức đối xứng, những bài toán liên quan đến biểu thức không đối xứng giữa các nghiệm phương trình bậc hai đòi hỏi người học phải biết cách biến đổi linh hoạt và kết hợp nhiều kỹ thuật. Nếu xử lý đúng hướng, bài toán sẽ trở nên ngắn gọn và dễ kiểm soát hơn. Bài viết này tập trung làm rõ phương pháp giải hiệu quả, phù hợp chương trình Toán 9.

A. Hệ thức Viète

Nếu $x_{1},x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình $ax^{2} + bx + c = 0(a \neq 0)$ thì $\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} \\ x_{1}x_{2} = \frac{c}{a} \end{matrix}. \right.$

B. Bài tập minh họa về biểu thức không đối xứng giữa các nghiệm

Bài tập 1. Tìm để phương trình $x^{2} + 2x + m = 0$ có hai nghiệm $x_{1};x_{2}$ thỏa mãn $3x_{1} + 2x_{2} = 1$ .

Gợi ý: Biểu thức $3x_{1} + 2x_{2}$ gọi là không đối xứng. Áp dụng hệ thức Viète, tính $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ và $x_{1}x_{2} = \frac{c}{a}$ . Ta có hệ phương trình, từ đó tìm được

Hướng dẫn giải

Ta có: $a = 1\ ;\ b = 2 \Rightarrow b' = 1;\ c = m$

Phương trình đã cho có hai nghiệm $x_{1};x_{2}$ khi và chỉ khi

$\Delta' \geq 0 \Leftrightarrow 1 - m \geq 0 \Leftrightarrow m \leq 1$

Theo hệ thức Viète, ta có $x_{1} + x_{2} = - 2$ và $x_{1}x_{2} = m$

Xét hệ: $\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = - 2 \\ 3x_{1} + 2x_{2} = 1 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{1} = 5 \\ x_{2} = - 7 \end{matrix} \right.$

(hệ hai ấn bậc nhất đối với $x_{1}$ và $x_{2}$ )

Thế $x_{1} = 5$ và $x_{2} = - 7$ vào phương trình $x_{1}x_{2} = m$ , ta có:

(thỏa điều kiện $m \leq 1$ )

Bài tập 2. Tìm để phương trình $x^{2} - 4x + m = 0$ có hai nghiệm $x_{1};x_{2}$ thỏa mãn điều kiện $x_{1} - x_{2} = 4$

Hướng dẫn giải

Ta có: $a = 1\ ;\ b = - 4 \Rightarrow b' = - 2\ ;\ c = m$

Phương trình đã cho có hai nghiệm $x_{1};x_{2}$ khi và chỉ khi

$\left\{ \begin{matrix} a \neq 0 \\ \Delta' \geq 0 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 1 \neq 0 \\ 4 - m \geq 0 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow m \leq 4$

Theo hệ thức viète, ta có $x_{1} + x_{2} = 4$ và $x_{1}x_{2} = m$

Xét hệ: $\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = 4 \\ x_{1} - x_{2} = 4 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{1} = 4 \\ x_{2} = 0 \end{matrix} \right.$

Vậy (thỏa điều kiện $m \leq 4$ )

Bài tập 3. Trên mặt phẳng tọa độ cho parabol $(P):y = x^{2}$ và đường thẳng với là tham số.

a) Chứng minh: Khi giá trị của thay đổi thì luôn cắt tại hai điểm phân biệt.

b) Gọi $x_{1},x_{2}$ là các hoành độ giao điểm của và . Tìm giá trị tham số m sao cho ${x_{1}}^{2}x_{2} + {x_{2}}^{2}x_{1} - 2{x_{1}}^{3}{x_{2}}^{3} = 3$ .

Hướng dẫn giải

Phương trình hoành độ giao điểm của và là:

$x^{2} = (m - 1)x + 1 \Leftrightarrow x^{2} - (m - 1)x - 1 = 0(*)$

Do $\Delta = (m - 1)^{2} + 4 \geq 4\forall m$ nên phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt.

Suy ra đường thẳng luôn cắt tại hai điểm phân biệt.

b) Ta có:

${x_{1}}^{2}x_{2} + {x_{2}}^{2}x_{1} -2{x_{1}}^{3}{x_{2}}^{3} = 3$

$\Leftrightarrow x_{1}x_{2}\left( x_{1} +x_{2} \right) - 2{x_{1}}^{3}{x_{2}}^{3} = 3(**)$

Theo hệ thức Vi – et ta có: $\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = m - 1 \\ x_{1}x_{2} = - 1 \end{matrix} \right.$ thay vào (**) ta được:

$- 1(m - 1) + 2 = 3 \Leftrightarrow m = 0$

Vậy là giá trị cần tìm.

------------------------------------------------------

Việc nắm vững cách giải biểu thức không đối xứng giữa các nghiệm giúp học sinh chủ động hơn khi gặp các dạng toán nâng cao về phương trình bậc hai. Đây là nội dung quan trọng trong chuyên đề biểu thức nghiệm phương trình bậc 2, hỗ trợ tốt cho việc luyện tập và vận dụng.

Xem thử Tải về

Chọn file muốn tải về: