Bài toán Gauss và các bài toán thực tế liên quan
Cách giải bài toán Gauss và bài toán ứng dụng thực tế
Bài toán Gauss và các bài toán thực tế liên quan giúp học sinh lớp 9 tiếp cận một dạng toán có tính ứng dụng và tư duy cao. Thông qua việc phân tích quy luật, nhận diện dữ kiện và vận dụng công thức phù hợp, học sinh có thể rèn kỹ năng giải toán thực tế, đồng thời chuẩn bị tốt hơn cho các dạng bài vận dụng trong kỳ thi vào 10.
A. Giới thiệu nhà toán học Gauss và bài toán Gauss
Truyện kể rằng khi còn nhỏ, nhà toán học Đức Cari Friedrich Gauss (1777 – 1855) đã thể hiện tài năng toán học phi thường. Năm tuổi (còn là học sinh tiểu học) trong một buổi học toán, thầy giáo hỏi học sinh: Tổng của 
\(1 + 2 + … + 99 + 100\) là bao nhiêu? Xem ai tính nhanh và chính xác. Thầy giáo vừa nói xong thì Gauss đã giơ tay trả lời tổng 100 số đó là 5050.
Khi nghe Gauss cho đáp số nhanh đến như vậy, các bạn học sinh đều nhìn Gauss vừa ngạc nhiên, vừa nghi ngờ, chỉ có thầy giáo biết đáp số đó đúng. Gauss làm thế nào tính nhanh như vậy?
Gauss nói với mọi người rằng cậu ấy phát hiện trong dãy số từ 1 đến 100 có một điểm là cứ cộng hai số đầu và số cuối theo thứ dần vào giữa đều được 101 và tất cả có 50 đôi. Như vậy trong 100 số từ 1 đến 100 có 50 đôi 101. Vì vậy tổng của số đó là \(101 . 50 = 5050\).
Chúng ta xem bảng dưới đây:
Có phải đúng là điều mà Gauss đã phát hiện?
Trên đây là giai thoại về cách giải độc đáo mà nhà toán học Gauss đã tìm ra lời giải bài toán mà thầy giáo ra cho. Để ghi nhận tính sáng tạo của nhà toán học Gauss nên nhiều người đã gọi bài toán tính tổng \(1 + 2 + … + 99 + 100\) là bài toán Gauss, mặc dù Gauss không phải là người tìm ra bài toán này đầu tiên.
B. Bài tập ví dụ minh họa
Phương pháp giải:
- Biểu diễn bài toán toán học bằng bài toán thực tế tương đương.
- Giải bài toán thực tế.
- Rút ra kết luận bài toán.
Ví dụ 1. Tính tổng \(1 + 2 + 3+ … + (n - 1) + n\).
Ta giải bài toán thực tế hoá bài toán toán học như sau:
“Ban tổ chức cần chọn ra 2 trong số \(n + 1\) người để tham gia chương trình “Trò chơi X” trên kênh truyền hình Y. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?”
Ta lập luận theo hai cách:
Thứ nhất
Người thứ nhất có \(n + 1\) cách chọn. Sau đó còn n người nên người thứ hai có n cách chọn. Vậy có n(n + 1) cách chọn.
Nhưng cách chọn hai người AB cũng là cách chọn hai người BA, do đó số cách chọn là \(\frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}\) cách chọn.
Thứ hai
Nếu có 2 người thôi thì có 1 cách chọn. Nếu có thêm người thứ ba thì có thêm các cách chọn có người thứ ba này. Ta phải chọn một trong hai người lúc đầu thi đấu với người thứ ba này và có thêm 2 cách chọn. Nếu có thêm người thứ tư thì có thêm các cách chọn cho người thứ tư này. Ta phải chọn một trong ba người trước đó thi đấu với người thứ tư này, và có thêm 3 cách chọn, … Nếu có thêm người thứ \(n + 1\) thì có thêm các cách chọn có người thứ \(n + 1\) này. Ta phải chọn một trong n người đã có để thi đấu với người thứ \(n + 1\), và có thêm n cách chọn. Vậy số cách chọn là:
\(1 + 2 + 3+ … + (n - 1) + n\) cách chọn.
Vì hai kết quả của cách lập luận thứ nhất và thứ hai là một, nên:
\(1 + 2 + 3+ … + (n - 1) + n = \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}\)
Ví dụ 2. Tính tổng\(\frac{{1.2}}{2} + \frac{{2.3}}{2} + \frac{{3.4}}{2} + ... + \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}.\)
Ta thực tế hoá ví dụ 2 thành bài toán sau
“Có n + 2 người đăng kí tham gia chơi “Trò chơi E” trên kênh truyền hình F. Ban tổ chức muốn chọn 3 người vào vòng chơi. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?”
Ta lập luận theo hai cách:
Thứ nhất
Người thứ nhất có \((n + 2)\) cách chọn. Sau đó còn \((n + 1)\) người nên người thứ hai có \((n + 1)\) cách chọn. Cuối cùng còn lạin người nên có n cách chọn người thứ ba. Vậy có \(n(n + 1)(n + 2)\)cách chọn.
Nhưng cách chọn ba người ABC cũng là cách chọn ba người \(ACB, BCA, BAC, CAB, CBA\). Do đó số cách chọn chỉ là \(\frac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}{6}\)cách chọn.
Thứ hai
Nếu có 3 người thôi thì có 1 cách chọn. Nếu có thêm người thứ tư là có thêm các cách chọn có người thứ tư này. Ta phải chọn hai trong ba người lúc đầu thi đấu với người thứ tư này. Theo cách lập luận 1 của ví dụ 1, có \(\frac{{2.3}}{2}\) cách chọn. Nếu thêm người thứ năm thì có thêm các cách chọn cho người thứ năm này. Ta phải chọn hai trong bốn người trước đó thi đấu với người thứ năm này, và có thêm \(\frac{{3.4}}{2}\) cách chọn. Nếu có thêm người thứ \((n + 2)\) thì có thêm các cách chọn có người thứ \((n + 2)\) này. Ta phải chọn hai trong \((n + 1)\) người đã có để thi đấu với người thứ \((n + 2)\) và có thêm \(\frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}\) cách chọn. Vậy số cách chọn là:
\(\frac{{1.2}}{2} + \frac{{2.3}}{2} + \frac{{3.4}}{2} + ... + \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}\) cách chọn.
Vì hai kết quả của cách và cách là một, nên:
\(\frac{{1.2}}{2} + \frac{{2.3}}{2} + \frac{{3.4}}{2} + ... + \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2} = \frac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}{6}\)
C. Bài tập tự rèn luyện có đáp án chi tiết
Bài toán 1. Cho (n + 1) điểm phân biệt. Có bao nhiêu đoạn thẳng nối (n + 1) điểm đó?
Bài toán 2. Trong cuộc thi đấu bóng bàn ngày Hội Khoẻ Phù Đổng, các đấu thủ đến dự thi đều bắt tay nhau. Người ta đếm được tất cả cái bắt tay. Hỏi có mấy đấu thủ dự thi?
✨ Bài viết chỉ trích dẫn một phần nội dung, mời bạn tải tài liệu đầy đủ để nắm trọn kiến thức.
---------------
Bài toán Gauss và các bài toán thực tế liên quan là nguồn tài liệu phù hợp để học sinh luyện khả năng nhận diện quy luật và vận dụng kiến thức vào tình huống cụ thể. Kết hợp dạng bài này với các chuyên đề Toán 9 và bài tập thực tế có đáp án sẽ giúp quá trình ôn thi vào 10 chủ động, hiệu quả hơn.
