Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Biểu thức đối xứng giữa các nghiệm phương trình bậc hai

Ứng dụng hệ thức Viète Toán 9

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 9

Môn: Toán

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Tính biểu thức nghiệm đối xứng của phương trình bậc hai

A. Kiến thức cần nhớ
- 1. Hệ thức Viète
- 2. Công thức biến đổi biểu thức đối xứng nghiệm
B. Bài tập ứng dụng hệ thức Viète tính biểu thức đối xứng giữa các nghiệm
C. Bài tập vận dụng tự rèn luyện có đáp án

Trong các bài toán phương trình bậc hai, dạng biểu thức đối xứng giữa các nghiệm thường gây khó khăn nếu không nhận ra cách khai thác hệ thức Viète. Việc chuyển đổi biểu thức phức tạp về tổng và tích hai nghiệm giúp bài toán trở nên ngắn gọn và dễ xử lý hơn. Bài viết này tập trung hướng dẫn phương pháp làm nhanh, đúng trọng tâm chương trình Toán 9.

A. Kiến thức cần nhớ

1. Hệ thức Viète

Nếu $x_{1},x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình $ax^{2} + bx + c = 0(a \neq 0)$ thì $\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} \\ x_{1}x_{2} = \frac{c}{a} \end{matrix}. \right.$

2. Công thức biến đổi biểu thức đối xứng nghiệm

$S = x_{1} + x_{2};P = x_{1}.x_{2}$

$x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = \left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 2x_{1}x_{2} = S^{2} - 2P$

(biểu thị qua tổng và tích các nghiệm)

${x_{1}}^{3} + {x_{2}}^{3} = \left( x_{1} + x_{2} \right)\left( {x_{1}}^{2} - x_{1}x_{2} + {x_{2}}^{2} \right)$ $= \left( x_{1} + x_{2} \right)\left\lbrack \left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 3x_{1}x_{2} \right\rbrack$

$= S.\left( S^{2} - 3P \right) = S^{3} - 3SP$

${x_{1}}^{4} + {x_{2}}^{4} = \left( {x^{2}}_{1} + {x_{2}}^{2} \right)^{2} - 2{x_{1}}^{2}{x_{2}}^{2}$

$= \left\lbrack \left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 2x_{1}x_{2} \right\rbrack^{2} - 2{x_{1}}^{2}{x_{2}}^{2}$ $= \left\lbrack S^{2} - 2P \right\rbrack^{2} - 2P^{2}$

$\left| x_{1} - x_{2} \right|^{2} = \left( x_{1} - x_{2} \right)^{2} = {x_{1}}^{2} - 2x_{1}x_{2} + {x_{2}}^{2}$ $= \left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 4x_{1}x_{2}$ $= S^{2} - 4P$

$\left| x_{1} - x_{2} \right| = \sqrt{\left( x_{1} - x_{2} \right)^{2}} = \sqrt{\left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 4x_{1}.x_{2}}$

$\frac{x_{1}}{x_{2}} + \frac{x_{2}}{x_{1}} = \frac{{x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2}}{x_{1}.x_{2}} = \frac{\left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 2x_{1}x_{2}}{x_{1}.x_{2}}$ với $x_{1};x_{2} \neq 0$

$\frac{1}{{x_{1}}^{2}} + \frac{1}{{x_{2}}^{2}} = \frac{{x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2}}{\left( x_{1}x_{2} \right)^{2}} = \frac{\left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 2x_{1}x_{2}}{\left( x_{1}x_{2} \right)^{2}}$ với $x_{1};x_{2} \neq 0$

$\left( x_{1} - x_{2} \right)^{2} = \left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 4x_{1}x_{2}$

B. Bài tập ứng dụng hệ thức Viète tính biểu thức đối xứng giữa các nghiệm

Ví dụ 1. Cho phương trình $x^{2} - x - 10 = 0$ . Chứng tỏ phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_{1};x_{2}$ và tính $x_{1}\ ^{2} + x_{2}\ ^{2}$ .

Hướng dẫn: $a = 1;c = - 10 \Rightarrow ac < 0$ $\Rightarrow$ Phương trình có hai nghiệm phân biệt.

$x_{1}\ ^{2} + x_{2}^{2} = \left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 2x_{1}x_{2}$

Hướng dẫn giải

Ta có: $a = 1;c = - 10 \Rightarrow ac < 0 \Rightarrow$ phương trình có hai nghiệm phân biệt

Nhận xét:

Ta có ac $< 0 \Rightarrow \frac{c}{a} < 0$ mà $x_{1}x_{2} = \frac{c}{a} \Rightarrow x_{1}x_{2} < 0$ .

Vậy khi và trái dấu thì phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt và trái dấu (chẳng hạn: $x_{1} < 0 < x_{2}$ ).

Biểu thức ${x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2}$ không thay đổi khi ta thay $x_{1}$ bởi $x_{2}$ và ngược lại, gọi là biếu thức đối xứng của $x_{1}$ và $x_{2}$ .

Ví dụ 2. Cho phương trình $2x^{2} - 3x - 6 = 0$ . Chứng tỏ phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_{1};x_{2}$ . Tính ${x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2}$ và $x_{1}\ ^{3} + x_{2}\ ^{3}$ .

Hướng dẫn giải

Ta có: $a = 2;c = - 6 \Rightarrow ac = - 12 < 0$ .

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt (trái dấu) $x_{1};x_{2}$ . Theo định lí Vi-et, ta có: $x_{1} + x_{2} = \frac{3}{2};x_{1}x_{2} = \frac{- 6}{2} = - 3$

Vậy $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = \left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 2x_{1}x_{2} = \left( \frac{3}{2} \right)^{2} - 2( - 3) = \frac{33}{4}$ .

${x_{1}}^{3} + {x_{2}}^{3} = \left( x_{1} + x_{2} \right)\left( x_{1}\ ^{2} - x_{1}x_{2} + x_{2}\ ^{2} \right) = \frac{3}{2}\left\lbrack \frac{33}{4} - ( - 3) \right\rbrack = \frac{135}{8}$

Cách khác:

Ta cũng có: ${x_{1}}^{3} + {x_{2}}^{3} = \left( x_{1} + x_{2} \right)^{3} - 3x_{1}x_{2}\left( x_{1} + x_{2} \right) = \left( \frac{3}{2} \right)^{3} - 3.( - 3).\frac{3}{2} = \frac{135}{8}$ .

C. Bài tập vận dụng tự rèn luyện có đáp án

Bài tập 1. Cho phương trình $x^{2} - 6x + 8 = 0$ .

Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức $M = x_{1}\ ^{2} + x_{2}^{2} - 3x_{1}x_{2}$ , với $x_{1};x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình.

Hướng dẫn: Chứng minh phương trình có nghiệm. Ta có: $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = \left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 2x_{1}x_{2}$

Bài tập 2. Cho phương trình $x^{2} - x + m - 1 = 0$ (*).

a) Tìm đế phương trình có hai nghiệm $x_{1};x_{2}$ .

b) Hãy tính $x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$ theo .

Gợi ý: Phương trình đã cho có hai nghiệm $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a \neq 0 \\ \Delta \geq 0 \end{matrix} \right.$ (không cần hai nghiệm phân biệt).

$x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = \left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 2x_{1}x_{2}$

Bài tập 3. Theo phương trình $3x^{2} + 2x - 6 = 0$ . Tính giá trị của biểu thức A $\ A = \left( x_{1} - x_{2} \right)^{2}$ ; trong đó $x_{1};x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình.

Bài tập 4. Cho phương trình $3x^{2} - 7x - 4 = 0$ . Gọi $x_{1},x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình, hãy tính.

a) $A = \left| x_{1} - x_{2} \right|$ b) $B = \frac{x_{1}^{2}}{x_{2}} + \frac{x_{2}^{2}}{x_{1}}$

Bài tập 5. Cho phương trình $x^{2} - 2x + m + 2 = 0$ . Tìm để phương trình có nghiệm $x_{1};x_{2}$ thỏa mãn điều kiện $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 10$ .

Gợi ý: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm, áp dụng hệ thức Viète tính $x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$ qua $x_{1} + x_{2}$ và $x_{1}x_{2}$ .

Bài tập 6. Cho phương trình $x^{2} - 2mx + 2m - 3 = 0$

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A = x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$ trong đó $x_{1};x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình.

Gợi ý: Trước hết phải tìm điều kiện để phương trình có nghiệm sau đó áp dụng hệ thức Viète để tính $x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$ qua các hệ số.

📘 Nội dung tài liệu còn tiếp tục, mời bạn tải bản đầy đủ để tham khảo chi tiết hơn.

---------------------------------------------------

Nắm vững cách xử lý biểu thức đối xứng thông qua hệ thức Viète giúp học sinh rút ngắn thời gian làm bài và hạn chế sai sót. Đây là dạng toán then chốt trong chuyên đề phương trình bậc hai Toán 9, hỗ trợ hiệu quả cho các bài toán nâng cao và vận dụng.

Xem thử Tải về

Chọn file muốn tải về: