Phương trình bậc nhất một ẩn Dạng toán thực tế - Có đáp án
Bài tập thực tế phương trình bậc nhất một ẩn Toán
Phương trình bậc nhất một ẩn Dạng toán thực tế - Có đáp án giúp học sinh lớp 9 làm quen với các tình huống ứng dụng phương trình vào đời sống. Hệ thống bài tập hỗ trợ rèn kỹ năng lập phương trình, phân tích dữ kiện và trình bày lời giải, phù hợp cho quá trình ôn thi vào 10 môn Toán.
A. Kiến thức cần nhớ Phương trình bậc nhất một ẩn
1. Phương trình một ẩn là gì?
Cho A(x) và B(x) là hai biểu thức chứa một biến x
Khi nói A(x)= B(x) là một phương trình ta hiểu rằng phải tìm giá trị của x để các giá trị tương ứng của hai biểu thức này bằng nhau.
- Biến x được gọi là ẩn.
- Giá trị tìm được của ẩn gọi là nghiệm.
- Việc tìm được nghiệm gọi là giải phương trình.
- Mỗi biểu thức gọi là một vế của phương trình.
- Một phương trình có thể có 1;2;3;…nghiệm; hoặc vô số nghiệm hoặc vô nghiệm.
2. Hai phương trình tương đương
Hai phương trình gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập hợp nghiệm.
Khi giải phương trình ta phải biến đổi phương trình đã cho thành những phương trình tương đương với nó. Phép biến đổi như thế gọi là phép biến đổi tương đương.
3. Công thức phương trình bậc nhất một ẩn
Dạng tổng quát của phương trình bậc nhất một ẩn: ax + b = 0
trong đó a và b là các hằng số, a≠ 0
Phương trình bậc nhất có nghiệm duy nhất 
\(x = - \frac{b}{a}\).
4. Các dạng phương trình thường gặp
Phương trình tích có dạng: A(x).B(x) = 0.
Để giải phương trình tích cần nhớ:
A(x).B(x) = 0 ⇔ A(x) = 0 hoặc B(x) = 0.
Phương trình có ẩn số ở mẫu thức:
Các bước giải:
- Tìm tập xác định.
- Quy đồng mẫu thức rồi khử mẫu.
- Giải phương trình vừa tìm được.
B. Bài tập ví dụ minh họa giải toán thực tế ứng dụng phương trình bậc nhất một ẩn
Ví dụ 1. Hai ô tô khởi hành từ hai điểm A; B đi ngược chiều để gặp nhau. Xe thứ nhất chạy 0,08 quảng đường AB hết 3 giờ. Xe thứ hai chạy 7/120 quảng đường AB hết 2 giờ 30 phút. Khi hai xe gặp nhau thì xe thứ nhất đã chạy được 800km. Tìm vận tốc xe thứ hai biết rằng hai xe khởi hành cùng một lúc.
Hướng dẫn giải
Gọi chiều dài quảng đường AB là x (km).
Vận tốc xe 1 chạy từ A là: \(\frac{{0,08x}}{3}\) (km/h).
Vận tốc xe thứ 2 chạy từ B là: \(\frac{{7x}}{{120}}:\frac{5}{2} = \frac{{7x}}{{300}}\) (km/h).
Thời gian 2 xe chạy để gặp nhau:
\(800:\frac{{0,08x}}{3} = \frac{{30000}}{x}\) (h).
Vì hai xe khởi hành cùng một lúc nên ta có phương trình:
\(\left( {\frac{{0,08x}}{3} + \frac{{7x}}{{300}}} \right).\frac{{30000}}{x} = x\)
Giải ra ta được x = 1500 (km).
Vận tốc xe thứ hai là \(\frac{{7.1500}}{{300}} = 35\) (km/h).
Ví dụ 2. Hai thanh hợp kim đồng-kẽm có tỉ lệ khác nhau. Thanh thứ nhất khối lượng 10 kg có tỉ lệ đồng-kẽm 4:1. Thanh thứ hai có khối lượng 16 kg có tỉ lệ đồng-kẽm là 1:3. Người ta bỏ hai thanh đó vào lò luyện kim và cho thêm một lượng đồng nguyên chất để được một loại hợp kim đồng-kẽm có tỉ lệ đồng-kẽm là 3:2. Tính khối lượng hợp kim mới nhận được.
Hướng dẫn giải
Gọi m (kg), n (kg) lần lượt là khối lượng đồng, kẽm có trong thanh thứ nhất.
Ta có \(\frac{m}{4} = \frac{n}{1} = \frac{{m + n}}{5} = \frac{{10}}{5} = 2\)
Vậy m = 8; n = 2.
Gọi m’ (kg), n’ (kg) lần lượt là khối lượng đồng, kẽm có trong thanh thứ hai.
Ta có: \(\frac{{m'}}{1} = \frac{{n'}}{3} = \frac{{m' + n'}}{4} = \frac{{16}}{4} = 4\)
Vậy m' = 4; n' = 12.
Gọi x (kg) là lượng đồng nguyên chất cho thêm. Khối lượng đồng trong lò luyện kim là m + m’ +x (kg), khối lượng kèm là n + n’. Tỉ lệ đồng-kẽm trong hợp kim mới là: \(\frac{{m + m' + x}}{{n + n'}} = \frac{{12 + x}}{{14}}\).
Theo giả thiết tỉ lệ này là 3:2. Ta có phương trình: \(\frac{{12 + x}}{{14}} = \frac{3}{2}\).
Giải ra được x = 9 (kg).
Khối lượng của hợp kim mới là (kg).
Ví dụ 3. Một công nhân có mức lương 1 000 000 đồng/tháng. Sau 2 lần nâng lương liên tiếp theo cùng tỉ lệ phần trăm, công nhân đó được lãnh lương mới là 1 254 000 đồng/tháng. Tính tỉ lệ phần trăm nâng lương?
Hướng dẫn giải
Gọi là tỉ lệ phần trăm lương được nâng mỗi kỳ.
Sau lần nâng lương thứ nhất, công nhân đó được lãnh:
\(1000000 + 1000000.\frac{x}{{100}} = 10000.\left( {100 + x} \right)\) (đồng/tháng).
Sau lần nâng lương thứ hai, công nhân đó được lãnh:
\(10000.\left( {100 + x} \right) + 10000\left( {100 + x} \right).\frac{x}{{100}}\) =100.(100 + x)2 (đồng/tháng).
Ta có phương trình: 100.(100 + x)2 = 1 254 000
\({\left( {100 + x} \right)^2} = 12544 \Leftrightarrow 100 + x = \sqrt {12544} = 112 \Leftrightarrow x = 12\)
Vậy x = 12.
C. Bài tập tự rèn luyện giải toán thực tế có hướng dẫn giải chi tiết
Bài tập 1. Khoảng cách giữa hai thành phố A;B là 30 km. Một xe buýt rời A chạy trên xa lộ để đến B với vận tốc không đổi. Mười phút sau, một chiếc trực thăng rời A, bay dọc theo xa lộ hướng về B. Sau khi khởi hành được 5 phút, trực thăng bắt gặp xe buýt ở phía dưới, sau đó trực thăng tiếp tục bay về phía B. Khi đến B, trực thăng lập tức bay trở về A ngược lại đường cũ với cùng vận tốc và bắt gặp xe buýt 20 phút sau khi trực thăng rời A. Xác định vận tốc xe buýt và vận tốc của trực thăng.
Bài tập 2. Trong vụ lúa hè thu năm nay hợp tác xa nông nghiệp 1 thu hoạch 21 tấn thóc mỗi hecta. Hợp tác xa nông nghiệp 2 có diện tích ít hơn 12 hecta nhưng thu hoạch được 25 tấn thóc mỗi hecta. Số thóc hợp tác xã 2thu hoạch được nhiều hơn hợp tác xã 1 là 300 tấn thóc. Hỏi số thóc thu hoạch của mỗi hợp tác xã nông nghiệp.
Bài tập 3. Có hai loại hợp kim đồng – kẽm. Loại thứ nhất có tỉ lệ khối lượng đồng – kẽm là 5:2, loại thứ hai có tỉ lệ khối lượng đồng – kẽm là 3:4. Hỏi phải sử dụng bao nhiêu kg loại thứ nhất và bao nhiêu kg loại thứ hai để tạo được 28 kg hợp kim mới có tỉ lệ đồng – kẽm là 1:1.
Bài tập 4. Người ta đổ 4 lít dung dịch axít sunfuríc 70% vào bình 1 có dung tích 6 lít và đổ lít dung dịch axít sunfuríc 90% vào bình 2 cũng có dung tích 6 lít.
a. Hỏi phải đổ bao nhiêu lít dung dịch axít sunfuríc từ bình 2sang bình 1 để được một dung dịch axít sunfuríc p% ở bình 1.
b. Tìm điều kiện của p để bài toán có nghiệm.
Bài tập 5. Một đoàn tàu khác rời tỉnh A đi về phía tỉnh B. Cùng lúc đó một đoàn tàu hàng rời B đi về phía AB. Cả hai đoàn tàu đi với vận tốc không đổi. Sau khi chúng gặp nhau được 2 giờ thì chúng cách nhau 280 km. Kể từ khi gặp nhau, tàu khách chạy thêm 9 giờ nữa thì đến B, còn tàu hàng chạy thêm 16 giờ nữa thì đến AB, Hỏi vận tốc của mỗi tàu, quảng đường AB và thời gian chạy cả quảng đường AB của mỗi tàu?
✨ Bài viết chỉ trích dẫn một phần nội dung, mời bạn tải tài liệu đầy đủ để nắm trọn kiến thức.
--------------------------
Phương trình bậc nhất một ẩn Dạng toán thực tế - Có đáp án là tài liệu hữu ích để học sinh luyện cách chuyển dữ kiện thực tế thành phương trình và tìm lời giải phù hợp. Thường xuyên làm bài và đối chiếu đáp án sẽ giúp củng cố kiến thức, nâng cao kỹ năng giải toán và chuẩn bị tốt hơn cho kỳ thi vào 10.
