Cách giải phương trình tích từ cơ bản đến nâng cao
Cách giải phương trình tích lớp 9
Cách giải phương trình tích từ cơ bản đến nâng cao giúp học sinh lớp 9 nắm được cách đưa phương trình về dạng tích các thừa số và xác định nghiệm một cách chính xác. Nội dung trình bày phương pháp giải theo từng mức độ, kết hợp các dạng bài thường gặp để học sinh dễ hiểu, dễ áp dụng. Đây là tài liệu phù hợp để luyện tập và củng cố kiến thức phương trình Toán 9.
A. Phương trình tích và cách giải phương trình tích
Định nghĩa phương trình tích
Phương trình tích là phương trình có dạng 
\(A\left( x \right).B\left( x \right)...M\left( x \right) = 0\). Trong đó \(A\left( x \right),{\rm{ }}B\left( x \right),{\rm{ }}...,{\rm{ }}M\left( x \right)\) là các đa thức biến \(x\).
Để giải phương trình tích, ta áp dụng công thức:
\(A(x).B(x) = 0\) suy ra \(A(x) = 0\) hoặc \(B(x) = 0\) suy ra \(\left[ \begin{array}{l}
A(x) = 0\\
B(x) = 0
\end{array} \right.\)
Ta giải hai phương trình \(A(x) = 0\) và \(B(x) = 0\), rồi lấy tất cả các nghiệm của chúng.
B. Ví dụ minh họa cách giải phương trình tích
Ví dụ 1 [NB]: Giải phương trình:
a) \(\left( {x + 5} \right)\left( {2x - 3} \right) = 0\) b) \(\left( {x - 1} \right)\left( {3 - x} \right) = 0\)
c) \(\left( {x + 2} \right)\left( {4x - 1} \right) = 0\) d) \({x^2} - 1 = 0\)
Hướng dẫn giải
a) Ta có:
\(\left( {x + 5} \right)\left( {2x - 3} \right) = 0\) nên \(x + 5 = 0\) hoặc \(2x-3=0\)
\(x + 5 = 0\) hay \(x=-5\)
\(2x-3=0\) hay \(x = \frac{3}{2}\).
Vậy phương trình có nghiệm \(x=-5\) và \(x = \frac{3}{2}\).
b) Ta có:
\(\left( {x - 1} \right)\left( {3 - x} \right) = 0\) nên \(x-1=0\) hoặc \(3-x=0\)
\(x-1=0\) suy ra \(x=1\)
\(3-x=0\) suy ra .\(x=3\)
Vậy phương trình có nghiệm \(x=1\) và \(x=3\).
c) Ta có:
\(\left( {x + 2} \right)\left( {4x - 1} \right) = 0\) nên \(x+2=0\) hoặc \(4x-1=0\)
\(x+2=0\) hay \(x=-2\)
\(4x-1=0\) hay \(x=\frac{1}{4}\)
Vậy phương trình có nghiệm \(x=-2\) và \(x=\frac{1}{4}\).
d) Ta có:
\({x^2} - 1 = 0\)
\((x-1)(x+1)=0\) suy ra \(\left[ \begin{array}{l}
x - 1 = 0\\
x + 1 = 0
\end{array} \right.\) suy ra \(\left[ \begin{array}{l}
x = 1\\
x = - 1
\end{array} \right.\)
Vậy phương trình có nghiệm \(x = 1;x = - 1\).
Ví dụ 2 [TH]: Giải phương trình:
a) \(2x\left( {x - 7} \right) + 5x - 35 = 0\) b) \(x\left( {x - 3} \right) - 7x + 21 = 0\)
c) \(2(x + 3) - {x^2} - 3x = 0\) d) \(2x(3x - 5) = 10 - 6x\)
Hướng dẫn giải
a) Ta có:
\(2x\left( {x - 7} \right) + 5x - 35 = 0\)
\(2x\left( {x - 7} \right) + 5\left( {x - 7} \right) = 0\)
\(\left( {2x + 5} \right)\left( {x - 7} \right) = 0\)
Ta có:
\(\left( {2x + 5} \right)\left( {x - 7} \right) = 0\) nên \(2x+5=0\) hoặc \(x-7=0\)
\(2x+5=0\) hay \(x = - \frac{5}{2}\)
\(x-7=0\) hay \(x=7\)
Vậy phương trình có nghiệm \(x = - \frac{5}{2}\) và \(x=7\).
b) Ta có:
\(x\left( {x - 3} \right) - 7x + 21 = 0\)
\(x\left( {x - 3} \right) - 7\left( {x - 3} \right) = 0\)
\(\left( {x - 3} \right)\left( {x - 7} \right) = 0\)
Ta có:
\(\left( {x - 3} \right)\left( {x - 7} \right) = 0\) nên \(x-3=0\) hoặc \(x-7=0\)
\(x-3=0\) hay .\(x=3\)
\(x-7=0\) hay \(x=7\)
Vậy phương trình có nghiệm \(x-7=0\) và \(x=7\).
c) Ta có:
\(2(x + 3) - {x^2} - 3x = 0\)
\(2(x + 3) - x\left( {x + 3} \right) = 0\)
\(\left( {x + 3} \right)\left( {2 - x} \right) = 0\)
Ta có :
\(\left( {x + 3} \right)\left( {2 - x} \right) = 0\) nên \(x+3=0\) hoặc \(2-x=0\).
\(x+3=0\) hay \(x=-3\)
\(2-x=0\) hay \(x=2\)
Vậy phương trình có nghiệm \(x=2\) và \(x=-3\).
d) Ta có:
\(2x(3x - 5) = 10 - 6x\)
\(2x(3x - 5) + 9x - 15 = 0\)
\(2x(3x - 5) + 3(3x - 5) = 0\)
\(\left( {3x - 5} \right)\left( {2x + 3} \right) = 0\)
Ta có:
\(\left( {3x - 5} \right)\left( {2x + 3} \right) = 0\) nên \(3x-5=0\) hoặc \(2x+3=0\).
\(3x-5=0\) hay \(x = \frac{5}{3}\).
\(2x+3=0\) hay \(x = - \frac{3}{2}\)
Vậy phương trình có nghiệm \(x = \frac{5}{3}\) và \(x = - \frac{3}{2}\).
Ví dụ 3 [VD]: Giải phương trình:
a) \({x^2} - 10x = - 25;\) b) \({\left( {1 - 2x} \right)^2} = {\left( {3x - 2} \right)^2};\)
c) \({\left( {x - 2} \right)^3} + {\left( {5 - 2x} \right)^3} = 0.\) d) \({x^4} - 8{x^3} - 9{x^2} = 0\)
Hướng dẫn giải
a) Ta có:
\({x^2} - 10x = - 25;\)
\({x^2} - 10x + 25 = 0\)
\({\left( {x - 5} \right)^2} = 0\) suy ra \(x-5=0\) hay \(x=5\).
Vậy phương trình có nghiệm \(x=5\).
b) Ta có:
\({\left( {1 - 2x} \right)^2} = {\left( {3x - 2} \right)^2}\)
\(\left[ {\left( {1 - 2x} \right) - \left( {3x - 2} \right)} \right]\left[ {\left( {1 - 2x} \right) + \left( {3x - 2} \right)} \right] = 0\)
\(\left( {3 - 5x} \right)\left( {x - 1} \right) = 0\)
Suy ra \(\left[ \begin{array}{l}
3 - 5x = 0\\
x - 1 = 0
\end{array} \right.\) hay \(\left[ \begin{array}{l}
x = \frac{3}{5}\\
x = 1
\end{array} \right.\)
Vậy phương trình có nghiệm \(x = 1;x = \frac{3}{5}\).
c) Ta có:
\({\left( {x - 2} \right)^3} + {\left( {5 - 2x} \right)^3} = 0\)
Suy ra \({\left( {x - 2} \right)^3} = {\left( {2x - 5} \right)^3}\) hay \(x - 2 = 2x - 5\) suy ra \(x = 3\)
Vậy phương trình có nghiệm \(x = 3\).
d) Ta có:
\({x^4} - 8{x^3} - 9{x^2} = 0\)
\({x^2}({x^2} - 8x - 9) = 0\)
\({x^2}({x^2} + x - 9x - 9) = 0\)
\({x^2}\left[ {x(x + 1) - 9(x + 1)} \right] = 0\)
\({x^2}(x + 1)(x - 9) = 0\)
Ta có:
\({x^2}(x + 1)(x - 9) = 0\) nên \(x^2=0\) hoặc \(x+1=0\) hoặc \(x-9=0\)
\(x^2=0\) suy ra \(x=0\)
\(x+1=0\) hay \(x=-1\)
\(x-9=0\) hay \(x=9\).
Vậy phương trình có nghiệm \(x=0\); \(x=-1\); \(x=9\).
C. Bài tập tự rèn luyện có đáp án chi tiết
Bài 1. [NB] Giải các phương trình sau:
a) \(\left( {5x - 4} \right)\left( {4x + 6} \right) = 0\) b) \(\left( {3,5x - 7} \right)\left( {2,1x - 6,3} \right) = 0\)
c) \(\left( {4x - 10} \right)\left( {24 + 5x} \right) = 0\) d) \(\left( {x - 3} \right)\left( {2x + 1} \right) = 0\)
Bài 2. [TH] Giải các phương trình sau:
a) \(2x\left( {x - 5} \right) + 7x - 35 = 0\) b) \(x\left( {x + 3} \right) - 7x - 21 = 0\)
c) \(({x^2} + 1)(6x + 3) = 0\) d) \(\left( {x + 3} \right)\left( {2x + 4} \right)\left( {x - 5} \right){\rm{ = 0}}\)
Bài 3. [VD] Giải các phương trình:
a) \(\left( {4x - 10} \right)\left( {\frac{{4x - 3}}{5} - \frac{{2(x + 3)}}{7}} \right) = 0\)
b) \({\left( {x - \frac{3}{4}} \right)^2} + \left( {x - \frac{3}{4}} \right)\left( {x - \frac{1}{2}} \right) = 0\)
c) \({\left( {x - 2} \right)^2} - {\left( {2x + 3} \right)^2} = 0\)
d) \({\left( {x + 1} \right)^2} + 2\left( {x + 1} \right) + 1 = 0\)
Bài 4. [VD] Giải các phương trình:
a) \(\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)\left( {x - 5} \right)\left( {x - 6} \right) = 18\)
b) \({\left( {{x^2} - 5x} \right)^2} + 10\left( {{x^2} - 5x} \right) + 24 = 0\)
c) \({\left( {{x^2} + 5x} \right)^2} - 2\left( {{x^2} + 5x} \right) = 24\)
📥 Để xem trọn vẹn nội dung và ví dụ minh họa, bạn vui lòng tải tài liệu tham khảo tại đây.
--------------------------------------------
Nắm vững cách giải phương trình tích Toán 9 giúp học sinh xử lý nhanh nhiều dạng bài phương trình và hạn chế sai sót khi tìm nghiệm. Khi làm bài, cần chú ý đưa phương trình về dạng tích, sử dụng tính chất tích bằng 0 và kiểm tra đầy đủ các nghiệm thu được. Từ những bài cơ bản, học sinh có thể tiếp tục luyện các dạng biến đổi phức tạp hơn để nâng cao kỹ năng. Thường xuyên kết hợp lý thuyết với bài tập sẽ giúp kiến thức được ghi nhớ lâu và vận dụng linh hoạt trong các bài kiểm tra.
