Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Biểu thức đối xứng giữa các nghiệm phương trình bậc hai

Ứng dụng hệ thức Viète Toán 9

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 9

Môn: Toán

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Tính biểu thức nghiệm đối xứng của phương trình bậc hai

A. Kiến thức cần nhớ
- 1. Hệ thức Viète
- 2. Công thức biến đổi biểu thức đối xứng nghiệm
B. Bài tập ứng dụng hệ thức Viète tính biểu thức đối xứng giữa các nghiệm
C. Bài tập vận dụng tự rèn luyện có đáp án

Trong chương trình Toán 9, chuyên đề về biểu thức đối xứng giữa các nghiệm của phương trình bậc hai là một nội dung quan trọng, thường xuất hiện trong các câu hỏi vận dụng và vận dụng cao của đề thi vào lớp 10. Dạng toán này yêu cầu học sinh phải nắm vững hệ thức Viète và biết cách biến đổi linh hoạt các biểu thức theo tổng và tích hai nghiệm. Nếu hiểu đúng bản chất, bạn có thể giải nhanh nhiều bài toán phức tạp mà không cần tìm nghiệm cụ thể. Bài viết dưới đây sẽ giúp bạn hệ thống kiến thức, phương pháp giải và các dạng bài tiêu biểu kèm hướng dẫn chi tiết.

A. Kiến thức cần nhớ

1. Hệ thức Viète

Nếu $x_{1},x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình $ax^{2} + bx + c = 0(a \neq 0)$ thì $\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} \\ x_{1}x_{2} = \frac{c}{a} \end{matrix}. \right.$

2. Công thức biến đổi biểu thức đối xứng nghiệm

$S = x_{1} + x_{2};P = x_{1}.x_{2}$

$x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = \left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 2x_{1}x_{2} = S^{2} - 2P$

(biểu thị qua tổng và tích các nghiệm)

${x_{1}}^{3} + {x_{2}}^{3} = \left( x_{1} + x_{2} \right)\left( {x_{1}}^{2} - x_{1}x_{2} + {x_{2}}^{2} \right)$ $= \left( x_{1} + x_{2} \right)\left\lbrack \left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 3x_{1}x_{2} \right\rbrack$

$= S.\left( S^{2} - 3P \right) = S^{3} - 3SP$

${x_{1}}^{4} + {x_{2}}^{4} = \left( {x^{2}}_{1} + {x_{2}}^{2} \right)^{2} - 2{x_{1}}^{2}{x_{2}}^{2}$

$= \left\lbrack \left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 2x_{1}x_{2} \right\rbrack^{2} - 2{x_{1}}^{2}{x_{2}}^{2}$ $= \left\lbrack S^{2} - 2P \right\rbrack^{2} - 2P^{2}$

$\left| x_{1} - x_{2} \right|^{2} = \left( x_{1} - x_{2} \right)^{2} = {x_{1}}^{2} - 2x_{1}x_{2} + {x_{2}}^{2}$ $= \left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 4x_{1}x_{2}$ $= S^{2} - 4P$

$\left| x_{1} - x_{2} \right| = \sqrt{\left( x_{1} - x_{2} \right)^{2}} = \sqrt{\left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 4x_{1}.x_{2}}$

$\frac{x_{1}}{x_{2}} + \frac{x_{2}}{x_{1}} = \frac{{x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2}}{x_{1}.x_{2}} = \frac{\left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 2x_{1}x_{2}}{x_{1}.x_{2}}$ với $x_{1};x_{2} \neq 0$

$\frac{1}{{x_{1}}^{2}} + \frac{1}{{x_{2}}^{2}} = \frac{{x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2}}{\left( x_{1}x_{2} \right)^{2}} = \frac{\left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 2x_{1}x_{2}}{\left( x_{1}x_{2} \right)^{2}}$ với $x_{1};x_{2} \neq 0$

$\left( x_{1} - x_{2} \right)^{2} = \left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 4x_{1}x_{2}$

B. Bài tập ứng dụng hệ thức Viète tính biểu thức đối xứng giữa các nghiệm

Ví dụ 1. Cho phương trình x² - x - 10 = 0. Chứng tỏ phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁; x₂ và tính $x_{1}\ ^{2} + x_{2}\ ^{2}$ .

Hướng dẫn: a = 1; c = -10 => ac < 0 $\Rightarrow$ Phương trình có hai nghiệm phân biệt.

$x_{1}\ ^{2} + x_{2}^{2} = \left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 2x_{1}x_{2}$

Hướng dẫn giải

Ta có: a = 1; c = -10 => ac > 0 => phương trình có hai nghiệm phân biệt

Nhận xét:

Ta có: ac $< 0 \Rightarrow \frac{c}{a} < 0$ mà $x_{1}x_{2} = \frac{c}{a} \Rightarrow x_{1}x_{2} < 0$ .

Vậy khi a và c trái dấu thì phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt và trái dấu (chẳng hạn: $x_{1} < 0 < x_{2}$ ).

Biểu thức ${x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2}$ không thay đổi khi ta thay x₁ bởi x₂ và ngược lại, gọi là biếu thức đối xứng của x₁ và x₂.

Ví dụ 2. Cho phương trình 2x² - 3x - 6 = 0. Chứng tỏ phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁; x₂. Tính ${x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2}$ và $x_{1}\ ^{3} + x_{2}\ ^{3}$ .

Hướng dẫn giải

Ta có: a = 2; c = -6 => ac = -12 < 0.

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt (trái dấu) x₁; x₂. Theo định lí Vi-et, ta có: $x_{1} + x_{2} = \frac{3}{2};x_{1}x_{2} = \frac{- 6}{2} = - 3$

Vậy $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = \left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 2x_{1}x_{2} = \left( \frac{3}{2} \right)^{2} - 2( - 3) = \frac{33}{4}$ .

${x_{1}}^{3} + {x_{2}}^{3} = \left( x_{1} + x_{2} \right)\left( x_{1}\ ^{2} - x_{1}x_{2} + x_{2}\ ^{2} \right) = \frac{3}{2}\left\lbrack \frac{33}{4} - ( - 3) \right\rbrack = \frac{135}{8}$

Cách khác:

Ta cũng có:

${x_{1}}^{3} + {x_{2}}^{3} = \left( x_{1} + x_{2} \right)^{3} - 3x_{1}x_{2}\left( x_{1} + x_{2} \right) = \left( \frac{3}{2} \right)^{3} - 3.( - 3).\frac{3}{2} = \frac{135}{8}$ .

C. Bài tập vận dụng tự rèn luyện có đáp án

Bài tập 1. Cho phương trình x² - 6x + 8 = 0.

Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức $M = x_{1}\ ^{2} + x_{2}^{2} - 3x_{1}x_{2}$ , với x₁; x₂ là hai nghiệm của phương trình.

Hướng dẫn: Chứng minh phương trình có nghiệm. Ta có: $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = \left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 2x_{1}x_{2}$

Bài tập 2. Cho phương trình x² - x + m - 1 = 0 (*).

a) Tìm đế phương trình có hai nghiệm x₁; x₂.

b) Hãy tính $x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$ theo m.

Gợi ý: Phương trình đã cho có hai nghiệm $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a \neq 0 \\ \Delta \geq 0 \end{matrix} \right.$ (không cần hai nghiệm phân biệt).

$x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = \left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 2x_{1}x_{2}$

Bài tập 3. Theo phương trình 3x² + 2x - 6 = 0. Tính giá trị của biểu thứcA = (x₁ - x₂)²; trong đó x₁; x₂ là hai nghiệm của phương trình.

Bài tập 4. Cho phương trình 3x² - 7x - 4 = 0. Gọi x₁; x₂ là hai nghiệm của phương trình, hãy tính.

a) $A = \left| x_{1} - x_{2} \right|$ b) $B = \frac{x_{1}^{2}}{x_{2}} + \frac{x_{2}^{2}}{x_{1}}$

Bài tập 5. Cho phương trình x² - 2x + m + 2 = 0. Tìm m để phương trình có nghiệm x₁; x₂ thỏa mãn điều kiện $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 10$ .

Gợi ý: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm, áp dụng hệ thức Viète tính $x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$ qua x₁ + x₂ và x₁x₂.

Bài tập 6. Cho phương trình x² - 2mx + 2m - 3 = 0

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A = x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$ trong đó x₁; x₂ là hai nghiệm của phương trình.

Gợi ý: Trước hết phải tìm điều kiện để phương trình có nghiệm sau đó áp dụng hệ thức Viète để tính $x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$ qua các hệ số.

Đáp án bài tập vận dụng tự rèn luyện

Bài tập 1.

Ta có $a = 1;b = - 6 \Rightarrow b' = - 3$ .

$\Delta' = 9 - 8 = 1 > 0$ .

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Theo định lí Viète, ta có:

$x_{1} + x_{2} = 6(1)$ và $x_{1} - x_{2} = 8(2)$

Vậy $\ M = x_{1}\ ^{2} + x_{2}\ ^{2} - 3x_{1}x_{2}$

$\Leftrightarrow M = \left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 5x_{1}x_{2}$ (3)

Từ (1); (2) và (3), ta có: $M = 6^{2} - 5.8 = 36 - 40 = - 4$

Chú ý: Ta cần chứng tỏ phương trình có nghiệm $x_{1};x_{2}$ ; sau đó mới áp dụng định lí Viète.

Bài tập 2.

a) Phương trình (*) có hai nghiệm $x_{1},x_{2}$ khi và chỉ khi:

$\left\{ \begin{matrix} a \neq 0 \\ \Delta \geq 0 \end{matrix} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{r} \begin{matrix} 1 \neq 0 \\ 1 - 4 \cdot 1.(m - 1) \geq 0 \end{matrix} \\ \Rightarrow 5 - 4\ m \geq 0 \Rightarrow m \leq \frac{5}{4} \end{array} \right.\ \right.$

b) Theo định lí Vi-et, ta có: $\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = 1 \\ x_{1}x_{2} = m - 1 \end{matrix} \right.$

Vậy $\ x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = \left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 2x_{1}x_{2}$

Bài tập 3.

Ta có

$\Rightarrow$ $a.c = - 18 < 0 \Rightarrow$ phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt (khác dấu) $x_{1},x_{2}$ .

Theo định lí Vi-et, ta có: $x_{1} + x_{2} = - \frac{2}{3};x_{1}x_{2} = - 2$ .

Vậy $A = x_{1}^{2} - 2x_{1}x_{2} + x_{2}^{2}$

$= \left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 4x_{1}x_{2}$

$= \left( - \frac{2}{3} \right)^{2} - 4 \cdot ( - 2) = \frac{76}{9}$

Nhận xét: Từ kết quả trên, ta có thể tìm được: $\left| x_{1} - x_{2} \right| = \frac{\sqrt{76}}{3} = \frac{2\sqrt{19}}{3}$

$\Rightarrow x_{1} - x_{2} = \pm \frac{2\sqrt{19}}{3}$

📘 Nội dung tài liệu còn tiếp tục, mời bạn tải bản đầy đủ để tham khảo chi tiết hơn.

---------------------------------------------------

Có thể thấy, việc thành thạo biểu thức đối xứng giữa các nghiệm không chỉ giúp bạn giải nhanh bài toán phương trình bậc hai mà còn nâng cao khả năng biến đổi đại số. Khi học dạng này, bạn cần chú ý nhận diện đúng dạng biểu thức để áp dụng hệ thức Viète một cách hiệu quả. Đừng quên rèn luyện kỹ năng biến đổi linh hoạt nhằm đưa bài toán về các dạng quen thuộc.

Ngoài ra, việc luyện tập thường xuyên sẽ giúp bạn ghi nhớ công thức lâu hơn và tránh nhầm lẫn khi làm bài. Bạn cũng nên thử sức với các bài toán nâng cao để phát triển tư duy toán học. Kiểm tra lại kết quả sau mỗi lần giải là bước quan trọng để đảm bảo độ chính xác. Nếu kiên trì luyện tập, đây sẽ là dạng bài giúp bạn ghi điểm nhanh trong kỳ thi vào lớp 10.

Xem thử Tải về

Chọn file muốn tải về: