Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Cách giải liên phân số Toán 9

Chuyên đề từ cơ bản đến nâng cao – Ôn thi vào lớp 10

Bài trước

Tải về

Bài sau

Dạng tài liệu: Chuyên đề Toán Lớp 9

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Cách tính liên phân số lớp 9

CÁCH GIẢI LIÊN PHÂN SỐ – TOÁN 9 là chuyên đề giúp học sinh rèn luyện kỹ năng biến đổi biểu thức phân số có cấu trúc lồng nhau, đồng thời phát triển khả năng quan sát và lựa chọn phương pháp tính toán phù hợp. Dạng toán này có thể xuất hiện từ những bài tập nhận biết, rút gọn đơn giản đến các bài toán vận dụng nhiều bước trong chương trình Toán 9 và ôn thi vào lớp 10.

1. Liên phân số là gì?

Liên phân số là biểu thức trong đó một phân số xuất hiện ở tử hoặc mẫu của một phân số khác, chẳng hạn:

$A = \frac{a}{{b + \frac{c}{d}}}$ $A = \frac{a}{{b + \frac{c}{d}}}$ Hoặc $A = \frac{1}{{a + \frac{1}{{b + \frac{1}{c}}}}}$ $A = \frac{1}{{a + \frac{1}{{b + \frac{1}{c}}}}}$

Nguyên tắc quan trọng nhất khi giải liên phân số là: tính từ trong ra ngoài. Hãy rút gọn từng phần nhỏ trước rồi mới thực hiện các phép tính tiếp theo.

2. Các dạng liên phân số thường gặp

Dạng 1: Liên phân số đơn giản

Ví dụ 1. Tính $A = \frac{3}{{2 + \frac{1}{4}}}$ $A = \frac{3}{{2 + \frac{1}{4}}}$

Hướng dẫn giải

Ta có: $2 + \frac{1}{4} = \frac{9}{4}$ $2 + \frac{1}{4} = \frac{9}{4}$ suy ra $A = \frac{3}{{\frac{9}{4}}} = 3.\frac{4}{9} = \frac{4}{3}$ $A = \frac{3}{{\frac{9}{4}}} = 3.\frac{4}{9} = \frac{4}{3}$

Vậy $A = \frac{4}{3}$ $A = \frac{4}{3}$

Dạng 2: Liên phân số nhiều tầng

Ví dụ 2. Tính $A = \frac{1}{{2 + \frac{1}{{3 + \frac{1}{4}}}}}$ $A = \frac{1}{{2 + \frac{1}{{3 + \frac{1}{4}}}}}$

Hướng dẫn giải

Tính từ trong ra ngoài $3 + \frac{1}{4} = \frac{{13}}{4}$ $3 + \frac{1}{4} = \frac{{13}}{4}$

Do đó $\frac{1}{{3 + \frac{1}{4}}} = \frac{4}{{13}}$ $\frac{1}{{3 + \frac{1}{4}}} = \frac{4}{{13}}$

Suy ra $2 + \frac{4}{{13}} = \frac{{30}}{{13}}$ $2 + \frac{4}{{13}} = \frac{{30}}{{13}}$

Suy ra $A = \frac{1}{{\frac{{30}}{{13}}}} = \frac{{13}}{{30}}$ $A = \frac{1}{{\frac{{30}}{{13}}}} = \frac{{13}}{{30}}$

Vậy $A = \frac{{13}}{{30}}$ $A = \frac{{13}}{{30}}$

Dạng 3: Liên phân số có biến

Ví dụ 3. Rút gọn $A = \frac{1}{{x + \frac{1}{x}}}$ $A = \frac{1}{{x + \frac{1}{x}}}$ với $x \ne 0$ $x \ne 0$.

Hướng dẫn giải

Ta có: $x + \frac{1}{x} = \frac{{{x^2} + 1}}{x}$ $x + \frac{1}{x} = \frac{{{x^2} + 1}}{x}$

Do đó $A = \frac{1}{{\frac{{{x^2} + 1}}{x}}} = \frac{x}{{{x^2} + 1}}$ $A = \frac{1}{{\frac{{{x^2} + 1}}{x}}} = \frac{x}{{{x^2} + 1}}$

Dạng 4: Liên phân số chứa nhiều biến

Ví dụ 4. Rút gọn $A = \frac{1}{{x + \frac{1}{{x + 1}}}}$ $A = \frac{1}{{x + \frac{1}{{x + 1}}}}$

Hướng dẫn giải

Ta có: $x + \frac{1}{{x + 1}} = \frac{{x\left( {x + 1} \right) + 1}}{{x + 1}} = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}}$ $x + \frac{1}{{x + 1}} = \frac{{x\left( {x + 1} \right) + 1}}{{x + 1}} = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}}$

Suy ra $A = \frac{{x + 1}}{{{x^2} + x + 1}}$ $A = \frac{{x + 1}}{{{x^2} + x + 1}}$

Vậy $A = \frac{{x + 1}}{{{x^2} + x + 1}}$ $A = \frac{{x + 1}}{{{x^2} + x + 1}}$ (với điều kiện: x ≠ −1)

Dạng 5: Liên phân số kết hợp với phân thức

Ví dụ 5. Rút gọn $A = \frac{{\frac{1}{x}}}{{1 + \frac{1}{x}}}$ $A = \frac{{\frac{1}{x}}}{{1 + \frac{1}{x}}}$

Hướng dẫn giải

Điều kiện $x \ne 0$ $x \ne 0$

Quy đồng mẫu $1 + \frac{1}{x} = \frac{{x + 1}}{x}$ $1 + \frac{1}{x} = \frac{{x + 1}}{x}$

Khi đó: $A = \frac{{\frac{1}{x}}}{{1 + \frac{1}{x}}} = \frac{1}{x}.\frac{x}{{x + 1}} = \frac{1}{{x + 1}}$ $A = \frac{{\frac{1}{x}}}{{1 + \frac{1}{x}}} = \frac{1}{x}.\frac{x}{{x + 1}} = \frac{1}{{x + 1}}$

Điều kiện đầy đủ: x ≠ 0, x ≠ −1.

Dạng 6: Tìm x từ phương trình liên phân số

Ví dụ 6. Giải phương trình $\frac{1}{{1 + \frac{1}{x}}} = \frac{1}{2}$ $\frac{1}{{1 + \frac{1}{x}}} = \frac{1}{2}$

Hướng dẫn giải

Điều kiện: x ≠ 0.

Ta có:

$\begin{array}{l} \frac{1}{{1 + \frac{1}{x}}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{x}{{{x^2} + 1}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow 2x = {x^2} + 1\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow x = 1 \end{array}$ $\begin{array}{l} \frac{1}{{1 + \frac{1}{x}}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{x}{{{x^2} + 1}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow 2x = {x^2} + 1\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow x = 1 \end{array}$

Vậy x = 1.

Dạng 7: Liên phân số có căn thức

Ví dụ 7. Rút gọn $A = \frac{1}{{\sqrt x + \frac{1}{{\sqrt x }}}}$ $A = \frac{1}{{\sqrt x + \frac{1}{{\sqrt x }}}}$, với x > 0.

Hướng dẫn giải

Điều kiện x > 0

Ta có: $\sqrt x + \frac{1}{{\sqrt x }} = \frac{{x + 1}}{{\sqrt x }}$ $\sqrt x + \frac{1}{{\sqrt x }} = \frac{{x + 1}}{{\sqrt x }}$

Do đó: $A = \frac{1}{{\frac{{x + 1}}{{\sqrt x }}}} = \frac{{\sqrt x }}{{x + 1}}$ $A = \frac{1}{{\frac{{x + 1}}{{\sqrt x }}}} = \frac{{\sqrt x }}{{x + 1}}$

Vậy $A = \frac{{\sqrt x }}{{x + 1}}$ $A = \frac{{\sqrt x }}{{x + 1}}$

Dạng 8: Liên phân số có biểu thức phức tạp

Ví dụ 8. Viết kết quả các biểu thức sau dưới dạng phân số $A = \frac{{20}}{{2 + \frac{1}{{3 + \frac{1}{{4 + \frac{1}{5}}}}}}}$ $A = \frac{{20}}{{2 + \frac{1}{{3 + \frac{1}{{4 + \frac{1}{5}}}}}}}$

Hướng dẫn giải

Ta có:

$\begin{array}{l} A = \frac{{20}}{{2 + \frac{1}{{3 + \frac{1}{{4 + \frac{1}{5}}}}}}} = \frac{{20}}{{2 + \frac{1}{{3 + \frac{1}{{\frac{{21}}{5}}}}}}} = \frac{{20}}{{2 + \frac{1}{{3 + \frac{5}{{21}}}}}}\\ = \frac{{20}}{{2 + \frac{1}{{\frac{{68}}{{21}}}}}} = \frac{{20}}{{2 + \frac{{21}}{{68}}}} = \frac{{20}}{{\frac{{157}}{{68}}}} = \frac{{1360}}{{157}} \end{array}$ $\begin{array}{l} A = \frac{{20}}{{2 + \frac{1}{{3 + \frac{1}{{4 + \frac{1}{5}}}}}}} = \frac{{20}}{{2 + \frac{1}{{3 + \frac{1}{{\frac{{21}}{5}}}}}}} = \frac{{20}}{{2 + \frac{1}{{3 + \frac{5}{{21}}}}}}\\ = \frac{{20}}{{2 + \frac{1}{{\frac{{68}}{{21}}}}}} = \frac{{20}}{{2 + \frac{{21}}{{68}}}} = \frac{{20}}{{\frac{{157}}{{68}}}} = \frac{{1360}}{{157}} \end{array}$

Vậy $A = \frac{{1360}}{{157}}$ $A = \frac{{1360}}{{157}}$

Dạng 9: Liên phân số đặc biệt

Một dạng rất đáng chú ý

Với x > 0, xét $A = x + \frac{1}{x}$ $A = x + \frac{1}{x}$

Theo bất đẳng thức AM-GM: $x + \frac{1}{x} \ge 2$ $x + \frac{1}{x} \ge 2$

Dấu bằng xảy ra khi $x = \frac{1}{x} \Leftrightarrow {x^2} = 1 \Leftrightarrow x = 1$ $x = \frac{1}{x} \Leftrightarrow {x^2} = 1 \Leftrightarrow x = 1$

Vì vậy A ≥ 2, giá trị nhỏ nhất là 2.

Dạng 10: Bài tập nâng cao

Ví dụ 10. Tính nhanh $10101.\left( {\frac{5}{{111111}} + \frac{5}{{222222}} - \frac{4}{{3.7.11.13.27}}} \right)$ $10101.\left( {\frac{5}{{111111}} + \frac{5}{{222222}} - \frac{4}{{3.7.11.13.27}}} \right)$

Hướng dẫn giải

Ta có:

$10101.\left( {\frac{5}{{111111}} + \frac{5}{{222222}} - \frac{4}{{3.7.11.13.27}}} \right)$ $10101.\left( {\frac{5}{{111111}} + \frac{5}{{222222}} - \frac{4}{{3.7.11.13.27}}} \right)$

$= 10101.\left( {\frac{5}{{11.10101}} + \frac{5}{{22.10101}} - \frac{4}{{11.10101}}} \right)$ $= 10101.\left( {\frac{5}{{11.10101}} + \frac{5}{{22.10101}} - \frac{4}{{11.10101}}} \right)$

$= \frac{5}{{11}} + \frac{5}{{22}} - \frac{4}{{11}} = \frac{7}{{22}}$ $= \frac{5}{{11}} + \frac{5}{{22}} - \frac{4}{{11}} = \frac{7}{{22}}$

3. Bài tập tự rèn luyện chủ đề Liên phân số

Bài tập 1. Viết kết quả các biểu thức sau dưới dạng phân số $A = \frac{2}{{5 + \frac{1}{{6 + \frac{1}{{7 + \frac{1}{8}}}}}}}$ $A = \frac{2}{{5 + \frac{1}{{6 + \frac{1}{{7 + \frac{1}{8}}}}}}}$

Bài tập 2. Tính nhanh $\frac{{\frac{1}{3} + \frac{1}{7} - \frac{1}{{13}}}}{{\frac{2}{3} + \frac{2}{7} - \frac{2}{{13}}}}.\frac{{\frac{3}{4} - \frac{3}{{16}} + \frac{3}{{64}} - \frac{3}{{256}}}}{{1 - \frac{1}{4} + \frac{1}{{16}} - \frac{1}{{64}}}} + \frac{5}{8}$ $\frac{{\frac{1}{3} + \frac{1}{7} - \frac{1}{{13}}}}{{\frac{2}{3} + \frac{2}{7} - \frac{2}{{13}}}}.\frac{{\frac{3}{4} - \frac{3}{{16}} + \frac{3}{{64}} - \frac{3}{{256}}}}{{1 - \frac{1}{4} + \frac{1}{{16}} - \frac{1}{{64}}}} + \frac{5}{8}$

Bài tập 3. Tìm $a;b;c;d \in {\mathbb{N}^*}$ $a;b;c;d \in {\mathbb{N}^*}$ biết $\frac{{30}}{{43}} = \frac{1}{{a + \frac{1}{{b + \frac{1}{{c + \frac{1}{d}}}}}}}$ $\frac{{30}}{{43}} = \frac{1}{{a + \frac{1}{{b + \frac{1}{{c + \frac{1}{d}}}}}}}$

Bài tập 4. Tìm $a;b \in {\mathbb{N}^*}$ $a;b \in {\mathbb{N}^*}$ biết $\frac{{329}}{{1051}} = \frac{1}{{3 + \frac{1}{{5 + \frac{1}{{a + \frac{1}{b}}}}}}}$ $\frac{{329}}{{1051}} = \frac{1}{{3 + \frac{1}{{5 + \frac{1}{{a + \frac{1}{b}}}}}}}$

Bài tập 5. Tìm x biết $7 + \frac{2}{{7 + \frac{2}{{7 + \frac{2}{{7 + \frac{2}{{7 + \frac{2}{{\frac{1}{{x - 3}}}}}}}}}}}} = \frac{{85}}{{11}}$ $7 + \frac{2}{{7 + \frac{2}{{7 + \frac{2}{{7 + \frac{2}{{7 + \frac{2}{{\frac{1}{{x - 3}}}}}}}}}}}} = \frac{{85}}{{11}}$

Bài tập 6. Rút gọn:

a) $\frac{{100 - \left( {1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{{100}}} \right)}}{{\frac{1}{2} + \frac{2}{3} + \frac{3}{4} + ... + \frac{{99}}{{100}}}}$ $\frac{{100 - \left( {1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{{100}}} \right)}}{{\frac{1}{2} + \frac{2}{3} + \frac{3}{4} + ... + \frac{{99}}{{100}}}}$

b) $\frac{{1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{{200}}}}{{\frac{1}{{199}} + \frac{2}{{198}} + \frac{3}{{197}} + ... + \frac{{198}}{2} + \frac{{199}}{1}}}$ $\frac{{1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{{200}}}}{{\frac{1}{{199}} + \frac{2}{{198}} + \frac{3}{{197}} + ... + \frac{{198}}{2} + \frac{{199}}{1}}}$

Bài tập 7. Tìm nghiệm của phương trình:

$\frac{1}{{x + \frac{2}{{3 + \frac{4}{{5 + \frac{6}{{7 + \frac{8}{{9 + \frac{{10}}{{11}}}}}}}}}}}} = \frac{1}{{1 - \frac{x}{{2 + \frac{1}{{3 + \frac{1}{{4 + \frac{1}{{5 + \frac{1}{6}}}}}}}}}}}$ $\frac{1}{{x + \frac{2}{{3 + \frac{4}{{5 + \frac{6}{{7 + \frac{8}{{9 + \frac{{10}}{{11}}}}}}}}}}}} = \frac{1}{{1 - \frac{x}{{2 + \frac{1}{{3 + \frac{1}{{4 + \frac{1}{{5 + \frac{1}{6}}}}}}}}}}}$

Hướng dẫn giải chi tiết bài tập tự rèn luyện

Bài tập 1.

Ta có:

$\begin{array}{l} A = \frac{2}{{5 + \frac{1}{{6 + \frac{1}{{7 + \frac{1}{8}}}}}}} = \frac{2}{{5 + \frac{1}{{6 + \frac{1}{{\frac{{57}}{8}}}}}}} = \frac{2}{{5 + \frac{1}{{6 + \frac{8}{{57}}}}}}\\ = \frac{2}{{5 + \frac{1}{{\frac{{350}}{{57}}}}}} = \frac{2}{{5 + \frac{{57}}{{350}}}} = \frac{2}{{\frac{{1807}}{{350}}}} = \frac{{700}}{{1807}} \end{array}$ $\begin{array}{l} A = \frac{2}{{5 + \frac{1}{{6 + \frac{1}{{7 + \frac{1}{8}}}}}}} = \frac{2}{{5 + \frac{1}{{6 + \frac{1}{{\frac{{57}}{8}}}}}}} = \frac{2}{{5 + \frac{1}{{6 + \frac{8}{{57}}}}}}\\ = \frac{2}{{5 + \frac{1}{{\frac{{350}}{{57}}}}}} = \frac{2}{{5 + \frac{{57}}{{350}}}} = \frac{2}{{\frac{{1807}}{{350}}}} = \frac{{700}}{{1807}} \end{array}$

📚 Phần tiếp theo của tài liệu đã được tổng hợp trong file đính kèm, mời bạn tải về để đọc tiếp.

-----------------------------------------------

Nắm được cách giải liên phân số Toán 9 không chỉ giúp học sinh xử lý tốt các biểu thức phân số lồng nhau mà còn rèn khả năng phân tích cấu trúc và biến đổi biểu thức một cách có hệ thống. Với mỗi bài toán, việc xác định điều kiện xác định, thực hiện đúng thứ tự phép tính và lựa chọn cách biến đổi phù hợp là những bước quan trọng để hạn chế sai sót.

Tải về

Chọn file muốn tải về: