Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Biểu thức không đối xứng giữa các nghiệm phương trình bậc hai

Biểu thức nghiệm phương trình bậc 2

Bài trước

Tải về

Bài sau

Dạng tài liệu: Toán Lớp 9

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Cách biến đổi biểu thức nghiệm không đối xứng

A. Hệ thức Viète (Vi - ét)
B. Bài tập minh họa về biểu thức không đối xứng giữa các nghiệm
C. Bài tập tự rèn luyện biểu thức không đối xứng với các nghiệm

Bên cạnh các dạng biểu thức đối xứng, những bài toán liên quan đến biểu thức không đối xứng giữa các nghiệm phương trình bậc hai đòi hỏi người học phải biết cách biến đổi linh hoạt và kết hợp nhiều kỹ thuật. Nếu xử lý đúng hướng, bài toán sẽ trở nên ngắn gọn và dễ kiểm soát hơn. Bài viết này tập trung làm rõ phương pháp giải hiệu quả, phù hợp chương trình Toán 9.

A. Hệ thức Viète (Vi - ét)

Nếu $x_{1},x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình $ax^{2} + bx + c = 0(a \neq 0)$ thì $\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} \\ x_{1}x_{2} = \frac{c}{a} \end{matrix}. \right.$

B. Bài tập minh họa về biểu thức không đối xứng giữa các nghiệm

Bài tập 1. Tìm để phương trình $x^{2} + 2x + m = 0$ có hai nghiệm $x_{1};x_{2}$ thỏa mãn $3x_{1} + 2x_{2} = 1$ .

Gợi ý: Biểu thức $3x_{1} + 2x_{2}$ gọi là không đối xứng. Áp dụng hệ thức Viète, tính $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ và $x_{1}x_{2} = \frac{c}{a}$ . Ta có hệ phương trình, từ đó tìm được

Hướng dẫn giải

Ta có: $a = 1\ ;\ b = 2 \Rightarrow b' = 1;\ c = m$

Phương trình đã cho có hai nghiệm $x_{1};x_{2}$ khi và chỉ khi

$\Delta' \geq 0 \Leftrightarrow 1 - m \geq 0 \Leftrightarrow m \leq 1$

Theo hệ thức Viète, ta có $x_{1} + x_{2} = - 2$ và $x_{1}x_{2} = m$

Xét hệ: $\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = - 2 \\ 3x_{1} + 2x_{2} = 1 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{1} = 5 \\ x_{2} = - 7 \end{matrix} \right.$

(hệ hai ấn bậc nhất đối với $x_{1}$ và $x_{2}$ )

Thế $x_{1} = 5$ và $x_{2} = - 7$ vào phương trình $x_{1}x_{2} = m$ , ta có:

(thỏa điều kiện $m \leq 1$ ).

Vậy m = -35 để phương trình $x^{2} + 2x + m = 0$ có hai nghiệm $x_{1};x_{2}$ thỏa mãn $3x_{1} + 2x_{2} = 1$ .

Bài tập 2. Tìm để phương trình $x^{2} - 4x + m = 0$ có hai nghiệm $x_{1};x_{2}$ thỏa mãn điều kiện $x_{1} - x_{2} = 4$

Hướng dẫn giải

Ta có: $a = 1\ ;\ b = - 4 \Rightarrow b' = - 2\ ;\ c = m$

Phương trình đã cho có hai nghiệm $x_{1};x_{2}$ khi và chỉ khi

$\left\{ \begin{matrix} a \neq 0 \\ \Delta' \geq 0 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 1 \neq 0 \\ 4 - m \geq 0 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow m \leq 4$

Theo hệ thức Viète, ta có $x_{1} + x_{2} = 4$ và $x_{1}x_{2} = m$

Xét hệ: $\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = 4 \\ x_{1} - x_{2} = 4 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{1} = 4 \\ x_{2} = 0 \end{matrix} \right.$

Vậy (thỏa điều kiện $m \leq 4$ ).

Bài tập 3. Trên mặt phẳng tọa độ cho parabol $(P):y = x^{2}$ và đường thẳng với là tham số.

a) Chứng minh: Khi giá trị của thay đổi thì luôn cắt tại hai điểm phân biệt.

b) Gọi $x_{1},x_{2}$ là các hoành độ giao điểm của và . Tìm giá trị tham số m sao cho ${x_{1}}^{2}x_{2} + {x_{2}}^{2}x_{1} - 2{x_{1}}^{3}{x_{2}}^{3} = 3$ .

Hướng dẫn giải

Phương trình hoành độ giao điểm của và là:

$x^{2} = (m - 1)x + 1 \Leftrightarrow x^{2} - (m - 1)x - 1 = 0(*)$

Do $\Delta = (m - 1)^{2} + 4 \geq 4\forall m$ nên phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt.

Suy ra đường thẳng luôn cắt tại hai điểm phân biệt.

b) Ta có:

${x_{1}}^{2}x_{2} + {x_{2}}^{2}x_{1} -2{x_{1}}^{3}{x_{2}}^{3} = 3$

$\Leftrightarrow x_{1}x_{2}\left( x_{1} +x_{2} \right) - 2{x_{1}}^{3}{x_{2}}^{3} = 3(**)$

Theo hệ thức Vi – et ta có: $\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = m - 1 \\ x_{1}x_{2} = - 1 \end{matrix} \right.$ thay vào (**) ta được:

$- 1(m - 1) + 2 = 3 \Leftrightarrow m = 0$

Vậy là giá trị cần tìm.

C. Bài tập tự rèn luyện biểu thức không đối xứng với các nghiệm

Bài tập 1. Cho phương trình 2x² – 12x – 1= 0 có hai nghiệm x₁, x_2.

a) Tổng và tích hai nghiệm $x_{1};x_{2}$ của phương trình

b) Tính giá trị biểu thức $B = \frac{x_{1} - 2}{x_{2} + 2} + \frac{x_{2} - 2}{x_{1} + 2}$ .

Bài tập 2. Cho phương trình x² – 7x – 3 = 0

a) Chứng minh phương trình trên có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂.

b) Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức $T = \frac{x_{1}^{2} + x_{2}^{2}}{x_{1} + x_{2}}$ .

Bài tập 3. Cho phương trình: $x^{2} - 4x - 7 = 0$

a) Chứng tỏ phương trình trên luôn có nghiệm.

b) Tính tổng tích hai nghiệm.

c) Tính $T = \frac{x_{1}}{x_{2}} + \frac{x_{2}}{x_{1}} - 2$ .

Bài tập 4. Cho phương trình: ${2x}^{2} - 3x - 4 = 0$ .

a) Chứng tỏ phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt $x_{1}$ , $x_{2}$ .

b) Không giải phương trình, tính giá trị biểu thức $P = \frac{{x_{1}}^{2}}{x_{1} - 2\ } + \frac{{x_{2}}^{2}}{x_{2} - 2\ }$ .

Bài tập 5. Cho phương trình $3x^{2} + 5x - 6 = 0$ .

a) Chứng minh phương trình trên có hai nghiệm phân biệt.

b) Không giải phương trình hãy tính giá trị biểu thức sau: $A = \left( 3x_{1} - 2x_{2} \right)\left( 3x_{2} - 2x_{1} \right)$ .

Bài tập 6. Không giải phương trình: $x^{2} + 8x - 2 = 0$ .

a) Chứng tỏ phương trình trên có 2 nghiệm phân biệt x₁, x₂. Tính x₁ + x₂ và x₁.x₂.

b) Tính giá trị của biểu thức $P = 4x_{1}^{2}x_{2} + 4x_{1}x_{2}^{2} - (x_{1} - x_{2})^{2}$ .

Bài tập 7. Cho phương trình $2x^{2} - 13x - 6 = 0$ có x₁; x₂ là hai nghiệm của phương trình. Không giải phương trình, hãy tính giá trị biểu thức sau: $A = \left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 4x_{1}x_{2}$ .

📚 Phần tiếp theo của tài liệu đã được tổng hợp trong file đính kèm, mời bạn tải về để đọc tiếp.

------------------------------------------------------

FAQ – Biểu thức không đối xứng giữa các nghiệm phương trình bậc hai

1. Biểu thức không đối xứng giữa các nghiệm phương trình bậc hai là gì?

Biểu thức không đối xứng là biểu thức mà giá trị sẽ thay đổi khi hoán đổi hai nghiệm của phương trình bậc hai. Khác với biểu thức đối xứng chỉ phụ thuộc vào tổng và tích hai nghiệm theo định lý Viète, dạng biểu thức này thường yêu cầu kết hợp thêm các điều kiện của nghiệm hoặc sử dụng phép biến đổi đại số để tìm kết quả.

2. Làm thế nào để giải biểu thức không đối xứng giữa hai nghiệm?

Phương pháp giải thường gồm các bước:

Xác định tổng và tích hai nghiệm bằng định lý Viète.
Phân tích cấu trúc của biểu thức cần tính.
Biến đổi biểu thức về dạng quen thuộc nếu có thể.
Khai thác thêm điều kiện của đề bài hoặc mối liên hệ giữa hai nghiệm.
Kiểm tra tính hợp lệ của kết quả trước khi kết luận.

3. Vì sao định lý Viète vẫn được sử dụng trong dạng toán không đối xứng?

Mặc dù biểu thức không đối xứng không thể biểu diễn hoàn toàn bằng tổng và tích hai nghiệm, định lý Viète vẫn là công cụ nền tảng giúp rút gọn nhiều thành phần của biểu thức, từ đó giảm số lượng phép biến đổi và hỗ trợ tìm lời giải ngắn gọn hơn.

4. Biểu thức không đối xứng thường xuất hiện dưới những dạng nào?

Một số dạng phổ biến gồm:

Hiệu giữa hai nghiệm.
Thương của hai nghiệm.
Biểu thức chứa căn liên quan đến nghiệm.
Biểu thức có lũy thừa của từng nghiệm.
Biểu thức chứa tham số kết hợp với nghiệm.

Đây là những dạng thường xuất hiện trong các bài toán vận dụng và nâng cao.

5. Khi nào không thể áp dụng trực tiếp định lý Viète?

Nếu biểu thức chứa riêng từng nghiệm như:

Hiệu giữa hai nghiệm.
Giá trị tuyệt đối của hiệu hai nghiệm.
Tỷ số giữa hai nghiệm.
Hàm số của từng nghiệm.

thì chỉ sử dụng định lý Viète là chưa đủ. Học sinh cần kết hợp thêm các phép biến đổi đại số hoặc các điều kiện đặc biệt của đề bài.

6. Những lỗi thường gặp khi giải biểu thức không đối xứng là gì?

Các lỗi phổ biến gồm:

Nhầm lẫn giữa biểu thức đối xứng và không đối xứng.
Áp dụng định lý Viète không đúng phạm vi.
Bỏ qua điều kiện của phương trình.
Sai trong quá trình biến đổi đại số.
Không kiểm tra lại kết quả sau khi biến đổi.

Đây là những lỗi thường gặp trong các bài toán phân loại học sinh.

-------------------------------------------

Việc nắm vững cách giải biểu thức không đối xứng giữa các nghiệm giúp học sinh chủ động hơn khi gặp các dạng toán nâng cao về phương trình bậc hai. Đây là nội dung quan trọng trong chuyên đề biểu thức nghiệm phương trình bậc 2, hỗ trợ tốt cho việc luyện tập và vận dụng.

Xem thử Tải về

Chọn file muốn tải về: