Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của đa thức bậc hai 2 biến

Cách tìm GTLN, GTNN của biểu thức

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 9

Môn: Toán

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Cách tìm GTLN, GTNN của đa thức bậc hai hai biến

Trong Toán 9, dạng toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của đa thức bậc hai hai biến thường xuất hiện trong các bài kiểm tra và đề thi nâng cao. Việc khai thác đúng mối liên hệ giữa các biến giúp học sinh rút gọn bài toán và tìm ra kết quả chính xác. Bài viết này sẽ trình bày phương pháp giải rõ ràng, dễ áp dụng.

Dạng 1. Tìm GTLN, GTNN đa thức bậc hai có điều kiện

Ví dụ 1. a. Cho x + y = 1. Tìm GTLN của P = 3xy – 4

b. Cho x – 2y = 2. Tìm GTNN của Q = x² + 2y² – x + 3y

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

$x + y = 1 \Rightarrow x = 1 - y$

$\Rightarrow P = 3(1 - y)y - 4 = - 3\left( y - \frac{1}{2} \right)^{2} - \frac{13}{4} \leq \frac{- 13}{4}$

Vậy maxP = $\frac{- 13}{4}\ khi\ x = \frac{1}{2}$

b. Ta có:

$\ x - 2y = 2 \Rightarrow x = 2y + 2$

$\Rightarrow Q = 4y^{2} + 8y + 4 + 2y^{2} - 2y - 2 + 3y$

$= 6y^{2} + 9y + 2 = 6\left( y^{2} + \frac{3}{2}y + \frac{9}{16} \right) - \frac{11}{8} \geq - \frac{11}{8}$

Vậy minQ = $- \frac{11}{8}\ khi\ x = - \frac{3}{4}$

Ví dụ 2. Tìm GTLN của của P = xy với x, y thỏa mãn

a) $x + y = 6,y \geq 4$ b) $x + y = S,y \geq a > \frac{S}{2}$

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

$P = (6 - y)y = 8 - (y - 2)(y - 4) \leq 8$ .

Vậy maxP = 8 khi x = 2, y = 4

b) Ta có:

$Q = (S - y)y = (S - a)a - (y - a)(y + a - S) \leq (S - a)a$ .

Vậy maxQ = (S – a)a khi x = S – a, y = a

Dạng 2. Tìm GTLN, GTNN của đa thức bậc hai hai biến

Bài toán tổng quát: Cho đa thức: P(x,y) = ax² + bxy + cy² + dx + ey + h (1), với a,b,c $\neq$ 0

Ta thường đưa P(x, y) về dạng

P(x, y) = mF²(x, y) + nG²(y) + k (2)

P(x, y) = mH²(x, y) + nG²(x) + k (3)

Trong đó G(y), H(x) là hai biểu thức bậc nhất một ẩn, H(x, y) là biểu thức bậc nhất hai ẩn.

Chẳng hạn nếu ta biến đổi (1) về (2) với a, (4ac – b²) $\neq$ 0

$4aP(x,y) = 4a^{2}x^{2} + 4abxy + 4acy^{2} + 4adx + 4aey + 4ah$

$= 4a^{2}x^{2} + b^{2}y^2 + d^{2} +4abxy + 4adx + 2bdy +$ $\left( 4ac - b^{2} \right) + 2(2ae - bd)y + 4ah -d^{2}$

$= (2ax + by + d)^{2} + \left( 4ac - b^{2} \right)\left( y + \frac{2ae - bd}{4ac - b^{2}} \right)^{2} + 4ahd^{2} - \frac{(2ae - bd)^{2}}{4ac - b^{2}}$

(Tương tự nhân hai vế của (1) với 4c để chuyển về (3)).

Ví dụ 1. a. Tìm GTNN của P = x² + y² + xy + x + y

b. Tìm GTLN của Q = -5x² – 2xy – 2y² + 14x + 10y – 1

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

$4P = 4x^{2} + 4y^{2} + 4xy + 4x + 4y$

$= 4x^{2} + y^{2} + 1 + 4xy + 4x + 2y + 3y^{2} + 2y - 1$

$= \ (2x + y + 1)^{2} + 3\left( y + \frac{1}{3} \right)^{2} - \frac{4}{3} \geq - \frac{4}{3}$

Vậy minP = $- \frac{4}{3}\ khi\ x = y = - \frac{1}{3}$

b) Ta có:

$- 5Q = 25x^{2} + 10xy + 10y^{2} - 70x - 50y + 5$

$= \ (5x - y - 7)^{2} + (3y - 6)^{2} - 80$

$\Rightarrow Q = - \frac{1}{5}(5x - y - 7)^{2} - \frac{9}{5}(y - 2)^{2} + 16 \leq 16$

Vậy maxQ = 16 khi x = 1, y = 2

Ví dụ 2. Tìm cặp số (x, y) với y nhỏ nhất thỏa mãn: x² + 5y² + 2y – 4xy – 3 = 0 (*)

Hướng dẫn giải

Ta có:

$(*) \Leftrightarrow (x - 2y)^{2} + (y + 1)^{2} = 4$

$\Rightarrow (y + 1)^2\leq 4\Rightarrow (y + 3)(y - 1) \leq 0$

$\Rightarrow - 3 \leq y \leq 1$

Vậy miny = -3 khi x = -6.

Vậy cặp số (x, y) = (-6; -3).

📄 Do dung lượng nội dung lớn, tài liệu chi tiết được cung cấp dưới dạng file tải về.

--------------------------------------

Nắm vững phương pháp tìm GTLN, GTNN của đa thức bậc hai hai biến giúp học sinh tự tin xử lý các bài toán khó trong Toán 9. Đây là nội dung quan trọng, góp phần nâng cao tư duy và kỹ năng biến đổi biểu thức.

Xem thử Tải về

Chọn file muốn tải về: