Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Tìm hai số biết tổng và tích nghiệm phương trình bậc hai

Bài tập Toán 9 có đáp án

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 9

Môn: Toán

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Bài toán tổng và tích nghiệm có đáp án

Dạng toán tìm hai số khi biết tổng và tích là ứng dụng trực tiếp của nghiệm phương trình bậc hai, xuất hiện thường xuyên trong Toán 9 và các bài kiểm tra. Việc nắm rõ mối liên hệ giữa tổng – tích và nghiệm giúp học sinh giải bài nhanh, chính xác mà không cần biến đổi phức tạp. Bài viết này tập trung hướng dẫn phương pháp làm hiệu quả, dễ áp dụng.

A. Cách tìm hai số khi biết tổng và tích hai nghiệm

Nếu hai số có tổng bằng và tích bằng thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình bậc hai: $x^{2} - Sx + P = 0$ .

Điều kiện đế có hai số đó là $S^{2} - 4P \geq 0$ .

Để tìm hai số x; y khi biết tổng và ta làm như sau:

Bước 1: Xét điều kiện để có hai số là $S^{2} - 4P \geq 0$ . Khi đó là nghiệm của phương trình $X^{2} - SX + P = 0$ .
Bước 2: Giải phương trình và kết luận.

B. Bài tập tìm hai số khi biết tổng và tích hai nghiệm phương trình bậc hai

Ví dụ 1. Tìm hai số và biết và $u\ \ \cdot \ \ v = - 2$ .

Gợi ý: Nếu hai số có tổng bằng và tích bằng thì hai số đó là nghiệm phương trình bậc hai $x^{2} - Sx + P = 0$ .

Hướng dẫn giải

Hai số ; cần tìm là hai nghiệm phương trình: $x^{2} - 1.\ \ x - 2 = 0$

Ta có: ; ; . Suy ra .

Phương trình có hai nghiệm $x_{1} = - 1$ và $x_{2} = 2$ .

Vậy hai số cần tìm: ; hoặc ; .

Ví dụ 2. Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là và .

Hướng dẫn giải

Ta có:

và $( - 1)\ \ \cdot \ \ 2 = - 2 = P$ .

Vậy và là nghiệm của phương trình bậc hai sau đây: $x^{2} - 1 \cdot x - 2 = 0$ hay $x^{2} - x - 2 = 0$

Ví dụ 3. Tìm hai số , v; biết ; và .

Hướng dẫn giải

Hai số ; là hai nghiệm của phương trình $x^{2} - 12x + 28 = 0$

Ta có: ; $\Rightarrow$ b' = - 6 ; .

$\Delta' = ( - 6)^{2} - 1\ \ .\ \ 28 = 8 > 0$ $\Rightarrow \sqrt{\Delta'} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

Nên phương trình có nghiệm $x = 6 + 2\sqrt{2}$ ; $x = 6 - 2\sqrt{2}$ .

Vậy hai số cần tìm: $u = 6 + 2\sqrt{2}$ ; $v = 6 - 2\sqrt{2}$ hoặc $u = 6 - 2\sqrt{2}$ ; $v = 6 + 2\sqrt{2}$ .

Ví dụ 4. Cho phương trình $x^{2} + x - 3 = 0$ có hai nghiệm $x_{1}\ ;\ \ x_{2}$ . Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là $\frac{1}{x_{1}}$ và $\frac{1}{x_{2}}$ .

Hướng dẫn giải

Ta có: ; suy ra nên phương trình đã cho có hai nghiệm (trái dấu) $x_{1}\ ;\ \ x_{2}$

Suy ra $x_{1} + x_{2} = - 1$ ; $x_{1}\ \ .\ \ x_{2} = - 3$ .

Mặt khác: $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = \frac{x_{1} + x_{2}}{x_{1}x_{2}} = \frac{1}{3}$ ; $\frac{1}{x_{1}}\ \ \cdot \ \ \frac{1}{x_{2}} = - \frac{1}{3}$ .

Vậy $\frac{1}{x_{1}}$ và $\frac{1}{x_{2}}$ là hai nghiệm của phương trình bậc hai $x^{2} - \frac{1}{3}x - \frac{1}{3} = 0$ hay $3x^{2} - x - 1 = 0$ .

C. Bài tập vận dụng tự rèn luyện

Bài tập 1. Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là và .

Bài tập 2. Cho phương trình $x^{2} + mx - 5 = 0$ có hai nghiệm $x_{1}\ \ ;\ \ x_{2}$ . Lập phương trình có hai nghiệm là $- x_{1}$ và $- x_{2}$ .

Bài tập 3. Tìm để hai phương trình sau tương đương: $x^{2} + mx - 2 = 0$ và $x^{2} - 2x + m = 0$ có tập hợp nghiệm trùng nhau.

Gợi ý

1. Hai phương trình bậc hai cùng vô nghiệm hoặc:

2. Hai phương trình bậc hai cùng có nghiệm và tổng; tích hai nghiệm của từng phương trình phải bằng nhau.

📄 Do dung lượng nội dung lớn, tài liệu chi tiết được cung cấp dưới dạng file tải về.

------------------------------------------------------

Thông qua việc khai thác tổng và tích của nghiệm phương trình bậc hai, học sinh có thể nhanh chóng xác định hai số cần tìm trong nhiều dạng bài khác nhau. Đây là nội dung quan trọng trong Toán 9, giúp rèn luyện tư duy và nâng cao hiệu quả làm bài.

Xem thử Tải về

Chọn file muốn tải về: