Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Tìm hai số biết tổng và tích nghiệm phương trình bậc hai

Bài tập Toán 9 có đáp án

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 9

Môn: Toán

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Bài toán tổng và tích nghiệm có đáp án

A. Cách tìm hai số khi biết tổng và tích hai nghiệm
B. Bài tập tìm hai số khi biết tổng và tích hai nghiệm phương trình bậc hai
C. Bài tập vận dụng tự rèn luyện

Dạng toán tìm hai số khi biết tổng và tích là ứng dụng trực tiếp của nghiệm phương trình bậc hai, xuất hiện thường xuyên trong Toán 9 và các bài kiểm tra. Việc nắm rõ mối liên hệ giữa tổng – tích và nghiệm giúp học sinh giải bài nhanh, chính xác mà không cần biến đổi phức tạp. Bài viết này tập trung hướng dẫn phương pháp làm hiệu quả, dễ áp dụng.

A. Cách tìm hai số khi biết tổng và tích hai nghiệm

Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình bậc hai: x² - Sx + P = 0.

Điều kiện đế có hai số đó là S² - 4P ≥ 0.

Để tìm hai số x; y khi biết tổng S = x + y và P = x.y ta làm như sau:

Bước 1: Xét điều kiện để có hai số là S² - 4P ≥ 0. Khi đó x; y là nghiệm của phương trình X² - SX + P = 0.
Bước 2: Giải phương trình và kết luận.

B. Bài tập tìm hai số khi biết tổng và tích hai nghiệm phương trình bậc hai

Ví dụ 1. Tìm hai số u và v biết u + v = 1 và u.v = -2.

Gợi ý: Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là nghiệm phương trình bậc hai x² - Sx + P = 0.

Hướng dẫn giải

Hai số ; cần tìm là hai nghiệm phương trình: x² - 1.x - 2 = 0 (*)

Ta có: a = 1; b = -1; c = -2. Suy ra: a - b + c = 1 - (-1) - 2 = 0.

Phương trình (*) có hai nghiệm x₁ = -1 và x₂ = 2.

Vậy hai số cần tìm: u = -1; v = 2 hoặc u = 2; v = -1.

Ví dụ 2. Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là -1 và 2.

Hướng dẫn giải

Ta có:

(-1) + 2 = 1 = S và (-1).2 = -2 = P.

Vậy -1 và 2 là nghiệm của phương trình bậc hai sau đây: x² - 1.x - 2 = 0 hay x² - x - 2 = 0.

Ví dụ 3. Tìm hai số u; v; biết u + v = 12; uv = 28 và u > v.

Hướng dẫn giải

Hai số ; là hai nghiệm của phương trình x² - 12x + 28 = 0 (*)

Ta có: a = 1; b = -12 => b' = -6; c = 28.

$\Delta' = ( - 6)^{2} - 1\ \ .\ \ 28 = 8 > 0$ $\Rightarrow \sqrt{\Delta'} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

Nên phương trình (*) có nghiệm $x = 6 + 2\sqrt{2}$ ; $x = 6 - 2\sqrt{2}$ .

Vậy hai số cần tìm: $u = 6 + 2\sqrt{2}$ ; $v = 6 - 2\sqrt{2}$ hoặc $u = 6 - 2\sqrt{2}$ ; $v = 6 + 2\sqrt{2}$ .

Ví dụ 4. Cho phương trình x² + x - 3 = 0 có hai nghiệm x₁; x₂. Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là $\frac{1}{x_{1}}$ và $\frac{1}{x_{2}}$ .

Hướng dẫn giải

Ta có:a = 1 ; c = -3 suy ra ac = -3 < 0 nên phương trình đã cho có hai nghiệm (trái dấu) x₁; x₂

Suy ra $x_{1} + x_{2} = - 1$ ; $x_{1}\ \ .\ \ x_{2} = - 3$ .

Mặt khác: $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = \frac{x_{1} + x_{2}}{x_{1}x_{2}} = \frac{1}{3}$ ; $\frac{1}{x_{1}}\ \ \cdot \ \ \frac{1}{x_{2}} = - \frac{1}{3}$ .

Vậy $\frac{1}{x_{1}}$ và $\frac{1}{x_{2}}$ là hai nghiệm của phương trình bậc hai $x^{2} - \frac{1}{3}x - \frac{1}{3} = 0$ hay 3x² - x - 1 = 0.

C. Bài tập vận dụng tự rèn luyện

Bài tập 1. Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là 3 và -5.

Bài tập 2. Cho phương trình x² + mx - 5 = 0 có hai nghiệm $x_{1}\ \ ;\ \ x_{2}$ . Lập phương trình có hai nghiệm là $- x_{1}$ và $- x_{2}$ .

Bài tập 3. Tìm để hai phương trình sau tương đương: x² + mx - 2 = 0 và x² - 2x + m = 0 có tập hợp nghiệm trùng nhau.

Gợi ý

1. Hai phương trình bậc hai cùng vô nghiệm hoặc:

2. Hai phương trình bậc hai cùng có nghiệm và tổng; tích hai nghiệm của từng phương trình phải bằng nhau.

📄 Do dung lượng nội dung lớn, tài liệu chi tiết được cung cấp dưới dạng file tải về.

------------------------------------------------------

❓ FAQ – Tìm hai số biết tổng và tích nghiệm phương trình bậc hai

1. Muốn tìm hai số biết tổng và tích thì làm thế nào?

Ta lập phương trình bậc hai có: $S=x_1+x_2,\quad P=x_1x_2$

Sau đó giải phương trình để tìm hai số cần tìm.

2. Định lý Viète là gì?

Định lý Viète cho biết mối liên hệ giữa nghiệm và hệ số của phương trình bậc hai:

$x_1+x_2=-\frac{b}{a},\quad x_1x_2=\frac{c}{a}$

3. Dạng toán này có quan trọng trong Toán 9 không?

Đây là chuyên đề trọng tâm trong chương trình phương trình bậc hai lớp 9 và thường xuất hiện trong đề thi vào lớp 10.

4. Các dạng bài tập thường gặp là gì?

Một số dạng phổ biến:

Tìm hai số khi biết tổng và tích
Lập phương trình theo yêu cầu
Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm
Chứng minh biểu thức liên quan đến nghiệm

5. Sai lầm thường gặp khi áp dụng Viète là gì?

Các lỗi phổ biến gồm:

Nhầm dấu tổng nghiệm
Tính sai tích nghiệm
Không kiểm tra điều kiện có nghiệm
Biến đổi đại số thiếu chính xác

6. Làm sao để học tốt chuyên đề này?

Học sinh nên:

Thuộc công thức Viète
Luyện nhiều dạng bài tập
Thành thạo giải phương trình bậc hai
Biết cách biến đổi biểu thức liên quan đến nghiệm

7. Chuyên đề này phù hợp với đối tượng nào?

Phù hợp cho:

Học sinh lớp 9
Ôn thi vào lớp 10 môn Toán
Học sinh muốn nâng cao kỹ năng đại số

8. Bài tập Toán 9 có đáp án giúp ích gì?

Giúp học sinh:

Tự kiểm tra kết quả
Hiểu rõ phương pháp giải
Phát hiện lỗi sai thường gặp
Nâng cao kỹ năng trình bày bài toán

--------------------------------------------------

Thông qua việc khai thác tổng và tích của nghiệm phương trình bậc hai, học sinh có thể nhanh chóng xác định hai số cần tìm trong nhiều dạng bài khác nhau. Đây là nội dung quan trọng trong Toán 9, giúp rèn luyện tư duy và nâng cao hiệu quả làm bài.

Xem thử Tải về

Chọn file muốn tải về: